G141. Le choix du bon numéro
Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N. Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver N. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de N immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs.
Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de N avec plus de 40 chances sur 100.
Généralisation avec 2016 entiers. Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
La seule stratégie possible est , à partir un certain nombre de tirages, disons k, choisir ce tirage si celui-ci est plus grand que tous les précédents.
Soit Pr(n) la probabilité de retenir le tirage n, et E(n) la probabilité pour que dans ce cas le tirage n soit le bon. On aura alors la probabilité de faire le bon tirage égal à ∑i=k à N Pr(i).E(i).
Le premier tirage concerné est k. La probabilité pour que le tirage k soit plus grand que tous les précédents est 1/k. Donc Pr(k) = 1/k.
La probabilité que le tirage k soit le plus grand est bien sûr 1/N, et donc E(k)= k/N.
Pour le tirage suivant Pr(k+1)= (1-Pr(k)).1/(k+1), plus généralement Pr(l)= 1/l .Π i=k à l-1 (1-Pr(i)).
Par ailleurs pour toutes les valeurs de l E(l)= l/N.
La résolution de tout cela se fait très simplement sur Excel.
Dans le cas N=8, le maximum est atteint pour k=4, la probabilité de gain étant de 0,409821429.
Dans le cas N=2016, le maximum est atteint pour k=742, la probabilité de gain étant de 0,368036206.
