Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N. Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver N. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de N immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs. Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de N avec plus de 40 chances sur 100.
Généralisation avec 2016 entiers . Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.
La méthode consiste à retenir à partir de la n-ième carte, toute carte supérieure à celles qui l’ont précédée .
Examinons les probabilités en fonction de la valeur de n :
Pour n=8, il y a évidemment une chance sur 8 que ce soit la plus grande.
Pour n=7, on tombera juste si la plus grande est en position 7 ou si elle est en position 8 alors que celle en position 7 n’est pas plus grande que les six premières, soit une probabilité de (1+6/7)/8=(1/6+1/7)6/8.
Et pour tout n≤8, on tombera juste si la plus grande est position n, ou en position n+1 si celle en position n n’est pas plus grande que les n-1 premières, ...ou en position n+k, si aucune de celles en positions n à n+k-1 n’est plus grande que les n-1
premières : soit une probabilité (1/(n-1)+... +1/(n+k-1)+... +1/7)(n-1)/8 On obtient la probabilité maximale pour n=4 soit un peu moins de 41%.
De même pour 2016 entiers, on peut calculer avec un tableur les probabilités (1/(n-1)+....+ 1/2015)(n-1)/2016, le maximum étant pour n=742, soit 36,8 % .
