E435 : Jouer petit ou doubler la mise
Zig et Puce jouent à une variante de NIM. Ils fixent d’un commun accord le nombre de départ d = 2 et la cible c
= 34. A tour de rôle chacun d’eux remplace le nombre X que lui laisse l’autre joueur par X+1 ou par 2X. Le premier joueur qui est obligé d’écrire un nombre strictement plus grand que la cible a perdu.
Le tirage au sort donne la main à Zig. Qui gagne la partie ?
Généraliser avec d quelconque et c quelconque > d. Dans quels cas y a-t-il une stratégie gagnante pour le 1er joueur ? pour le 2ème joueur ?
Dès que l’on dépasse la valeur c/2=17, la seule possibilité est de jouer x+1; donc de 18 à 34, les nombres pairs sont gagnants et les impairs perdants. Les nombres de 9 à 17 sont donc perdants, puisqu’en les doublant, on obtient un nombre pair entre 18 et 34; 8 est gagnant puisqu’on ne peut aller qu’à 9 ou 16, tous deux perdants; 7 est perdant; 6 est gagnant (puisque 7 et 12 sont perdants); 5 est perdant (on peut aller à 6) ainsi que 4 (on peut aller à 8) et 3 (on peut aller à 6). Donc 2 est gagnant (on doit aller à 3 ou 4), et Zig qui joue le premier, doit perdre.
Dans le cas général, si c est impair, on ne peut l’atteindre qu’à partir d’un nombre pair : il y a donc une stratégie gagnante pour le premier joueur si d est pair (jouer x+1 à chaque fois pour laisser un nombre impair), pour le second si d est impair (le premier laissant obligatoirement un nombre pair).
Si c est pair, comme dans le cas particulier ci-dessus, les valeurs paires entre c/2+1 et c sont gagnantes, et les impaires perdantes ; les valeurs entre [(c/2+1)/2] et c/2 sont alors perdantes et c’=[(c/2+1)/2]-1 est gagnante (avec [ ] pour noter la partie entière): si d≥c’, cela détermine qui a une stratégie gagnante.
Sinon, on reprend le problème avec pour cible c’, et la solution sera obtenue par itération.
