E636 − Ouroboros fait à nouveau parler de lui.
Ouroboros a adopté une configuration qui est l'image parfaite d'une ligne brisée dans le plan
constituée d'un nombre pair 2k de segments tels que deux segments adjacents sont perpendiculaires entre eux et deux segments quelconques ne sont jamais sur la même droite. Ouroboros peut adopter deux positions : se mordre la queue (A) ou laisser sa queue libre (B).
Les segments en se croisant déterminent des points d'intersection, extrémités exclues. Ouroboros retient les configurations où le nombre de points d'intersections N est le plus grand possible soit NA et NB pour chacune des deux positions.
Q1 Pour une valeur donnée de k, l'écart entre NA et NB est égal à 6. Déterminer k.
Q2 Même question que précédemment si l'écart est égal à 7.
Q3 Pour les plus courageux : trouver les formules générales de NA et NB en fonction de k Solution proposée par Jean Nicot
1°) Cas des circuits ouverts (type B).
A partir d’un premier segment, par exemple vertical, on trace des quadrilatères dont les côtés horizontaux sont de plus en plus rapprochés et les côtés verticaux de plus en plus éloignés
On a ainsi 1 croisement pour 2k=4, 3 croisements pour 2k=6, 6 croisements pour 2k=8, 10 croisements pour 2k=10, 15 croisements pour 2k=12, ..,et
NB =k(k-1)/2 croisements pour 2k segments 2°) Cas des circuits fermés (type A).
Il suffit, à partir d’un circuit de type B, de raccourcir les premier et dernier segments jusqu’à leur point de rencontre ou bien remplacer les deux derniers segments par deux segments ne coupant rien et retrouvant le point de départ. On a NA(2k) = NB(2k-2) soit NA(2k) =(k-1)(k-2)/2
NB(2k)- NA(2k)= k-1
Q1- Pour un écart de 6, il faut donc k=7 soit 14 segments Q2- Pour un écart de 7, il faut donc k=8 soit 16 segments Q3- NA =(k-1)(k-2)/2 et NB =k(k-1)/2
