G141. Le choix du bon numéro
Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N. Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver N. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de N immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs.
Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de N avec plus de 40 chances sur 100.
Généralisation avec 2016 entiers. Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.
Solution de Paul Voyer
Il semble bien que la seule méthode possible consiste à toujours annoncer le numéro de la carte tirée.
Sinon, chaque entier "deviné" a une très faible probabilité d'être N et interdira le tirage de l'un des entiers marqués, qui était peut-être le bon.
Il faut donc regarder passer k tirages sans rien dire, ce qui donne une (très) vague idée de la suite, en éliminant certains cas (au prix d'un risque), puis prendre le premier qui sera supérieur au plus grand déjà tiré, et l'annoncer.
k trop petit, on n'en sait pas assez, k trop grand augmente le risque de laisser passer N sans rien dire.
La détermination de k est le problème de la dot des filles du sultan, avec en plus la condition simplificatrice que les dots sont ici représentées par des entiers distincts.
http://mathworld.wolfram.com/SultansDowryProblem.html
On peut dans la suite considérer le rang des entiers plutôt que leur valeur, soit 1 à 8.
http://oeis.org/A054404 indique la valeur optimale k = 3 pour n = 8.
On va donc laisser passer les 3 premiers tirages et désigner le premier entier tiré supérieur à ceux déjà tirés.
La probabilité d'avoir pour le plus grand des trois la valeur i est :
7 8 1 1
C Cik
, soit
3 1/56
4 3/56
5 6/56
6 10/56
7 15/56
8 21/56
total 56/56
Dans chaque cas, on peut ensuite ignorer les tirés plus petits que i.
Si le plus grand est 3, les 5 restants sont 4,5,6,7,8, la probabilité de désigner correctement 8 parmi {4, 5, 6, 7, 8} est celle de ne pas tirer 4, 5, 6 ou 7 avant 8.
Le 8 doit sortir au prochain tirage. La probabilité est 1/5.
Si c'est 4, les 5 restants sont 1,5,6,7,8, la probabilité de désigner 8 parmi {5, 6, 7, 8} est celle de ne pas tirer 5,6,7 avant 8. 6 cas sur 24
soit 1/4
Si c'est 5, les 5 restants sont 1,2,6,7,8, la probabilité de désigner 8 parmi {6, 7, 8} est celle de tirer 8 avant 6 et 7. 2 cas sur 6
soit 1/3.
Si c'est 6, les 5 restants sont 1,2,3,7,8, la probabilité de désigner 8 parmi {7, 8} est celle de ne pas tirer 7 avant 8, soit 1/2.
Si c'est 7, les 5 restants sont 1,2,3,4,8, la probabilité de désigner 8 parmi {8} est 1.
Au total, la probabilité d'annoncer correctement 8 est
tirés déjà grands plus les
tirés grands plus
si p tiré grand plus
p( )* (8 ), soit
410 . 3360 0 1377 60
* 56
900 300 120 45 12 1 15 2 10 3 6 4 3 5 1 56
1
On peut vérifier sur tableur que k = 3 était le bon choix.
1 2 3 4 5 6 7
0.32410714 0.39821429 0.40982143 0.3797619 0.31845238 0.23214286 0.125 Cas de 2016.
Le calcul exact sur tableur par la méthode précédente se heurte à des difficultés de dépassement de capacité.
Les références mentionnées ci-dessus indiquent que la probabilité maximale de désigner N, obtenue pour
N e N
k 2
1 1
* , soit k = 741 pour N = 2016, est fonction décroissante de N, soit et tend vers :
...%
787 . 1 36
e , ce qui est bien > 35%.
