ARITHMETIQUE Un peu d’histoire :
Partie de la mathématique qui étudie les propriétés et les relations élémentaires sur les ensembles des entiers (naturels et relatifs) et des nombres rationnels.(d’après le petit Robert).
On l'appelle plus généralement la « science des nombres ». Son étymologie provient du grec qui signifie « nombre ».
I. Les nombres premiers.
1. Définition.
Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui même
Exemples.
7 a pour seuls diviseurs 1 et 7 donc c’est un nombre premier.
12 a pour diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 12 donc il n’est pas premier.
Attention : 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur.
2. Plus grand commun diviseur (PGCD).
a. Définition 1 :
Un diviseur commun à deux nombres ou à plusieurs nombres est un nombre entier qui divise chacun de ces nombres.
Exemple :
4 est un diviseur commun à 24 et à 12.
b. Définition 2 :
Le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres ou
plusieurs nombres entiers est appelé PGCD de ces nombres Exemple
II. Nombres premiers entre eux 1. Définition.
Deux nombres a et b sont premiers ENTRE EUX si : PGCD (a,b) = 1
2. Exemple
Détérminons le PGCD de 145 et 54 par la méthode d’Euclide.
dividende 145 54 37 17 3 2
diviseur 54 37 17 3 2 1
reste 37 17 3 2 1 0
PGCD(145,54)= 1
Donc 145 et 54 sont premiers ENTRE EUX . Remarque et piège à éviter.
Deux nombres premiers entre eux ne sont pas forcèment premiers.
Pour l’exemple traité : 54 est divisible par 2,3,6…..
Donc ce n’est pas un nombre premier mais il est premier avec 145 car PGCD(145,54)=1.
III. Fractions irréductibles.
1. Définition :
On considère deux nombres relatifs a et b avec b 0. On dit que la fraction a
b est irréductible si on ne peut pas la simplifier.
Exemples
15
8 est irréductible car on ne peut pas la simplifier.
14
21 est réductible par 7 : 14 14 7 2 21 21 7 3
.
2. Propriété 1.
a et b sont des nombres entiers (b 0)
Si a et b sont premiers entre eux c'est-à-dire le ( , ) 1
PGCD a b alors la fraction a
b est irréductible.
Exemple :
on a vu dans l’exemple précédent que 154 et 45 sont premiers entre eux : PGCD(154,45)=1
alors la fraction 145
54 est irréductible.
3. Propriété 2
Si a et b ne sont pas premiers entre eux c'est-à-dire le ( , ) 1
PGCD a b
pour rendre la fraction a
b irréductible on simplifie par le PGCD de a et de b
Exemple :
est ce que la fraction 589
465 est irréductible ?
1 ère étape : on détérmine le PGCD de 589 et 465 par la méthode d’Euclide.
dividende 589 465 124 93
diviseur 465 124 93 31
reste 124 93 31 0
donc PGCD(589,465) 31
2 ème étape : Simplification par le PGCD ainsi d’après la propriété :
589 589 31 19 465 465 31 15
Et 19
15 est une fraction irréductible
