Il est conseill´e de ne les aborder que s’il vous reste du temps

D´epartement MIDO - L3 - Ann´ee 2017-2018 Topologie et Analyse fonctionnelle.

Examen du 23 Mai 2018. Dur´ee : deux heures.

• Les t´el´ephones portables, calculatrices et documents sont interdits.

•La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements inter- viendront de fa¸con importante dans l’appr´eciation des copies.

• Le sujet est long et il en sera tenu compte dans la notation. Les questions

´etoil´ees sont des questions “bonus” et elles sont difficiles. Il est conseill´e de ne les aborder que s’il vous reste du temps.

Exercice 1 :

On note L¹_c(IR) ={f ∈L¹(IR) : ∃A >0, f(x) = 0 p.p. dans IR\[−A, A]} l’espace des fonctions qui sont dans L¹(IR) et `a support compact.

1. Soit f ∈L¹(IR). Pour n ∈IN et x∈IR, on pose f_n(x) =

f(x) si−n ≤x≤n,

0 sinon.

Montrer que la suite (f_n)_n∈IN converge vers f dans L¹(IR). En d´eduire que L¹_c(IR) est dense dans L¹(IR).

2. Soit f ∈L¹_c(IR). Montrer que R

IR|f(x+t)−f(x)|dx →

t→+∞2R

IR|f(x)|dx.

3.Montrer que le r´esultat de la question 2reste vrai en supposant seulement que f ∈L¹(IR).

Exercice 2 : Pour λ >0 et x∈IR^∗, soit f_λ(x) = ^sinx_x exp(−λ|x|).

1. Montrer (`a l’aide d’un r´esultat du cours) que ˆf_λ est d´erivable sur IR et

´ecrire sa d´eriv´ee ˆf_λ^′(ξ) sous la forme d’une int´egrale. Il n’est pas demand´e de calculer cette int´egrale. Dans la suite on admettra le r´esultat suivant :

(2π)^1/2fˆ_λ^′(ξ) = λ

λ²+ (ξ+ 1)² − λ

λ² + (ξ−1)² . 2. En d´eduire que (2π)^1/2fˆ_λ(ξ) = arctan ^ξ+1_λ

−arctan ^ξ−1_λ . 3. Soit f₀(x) = ^sinx_x , x∈IR^∗.

3.a. Montrer quekfλ−f₀k2 →0 lorsqueλ →0.

3.b^∗.En d´eduire une formule pour ˆf₀(ξ). On pourra admettre la propri´et´e suivante : “Si u_n(ξ)→u(ξ) p.p. et ku_n−vk2 →0, alorsu(ξ) =v(ξ) p.p.”

4.Retrouver la formule pour ˆf₀(ξ) en calculant la transform´ee de Fourier de la fonction 1_[−1,1] qui vaut 1 sur l’intervalle [−1,1] et 0 ailleurs.

1

Exercice 3 :

1. Soit E un espace de Hilbert r´eel. Montrer que pour tous x, y dans E, kx−yk² = 2kxk²+ 2kyk²−4

x+y 2

2

.

2. Soit (C_n)n≥1 une suite de convexes ferm´es non vides de E telle que, pour tout n ≥1,C_n+1⊂C_n. Soit p_Cn la projection sur C_n.

2.a. Montrer que la suite (kp_Cn(0)k)n≥1 est croissante.

2.b. En utilisant la formule de la question 1, montrer que

(∀m≥n ≥1) kp_Cm(0)−p_Cn(0)k²≤2kp_Cm(0)k²−2kp_Cn(0)k² . 3. On suppose de plus que sup_n≥1kp_Cn(0)k < ∞.

3.a. Montrer que la suite (pCn(0))n≥1 est de Cauchy dansE.

3.b. En d´eduire que l’ensemble C =∩n≥1C_n est non vide.

4^∗∗. Soit A un convexe ferm´e non vide et born´e de E. Soit f : A → IR une fonction convexe continue. `A l’aide de la question pr´ec´edente, montrer que f est born´ee inf´erieurement sur A et que son infimum est atteint.

Exercice 4 :

On se donne une fonctionH ∈L¹(IR) fix´ee. Pour toute fonctionf d´efinie sur IR, tout entier n≥1 et tout r´eel x, on pose

S_nf(x) = Z ∞

−∞

f(x−yⁿ)H(y)dy lorsque cette int´egrale est d´efinie au sens de Lebesgue.

1. On suppose quef ∈L¹(IR). Montrer que la fonction S_nf est d´efinie pour presque tout x et appartient `a L¹(IR).

2. Montrer que S_n est une application lin´eaire continue de L¹(IR) dans lui- mˆeme.

3. On suppose maintenant quef est continue et born´ee surIR. Montrer que S_nf est d´efinie en tout point, et est une fonction continue et born´ee sur IR. 4^∗.On suppose que f est continue et born´ee sur IRet que f(x)→0 lorsque

|x| → ∞. Montrer que pour tout x∈IRon a

S_nf(x)→Cf(x) lorsque n → ∞ o`u C est une constante qui d´epend de H mais pas de f.

2