G 141. Le choix du bon numéro. ****
Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N.
Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver N. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de N immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs. Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de N avec plus de 40 chances sur 100.
Généralisation avec 2016 entiers.
Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.
Solution proposée par Michel Lafond:
Dans le cas général, il y a N cartes et pour plus de facilité, nous allons redésigner les numéros inscrits 1, 2, 3,
…, N dans l’ordre des valeurs inscrites réelles.
Il est clair que pour gagner, Zig doit commencer par tirer un échantillon E disons de k cartes en espérant qu’il a fait le bon choix pour k.
k doit être assez petit devant N pour qu’il y ait de bonnes chances d’avoir N présent parmi les cartes restantes, mais pas trop petit pour que l’échantillon soit représentatif.
Soit m le maximum de E.
Que peut faire Zig ?
Le maximum N étant probablement parmi les numéros à retourner, (sinon c’est sans espoir) Zig fait donc l’hypothèse qu’il existe des numéros supérieurs à m parmi les cartes restantes et doit continuer les tirages.
Il devra s’arrêter dès qu’il retourne une carte de numéro m’ supérieur à m.
En effet, s’il retourne, disons au k + 1ème tirage une carte de numéro m’ > m et qu’il continue les tirages, c’est que son choix de k n’était pas optimum.
Bien entendu, si Zig retourne toutes les cartes restantes sans retourner une carte de numéro m’ supérieur à m il devra annoncer le numéro de la dernière carte et perdre. (Dans ce cas, m = N).
Cas où N = 8.
Essayons avec une taille échantillon égale à 3. Posons E = {a, b, m}.
Le numéro maximum de l’échantillon est m = 3, 4, 5, 6, 7, ou 8.
- Si m = 3, E = {1, 2, 3} il reste {4, 5, 6, 7, 8} et Zig ne gagnera qu’une fois sur 5.
- Si m = 4, E = {a, b, 4} avec a et b inférieurs à 4.
Il reste donc une carte de numéro inférieur à 4 et quatre cartes de numéros supérieurs à 4.
Zig gagnera une fois sur 4.
On continue ainsi jusqu’à :
- Si m = 7, E = {a, b, 7} avec a et b inférieurs à 7.
Il reste donc quatre cartes de numéros inférieurs à 7 et la carte de numéro 8. Zig gagnera nécessairement.
- Enfin, si m = 8, Zig perd nécessairement.
Comme il y a échantillons de taille 3 dont 1 avec m = 3, avec m = 4, …,
avec m = 7 et avec m = 8, la probabilité de gain de Zig avec cette stratégie (k = 3) est égale à
Remarques :
Avec le choix k = 1 qui parait bien faible pour une taille échantillon, on trouve avec le même raisonnement que plus haut :
Avec le choix k = 2 qui parait raisonnable, on trouve avec le même raisonnement que plus haut :
Avec le choix k = 4 qui parait bien élevé pour un échantillon de 8 valeurs, on trouve :
(On a
La seule stratégie assurant une probabilité de gain supérieure à 0,4 est :
Dans le cas général, avec les numéros 1, 2, 3, …, N et la stratégie Sk consistant à tirer un échantillon de taille (k compris entre 1 et N – 1) et de numéro maximal m, puis à tirer jusqu’à l’obtention d’un numéro supérieur à m, on trouve une probabilité de gain égale à
Il s’agit de maximiser Avec N = 2016 :
qu’on peut, en commençant par l’indice supérieur i = 2014 et en descendant, mettre sous la forme
Avec k = 742, cela donne
En ne prenant que l’expression ci-dessus, on a déjà
Avec deux termes supplémentaires, on a même On aurait pu prendre des stratégies voisines comme k = 741, etc.
Tirer 3 cartes. Soit m la valeur maximale de ces 3 cartes.
Tirer de nouvelles cartes jusqu’à l’obtention d’un numéro supérieur à m auquel cas on s’arrête, (ou jusqu’à l’épuisement des 8 cartes).
Annoncer la valeur de la dernière carte retournée.
