E435. Jouer petit ou doubler la mise
Zig et Puce jouent à une variante de NIM. Ils fixent d'un commun accord le nombre de départ et la cible . A tour de rôle chacun d'eux remplace le nombre que lui laisse l'autre joueur par ou par . Le premier joueur qui est obligé d'écrire un nombre strictement plus grand que la cible a perdu.
Le tirage au sort donne la main à Zig. Qui gagne la partie ?
Généraliser avec quelconque et quelconque . Dans quels cas y a-t-il une stratégie gagnante pour le 1er joueur ? pour le 2ème joueur ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Notons s’il existe une stratégie gagnante pour le joueur qui reçoit le nombre , et sinon (son adversaire a alors une stratégie gagnante). Notons également si et sont de même parité, et
sinon.
En particulier, si le 1er joueur l’emporte, alors que si le 2ème joueur l’emporte.
Un joueur dispose d’une stratégie gagnante à un certain moment, si l’un au moins de ses choix ne permet pas à son adversaire de construire à son tour d’une stratégie gagnante, soit :
Si , on a , car le joueur précédant a écrit un nombre strictement plus grand que la cible.
1. Supposons impair :
Si , on a .
Si , on a .
Et ainsi de suite, de sorte que .
Si impair et pair, le 1er joueur l’emporte. Si et impairs, le 2ème joueur l’emporte.
2. Supposons pair :
Si , on a .
Si , on a .
Si , on a .
a. Supposons impair :
Si , on a
Si , on a .
Et ainsi de suite, de sorte que . b. Supposons pair :
Si , on a
Si , on a .
Si , on a .
On est amené à discuter selon la parité de , et ainsi de suite jusqu’à atteindre …
Si c est pair, on peut ainsi déterminer le joueur qui l’emporte en fonction de d et de la parité des .
Application au cas . On calcule , , et on conclut que .
Puce gagne la partie.
