On se fixe un entier n. Dix entiers distincts sont placés sur le sommets d’un décagone régulier de sorte que le produit de deux entiers non adjacents sur le décagone est un multiple de n et le produit de n’importe quel couple d’entiers adjacents n’est pas un multiple de n Déterminer la plus petite valeur possible de n
Aucun des entiers ai placés sur les sommets du décagone n’est évidemment divisible par n : si bi est le pgcd de n et ai, la propriété reste vérifiée si l’on remplace les ai par les bi : on peut donc supposer que les ai sont des diviseurs de n et l’on peut alors poser ai=n/di où di est le plus grand diviseur de n premier avec ai.
Puisque aiai+1 n’est pas divisible par n, didi+1 ne divise pas n, tandis que didj divise n si i et j ne sont pas consécutifs.
La première idée est de prendre n ayant dix facteurs premiers simples pi, et de choisir di=pipi+1 : cela conduit à une valeur minimale de n=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29 n=6 469 693 230 avec a1=n/(2*3), a2=n/(3*5),..., a9=n/(23*29), a10=n/(29*2)
On peut obtenir une valeur plus faible de n en prenant cinq facteurs premiers carrés, soit un minimum de n=22*32*52*72*112=5 336 100, avec pour les ai : n/22, n/(2*3), n/32, n/(3*5), n/52, n/(5*7), n/72, n/(7*11), n/112, n/(11*2).
