1 Variance d’une variable al´eatoire (10 points)

ECO 4272: Introduction `a l’´econom´etrie Examen intra

Steve Ambler

D´epartement des sciences ´economiques Ecole des sciences de la gestion ´ Universit´e du Qu´ebec Montr´eal

c 2009, Steve Ambler Hiver 2009

Je vous demande d’´ecrirelisiblement. J’ai une incitation tr`es forte `a ne pas passer trop de temps `a d´echiffrer des r´eponses barbouill´ees. Lorsque je vous demande de justifier votre r´eponse, il va de soi que la grande majorit´e des points seront attribu´ees pour la justification, qui peut ˆetre graphique, alg´ebrique ou en mots (si ce n’est pas sp´ecifi´e) : la coh´erence et la logique sont primordiales.

La documentation n’est pas permise. Seules les calculatrices simples (sans ´ecran graphique) sont permises. Vous n’ˆetes pas oblig´es de simplifier les solutions des calculs num´eriques (donc, en principe, vous n’avez pas vraiment besoin de calculatrice). Vous avez trois heures.

1 Variance d’une variable al´eatoire (10 points)

Montrer, `a partir de la d´efinition de la variance, que Var(Y) =E Y²

−(E(Y))².

Pour simplifier, vous pouvez supposer qu’il s’agit d’une variable al´eatoire discr`ete, avec un nombre fini de r´ealisations distinctes possibles, et non une variable al´eatoire continue.

2 Distributions de probabilit´e jointes (25 points)

Vous g´en´erez sur ordinateur un nombre al´eatoire uniforme entre 0 et 1. SoitXla variable al´eatoire dont la valeur est ´egale `a 1 si votre r´esultat est entre 0.0 et 0.25, 2 si votre r´esultat est entre 0.25 et 0.5, 3 si votre r´esultat est entre 0.5 et 0.75, et 4 si votre r´esultat est entre 0.75 et 1.0. Ensuite, vous jetez une pi`ece (non truqu´ee) le mˆeme nombre de fois que prend la valeur deX. SoitY le nombre de fois que vous obtenez«pile». Indice (1) – Si vous jetez une pi`ecenfois et vous obtenez k ≤nr´esultats de«pile», la variable al´eatoire suit une distribution binomiale B(n, p)o`upest la probabilit´e de succ`es (0.5 ici). On a

Pr(Y =k) =C(n, k)p^k(1−p)^(n−k) o`u C(n, k)est le nombre de combinaisons dekobjets parmin:

C(n, k) = n!

k!(n−k)!, n!≡n×(n−1)×. . .×1.

Notez que par convention0! = 1. Indice (2) – La probabilit´e d’un r´esultat joint peut ˆetre calcul´ee utilisant la formule habituelle suivante :

Pr(X_i , Y_j) = Pr(X =X_i)·Pr(Y =Y_j|X =X_i).

Pour toutes les sous-questions ci-dessous, montrez explicitement votre travail.

1. Faites un tableau avec tous les r´esultats joints distincts possibles et les probabilit´es qui y sont associ´ees.

2. Illustrez sur le tableau les distributions de probabilit´e marginales deXet deY.

3. Calculez l’esp´erance conditionnelle deX siY = 2.

4. Calculez l’esp´erance conditionnelle deY siX = 3.

5. Calculez l’esp´erance conditionnelle deX siY = 4.

6. Est-ce que les deux variables al´eatoires sont ind´ependantes ? Justifiez votre r´eponse.

3 Estimateur de la moyenne d’une variable al´eatoire (20 points)

Soit la variable al´eatoireY qui est i.i.d. avec E(Y) = µ_Y et avec une variance finie :

var(Y) =σ_Y².

Soit l’estimateur de la moyenne bas´e surnr´ealisations de la variable al´eatoire donn´e par :

Y˜ = 1 n

1

5Y₁+3

5Y₂+ 11

5 Y₃+ 1

5Y₄ +3

5Y₅+11

5 Y₆+. . .+ 1

5Yn−2+3

5Yn−1+11 5 Y_n

. Donc on suppose, pour simplifier, que le nombre d’observations est divisible par

3.

1. Est-ce que l’estimateurY˜ est non biais´e ? Justifiez votre r´eponse.

2. Calculez la variance de l’estimateur pour une taille arbitraire de

l’´echantillon donn´ee parn. (Vous pouvez continuer `a supposer quenest divisible par 3.)

3. Qu’est-ce qui arrive `a la variance de l’estimateur lorsquendevient tr`es grand ?

4. Est-ce que l’estimateurY˜ est un estimateur convergent (convergence en probabilit´e) deµ_Y ? Ne donnez pas de preuve formelle, mais expliquez intuitivement votre r´eponse.

5. Est-ce que l’estimateurY˜ est l’estimateur lin´eaire le plus efficient

possible ? Ne donnez pas de preuve formelle, mais donnez une explication intuitive.

4 R´egression simple : tests d’hypoth`ese et intervalles de confiance (30 points)

Consid´erez le mod`ele de r´egression suivant : Yi =β0+β1Xi+ui.

Param`etre β₀ β₁ Valeur estim´ee 6.61 4.12

Ecart type´ 4.48 1.52 Somme totale des carr´es (TSS) : 5312.1 Somme des r´esidus carr´es (SSR) : 219.6

SoitΦ(z)≡P r(Z ≤z)pour une variable al´eatoireZ qui suit une distribution normale standardis´ee cumul´ee.

1. Est-ce qu’il y a assez d’information dans l’´enonc´e pour dire si les ´ecarts types des coefficients estim´es sont robustes ? Expliquez.

2. ´Ecrivez la statistiquetpour testerH₀ :β₀ = 0contre l’hypoth`ese

alternativeH₁ :β₀ 6= 0. ´Ecrivez une expression qui donnerait la p-value de ce test (puisque vous n’avez pas acc`es `a une table de la distribution

normale standardis´ee, vous ne pouvez pas trouver une valeur num´erique pour cette p-value, ni pour les autres qui vont suivre).

3. Qu’est-ce qui justifie l’utilisation de la fonctionΦ(z)pour le calcul de la p-value du test ?

4. ´Ecrivez la statistiquetpour testerH₀ :β₁ = 0contre l’hypoth`ese

alternativeH₁ :β₁ 6= 0. ´Ecrivez une expression qui donnerait la p-value de ce test.

5. ´Ecrivez la statistiquetpour testerH₀ :β₁ = ¯β₁contre l’hypoth`ese alternativeH<sub>1</sub> :β<sub>1</sub> 6= ¯β<sub>1</sub>, o`uβ¯₁ est une valeur arbitraire. ´Ecrivez une expression qui donnerait la p-value de ce test.

6. ´Ecrivez la statistiquetpour testerH0 :β1 = 0contre l’hypoth`ese

alternativeH₁ :β₁ >0. ´Ecrivez une expression qui donnerait la p-value de ce test.

7. D´ecrivez en d´etail comment calculer l’intervalle de confiance de 95% pour le param`etreβ₁.

8. D´ecrivez en d´etail comment calculer l’intervalle de confiance de 90% pour le param`etreβ1.

9. ´Ecrivez une expression qui donne la mesureR² de l’ajustement statistique de l’´equation.

10. Si le nombre d’observationsnest ´egal `a 125, ´ecrivez une expression pour calculer l’´ecart type de la r´egression.

5 R´egression simple : estimateurs non biais´es (15 points)

Soit le mod`ele de r´egression simple suivant : Y_i =β₀+β₁X_i+u_i,

o`u lesY<sub>i</sub>, lesX<sub>i</sub> et lesu<sub>i</sub>satisfont les hypoth`eses du mod`ele de r´egression simple du chapitre 4. Soit l’estimateur deβ₁suivant :

β˜1 ≡ 1 (n−1)

n

X

i=2

Y_i−Y_i−1 X_i−Xi−1

.

1. Montrez queβ˜₁est une fonction lin´eaire desY_i.

2. Montrez queβ˜₁est un estimateur non biais´e deβ₁. Indice – Cette sous-question est plus difficile que le reste de l’examen (c’est voulu).

SubstituezY_ietYi−1 dans la d´efinition de l’estimateur et simplifiez.

3. Est-que l’estimateurβ˜₁est l’estimateur moindres carr´es ordinaires deβ₁? Justifiez votre r´eponse.

cr´e´e le : 17/02/2009