G141. Le choix du bon numéro
Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est 𝑁.
Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver 𝑁. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de 𝑁 immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs. Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de 𝑁 avec plus de 40 chances sur 100.
Généralisation avec 2016 entiers. Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Cas général
Plaçons-nous dans le cas général et supposons que Puce choisisse les 𝑛 entiers distincts : 𝑎1< 𝑎2< ⋯ < 𝑎𝑛−1< 𝑎𝑛= 𝑁
Zig tire alors un à un du chapeau ces entiers selon une certaine permutation 𝜑 : 𝑎𝜑(1), 𝑎𝜑(2), … , 𝑎𝜑(𝑛−1), 𝑎𝜑(𝑛)
La stratégie de Zig est alors la suivante :
Zig tire tout d’abord 𝑚 entiers sans en déclarer aucun, ▭
Par la suite, si Zig tire un entier :
o inférieur à l’un de ceux déjà tirés, il ne déclare rien et continue,
o plus grand que tous ceux déjà tirés, il le déclare comme entier le plus grand. ▭ Les permutations 𝜑 pour lesquelles cette stratégie est gagnante sont de la forme :
Position 1 … 𝑘 … 𝑚 𝑚 + 1 … 𝑖 𝑖 + 1 𝑖 + 2 … 𝑛
Valeur 𝑎𝜑(1) … 𝑎𝜑(𝑘) … 𝑎𝜑(𝑚) 𝑎𝜑(𝑚+1) … 𝑎𝜑(𝑖) 𝑎𝜑(𝑖+1) 𝑎𝜑(𝑖+2) … 𝑎𝜑(𝑛)
Contrainte < 𝑎𝑗 = 𝑎𝑗 < 𝑎𝑗 < 𝑎𝑗 = 𝑎𝑛= 𝑁 < 𝑎𝑛
Où :
𝑎𝑗= 𝑎𝜑(𝑘) est la valeur maximale des 𝑚 entiers 𝑎𝜑(1), … , 𝑎𝜑(𝑚) tirés initialement.
Les entiers 𝑎𝜑(𝑚+1), … , 𝑎𝜑(𝑖) tirés ensuite sont tous inférieurs à 𝑎𝑗
L’entier 𝑎𝜑(𝑖+1) déclaré est effectivement la valeur la plus grande 𝑎𝑛= 𝑁
On note 𝒩𝑖,𝑗 le nombre de permutations 𝜑 gagnantes de la forme ci-dessus pour 𝑖 et 𝑗 donnés : 𝒩𝑖,𝑗= 𝑚⏟
[1]
× 𝐴⏟𝑗−1𝑖−1
[2]
× (𝑛 − 𝑖 − 1)!⏟
[3]
o [1] : 𝑚 façons de placer 𝑎𝑗 parmi les 𝑚 premières positions (ie. 𝑚 façons de de choisir 𝑘) o [2] : 𝐴𝑗−1𝑖−1 façons de placer en positions {1, … , 𝑖} − {𝑘} des nombres choisis parmi 𝑎1, … , 𝑎𝑗−1
o [3] : (𝑛 − 𝑖 − 1)! façons de permuter les nombres restants pour les positions {𝑖 + 2, … , 𝑛}
La probabilité de gain pour la stratégie de Zig est donc donnée par :
𝑝 = 1
𝑛!∑ ∑ 𝒩𝑖,𝑗 𝑛−1
𝑗=𝑖 𝑛−1
𝑖=𝑚
= ∑ ∑ 𝑚 𝐴𝑗−1𝑖−1(𝑛 − 𝑖 − 1)!
𝑛!
𝑛−1
𝑗=𝑖 𝑛−1
𝑖=𝑚
= 𝑚
𝑛(𝑛 − 1)∑ 1
𝐶𝑛−2𝑖−1∑ 𝐶𝑗−1𝑖−1
𝑛−1
𝑗=𝑖 𝑛−1
𝑖=𝑚
𝑝 = 𝑚
𝑛(𝑛 − 1)∑ 1
𝐶𝑛−2𝑖−1(𝐶𝑛−1𝑖 )
𝑛−1
𝑖=𝑚
= 𝑚
𝑛(𝑛 − 1)∑(𝑖 − 1)! (𝑛 − 𝑖 − 1)! (𝑛 − 1)!
(𝑛 − 2)! (𝑛 − 𝑖 − 1)! 𝑖!
𝑛−1
𝑖=𝑚
=𝑚 𝑛 ∑1
𝑖
𝑛−1
𝑖=𝑚
𝑝 =𝑚
𝑛(𝐻𝑛−1− 𝐻𝑚−1) Où 𝐻𝑛 est le 𝑛-ième nombre harmonique.
Cas particuliers
Pour les valeurs de 𝑛 demandées et un choix approprié de 𝑚, on obtient les probabilités suivantes :
𝑛 𝑚 𝑝
8 ⌈8 e⁄ ⌉ = 3 ~ 40,982 % 2016 ⌊2016 e⁄ ⌋ = 741 ~ 36,803 % Le choix de ces valeurs particulières de 𝑚 est motivé par l’étude qui suit.
Limite
Etudions la limite du problème quand 𝑛 tend vers l’infini.
𝐻𝑛= ln(𝑛) + 𝛾 + o(1)
𝑝 =ln(𝑛/𝑚 ) 𝑛/𝑚 + o(1)
La suite 𝑝 converge si 𝑛/𝑚 tend vers une constante 𝑥. L’optimal est atteint quand : d
d𝑥(ln 𝑥
𝑥 ) = 0 ⇒ 𝑛
𝑚→ 𝑥 = e La valeur limite de 𝑝 est alors :
𝑝 →ln(e)
e = e−1≈ 36,788 %
