D257. L’aire du décagone
Le nombre d’orϕ=
√5+1
2 est la racine positive du trinômex2−x−1.
Notonsω=e2iπ5 et y= cos2π5 >0.
1 +ω+ω2+ω3+ω4= 0⇒(2y)2+ 2y−1 = 0⇒2y= ϕ1 =ϕ−1.
De plus cosπ5 = q1+y
2 = ϕ2 et sinπ5 =12√
3−ϕ=
√
10−2√ 5
4 .
Nous ne changeons pas l’aire du décagone en déplaçant des secteurs angulaires de sorte que les longueurs des cotés alternent.
Ainsi nous pouvons utiliser la symétrie pentagonale et raisonner sur la figure suivante oùAB=ϕetBC= ϕ1.
L’angle au centreCOAd =2π5 est le double d’un angle supplémentaire deCBA.d D’oùCBAd = 4π5 .
L’aire du triangleABC vautt1=12AB×BCsinCBAd =12sinπ5.
Nous avonsAC2=AB2+BC2−2AB×BCcosCBAd (théorème d’Al-Kashi), d’oùAC2= 3 +ϕ.
Le triangleAOC a pour airet2= 4 tanAC2π 5
= 3+2 cos4 tanππ5 5
. L’aire du décagone vaut 5 (t1+t2) =5(2+3 cosπ5)
4 sinπ5 =
√
725+310√ 5
4 ≈9,415.
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