G141. Le choix du bon numéro
Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N. Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver N. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de N immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs.
Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de N avec plus de 40 chances sur 100.
Généralisation avec 2016 entiers. Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.
Solution proposée par Nicolas Sigler
Postulons que la méthode consiste d'abord à tirer K cartes, puis, si MK est la valeur maximale observée sur ces K cartes, à annoncer ensuite comme valeur de N la première valeur qui se présentera et qui sera supérieure à MK.
1°) Avec 8 entiers et 8 cartes
Appelons A1, A2… A8 les 8 entiers écrits par Puce, tels que A1 < A2 < … < A8.
Si l'on tire d'abord K cartes, la probabilité Pj que MK = Aj vaut (pour K j 8) : Pj = K.A(j-1,K-1)/A(8,K) = [K.(j-1)!/(j-K)!] / [8!/K!]
Ensuite, si MK = Aj, la probabilité que N soit la première valeur supérieure à MK qui se présente vaut (pour K j < 8) :
PN/j = 1/(8-j) (car il reste 8-j valeurs supérieures à Aj parmi les cartes restant à tirer) La probabilité cherchée est alors (formule des probabilités composées) :
PN/K = Σ(K j < 8) Pj.PN/j
A.N. : PN/2 = 16 056 / 8 ! ~ 0,3982 PN/3 = 16 524 / 8 ! ~ 0,4098 PN/4 = 15 312 / 8 ! ~ 0,3798
Avec 8 entiers, la bonne méthode est donc de tirer d'abord K=3 cartes, ce qui permet de trouver ensuite N avec une probabilité supérieure à 40/100.
