∑ prob ( N = b )= 18

G141. Le choix du bon numéro ****

Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N. Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver N. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de N immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs. Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de N avec plus de 40 chances sur 100.

Généralisation avec 2016 entiers . Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.

8 possibilités s'offrent à Zig :

1) Zig déclare le nombre inscrit sur le premier billet.

2) Zig peut tirer un billet, le garder comme référence, tirer d'autres billets et déclarer le premier billet qui est supérieur au premier.

3) Zig peut tirer deux billets, les garder comme référence, tirer d'autres billets et déclarer le premier billet qui est supérieur aux deux premiers.

4) Zig peut tirer trois billets, les garder comme référence, tirer d'autres billets et déclarer le premier billet qui est supérieur aux trois premiers.

5) Zig peut tirer 4 billets, les garder comme référence, tirer d'autres billets et déclarer le premier billet qui est supérieur aux 4 premiers.

6) Zig peut tirer 5 billets, les garder comme référence, tirer d'autres billets et déclarer le premier billet qui est supérieur aux 5 premiers.

7) Zig peut 6 trois billets, les garder comme référence, tirer d'autres billets et déclarer le premier billet qui est supérieur aux 6 premiers.

8) Zig peut tirer 7 billets et déclarer le dernier.

Pour le cas 1) : P(succès)=1 8 Pour le cas 8) : P(succès)=1 8

Pour le cas 2) :

La probabilité de succès dépendra de la place prise par N Notons b_i le numéro se trouvant sur le billet i

Si N se trouve en 1ère position alors P(succès)=0 Si N se trouve en 2ème position alors P(succès)=1 Si N se trouve en 3ème position alors P(succès)=1

2 (car il faut que b₁>b₂) Si N se trouve en 4ème position alors P(succès)=1

3 (car il faut b₁=max(b₁, b₂, b₃)) etc ….

Comme prob(N=bi)=1

8 Nous avons : prob(succès)=

∑

i=1

7 1

8⋅1 i

Pour le cas 3) :

Si N se trouve en 1ère position alors P(succès)=0 Si N se trouve en 2ème position alors P(succès)=0 Si N se trouve en 3ème position alors P(succès)=1 Si N se trouve en 4ème position alors P(succès)=2

3 (car il faut max(b₁;b₂;b₃)∈{ b₁;b₂}) etc ….

Comme prob(N=b_i)=1

8 Nous avons : prob(succès)=

∑

i=2

7 1

8⋅2 i

Plus généralement, pour le cas r) ( les r-1 premiers billets servent de référence) prob_r(succès)=

∑

i=r

8 1

8⋅r−1 i−1 On trouve :

r = 1 prob = 0.125

r = 2 prob = 0.324107142857 r = 3 prob = 0.398214285714 r = 4 prob = 0.409821428571 r = 5 prob = 0.379761904762 r = 6 prob = 0.318452380952 r = 7 prob = 0.232142857143 r = 8 prob = 0.125

Donc Zig doit tirer 3 billets (qui servent de référence) puis déclarer le premier billet dont le numéro est supérieur au meilleur des trois premiers.

Il aura alors 40,9 % de chances de tomber sur N

Généralisation pour 2016 billets :

prob_r(succès)=

∑

i=r 2016 1

2016⋅r−1 i−1

Le maximum est obtenu pour : r = 742 prob = 0.368036205551

En gardant les 741 premiers billets comme référence, et en choisissant le premier billet dont le numéro est supérieur au meilleur des billets de référence, Zig aura 36,8 % de chance

de tomber sur N