D257. L’aire du décagone
Calculer l’aire d’un décagone qui est inscrit dans un cercle et qui a cinq côtés consécutifs de longueur égale au nombre d’or et les cinq autres côtés de longueur égale à l’inverse de ce nombre d’or.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Soient trois sommets tels que la mesure de et celle de sont le nombre d’or et son inverse (dans notre décagone deux tels triplets existent).Le cercle circonscrit au décagone coïncidant avec le cercle passant par la construction du décagone sera immédiate dès que l’on connait la mesure de l’angle .Comme indiqué en dessous de la figure ici-bas, la mesure de cet angle vaut 144° (il s’agit de l’angle du décagone régulier, donc on sait aussi le construire à la règle et au compas). Une construction (la "plus courte" que l'on connaît) du décagone cherché peut donc être obtenue par le procédé suivant (qui, si effectuée à l’aide d’un logiciel tel que geogebra, fournit aussi l'aire comme sous-produit):
1. On construit un triangle dont l'angle en mesure et les côtés ont comme mesure le nombre d'or et son inverse.
2. Dans le cercle circonscrit à on trace les cordes dont la mesure est l'inverse du le nombre d'or; et on continue avec les corde dont la mesure est le nombre d'or; naturellement le point coïncidera avec .
