Enoncé E687 (Diophante) Dix entiers sur un décagone
On se fixe un entier n. Dix entiers distincts sont placés sur le sommets d’un décagone régulier de sorte que le produit de deux entiers non adjacents sur le décagone est un multiple de n et le produit de n’importe quel couple d’entiers adjacents n’est pas un multiple de nDéterminer la plus petite valeur possible de n.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je noteai les entiers, les indices (0 à 9) étant pris modulo 10.
Soit qi = n
P GCD(n, aiai+1) le facteur manquant à aiai+1 pour être multiple den.
Pour j=i+ 2, i+ 3, . . . , i+ 8 (modulo 10)qi et qj sont premiers entre eux. Soit en effet p un diviseur premier commun à qi etqj; je notevp(m) l’exposant depdans un nombre entierm. On a alors 1≤vp(qi) =vp(n)−vp(ai)−vp(ai+1),
1≤vp(qj) =vp(n)−vp(aj)−vp(aj+1),
vp(n)≤vp(ai) +vp(aj), aiaj étant multiple den, de mêmevp(n)≤vp(ai+1) +vp(aj+1),
et par addition membre à membre 2≤0, contradiction.
Même quandqietqi−1ne sont pas premiers entre eux,qiqi−1divise n. En effet
vp(n)−vp(qi)−vp(qi−1) =vp(ai−1)+vp(ai+1)−vp(n)+2vp(ai)≥0.
Ainsin=Qqi. La plus petite valeur densera obtenue en prenant pour les qi les plus petits nombres premiers, chacun étant utilisé deux fois à des rangs consécutifs : 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 11, 11.
ai est alors le produit qi+1qi+2· · ·qi+8;qi est bien le seul facteur manquant pour queaiai+1 soit multiple de n, la fraction
aiai+1
n = qi+2· · ·qi+8 qi
ne pouvant se simplifier.
Pour le décagone, la plus petite valeur denest ainsi 5336100, avec par exemple les entiers 889350, 592900, 355740, 213444, 152460, 108900, 69300, 44100, 242550, 1334025, dans cet ordre. Ceux de rang pair sont des carrés parfaits, les autres sont la moyenne géo- métrique de leurs 2 voisins. Pour d’autres solutions (avec la même valeur de n), placer les carrés dans un autre ordre (sans qu’il y en ait deux adjacents), les autres entiers étant la moyenne géomé- trique de leurs 2 voisins.
