Calculer l’aire d’un décagone qui est inscrit dans un cercle et qui a cinq côtés consécutifs de longueur égale au nombre d’or et les cinq autres côtés de longueur égale à l’inverse de ce nombre d’or.
Soit O le centre du cercle : l’aire du décagone est égale à la somme des aires des dix triangles formés par le centre O et chacun des cotés (cinq de chaque type). Le quadrilatère OMNP formé par deux triangles différents adjacents peut être
découpé selon l’autre diagonale en deux triangles dont l’un OMP est un cinquième de pentagone régulier, et l’autre MNP est formé de deux cotés de longueurs respectives φ et 1/φ, autour d’un angle de 4π/5 (si φ désigne le nombre d’or). Le coté a du pentagone régulier est tel que :
a2=φ2+1/φ2-2cos(4π/5) ; or φ2=1+φ, 1/φ=φ-1, 1/φ2=2-φ, 2cos(4π/5)=-φ, donc a2=3+φ.
L’aire du cinquième de pentagone est égale à a2/(4tan(π/5)), et celle de l’autre à φ*1/φ*sin(4π/5)/2=sin(π/5)/2. Or sin(π/5)=√(3-φ)/2, tan(π/5)=√(3-φ)/φ L’aire cherchée est donc (5/4)*((3+φ)*φ/√(3-φ)+√(3-φ))=(5/4)(4+3φ)/√(3-φ) ou encore 5√2(11+3√5)√(1+1/√5)/16, soit un peu moins de 9,415.
