E435 - Jouer petit ou doubler la mise
Zig et Puce jouent à une variante de Nim. Ils fixent d'un commun accord le nombre de départ d = 2 et la cible c = 34. A tour de rôle chacun d'eux remplace le nombre X que lui laisse l'autre joueur par X+1 ou par 2X. Le premier joueur qui est obligé d'écrire un nombre strictement plus grand que la cible a perdu.
Le tirage au sort donne la main à Zig. Qui gagne la partie ?
Généraliser avec d quelconque et c quelconque > d. Dans quels cas y a-t-il une stratégie gagnante pour le 1er joueur ? pour le 2ème joueur ?
Solution proposée par Julien de Prabère Des impairs stationnaires…
Un joueur en présence d’un nombre impair est contraint de changer sa parité en jouant X+1 ou 2X. Son adversaire pourra lui restituer un nombre impair en jouant petit (X+1). En conséquence si la cible est impaire le premier joueur en mesure d’atteindre un nombre impair gagnera la partie. Autrement dit, si la cible est impaire, toutes les valeurs de départ impaires seront défavorables pour le premier joueur.
Sinon ne doubler que les petits …
Supposons donc la cible c, paire et introduisons le quotient entier de c par 4, noté q, pour examiner la fin de partie. Nous aurons c = 4 q + 2 r (avec 0 ≤ r ≤ 1).
Tant que X est strictement supérieur au quotient entier de c par 2 (2 q+ r avec nos notations), alors que les doublements sont à proscrire sous peine de perte immédiate, les joueurs sont contraints de jouer petit (X+1). Deux de leurs coups successifs conservent la parité. Sera donc en mesure de gagner, le joueur qui pourra, le premier, laisser à son adversaire un nombre pair strictement supérieur à 2q+r c’est à dire supérieur ou égal à 2q+2.
Par contre, les valeurs strictement supérieures à q et inférieures ou égales à ce quotient seront à proscrire, sous peine de doublement (et donc d’atteinte les valeurs paires supérieures ou égales à 2 (q+1) précitées). La valeur du quotient entier de c par 4 constitue alors, si elle est supérieure à d, une très bonne valeur. L’espace de valeurs à proscrire qu’elle précède lui confère toutes les propriétés d’une cible. En la laissant à son opposant, un joueur avisé pourra s’assurer le gain de la partie.
Les cibles paires pourront donc, tant que leurs quotients entiers par 4 seront supérieurs à la valeur de départ, être remplacées par ces quotients qui constitueront autant de cibles intermédiaires...
Les deux observations précédentes permettent de déterminer la stratégie gagnante en la décrivant par des valeurs à atteindre dépendant uniquement de la cible c. Les valeurs de départ d (non nulles pour écarter des refus d’engagement 2x0=0 !) conditionneront alors la possibilité pour le premier ou le second joueur de s’emparer de cette stratégie et de remporter la partie.
Privilégier les impairs, sinon prendre des quarts pour retenir les grands pairs ?
Ainsi pourrait-on tenter de décrire les stratégies optimales…La mise en œuvre de la méthode, ainsi décrite, conduit aux résultats suivants.
Cible 34 Les cibles intermédiaires sont 8, 4 et 2. Les joueurs devront chercher à atteindre 2, 6 ou 8 et toutes les valeurs paires de 18 à 34. Autrement dit, le premier joueur aura une stratégie gagnante si d, valeur de départ, est différente de l’une de ces valeurs (le premier joueur pourra alors atteindre une de ces valeurs puis, nous l’avons montré, y revenir sans que son adversaire puisse s’y opposer).
Zig n’a pas de chance car la valeur de départ correspond précisément à une cible intermédiaire (tout se passe comme si Puce venait d’atteindre cette valeur). Qu’il laisse alors 2+1=3 ou 2*2=4, Puce pourra doubler pour atteindre 6 ou 8 (les deux valeurs paires associées à la cible 8). Ces deux valeurs conduiront Zig à jouer 6+1=7 (réponse 8), ou bien à dépasser la cible intermédiaire avec 8+1=9, 6*2=12 ou 8*2=16 (réponses doublements vers 18, 24 ou 32, toutes supérieures à la moitié de la cible) et Zig, dans l’impossibilité de redoubler, sera condamné à laisser des valeurs impaires, il ne pourra jamais atteindre la cible 34 !
Cible 32 Les cibles intermédiaires et valeurs seraient les mêmes (à l’exclusion de 34).
Cible 36 La cible intermédiaire est 9. Les joueurs devront donc chercher à atteindre les nombres : 1, 3, 5, 7 ou 9 puis 20, 22, 24, 26 … jusqu’à la cible 36. Toutes ces valeurs de départ sont gagnantes pour le second joueur et, inversement, toute valeur étrangère à cette liste est gagnante pour le premier joueur.
Cible 2008 Les cibles intermédiaires sont 502, 125. Tous les impairs de 1 à 125 puis les valeurs paires de 252 à 502 puis de 1006 à 2008 ne sont pas favorables pour le premier joueur.
Cible 2009 Les valeurs impaires sont défavorables pour le premier joueur. Bon courage (vous êtes condamné à jouer petit), si l’adversaire ne comprend pas rapidement !
