E435. Jouer petit ou doubler la mise
Plus généralement notonsf(d, c) l’étatG(gagnant) ouP (perdant) pour celui qui hérite d’une positiondet d’une ciblec.
Nous conviendrons quef(d, c) =Gsid > c(ce choix traduit le fait que le joueur précédent a virtuellement perdu, le nombre xétant strictement supérieur à la cible). Par contre,f(d, c) =P sid=c(le joueur héritant de cette position n’a pas d’autre choix que d’inscrire un nombre strictement supérieur à la cible).
En raisonnant à l’envers, nous en déduisons les relations de récurrence :
f(x, c) =? f(2d, c) =P f(2d, c) =G
f(d+ 1, c) =P G G
f(d+ 1, c) =G G P
Ainsi partant de f(34,34) = P, nous en déduisons que f(2d−1,34) = G, f(2d,34) = P et f(d,34) = Gpour 9 6 d6 17. Puisf(8,34) = f(6,34) = f(2,34) = P tandis que f(7,34) =f(5,34) =f(4,34) =f(3,34) =G. Ainsi c’est Puce qui gagnera la partie.
Montrons que pour tout 16d6c = 2k+ 1, nous avonsf(d, c) = Gsi xest pair etf(d, c) =P sinon.
En effet, nous avonsf(c, c) =P et f(d, c) est nécessairement l’état inverse de f(d+ 1, c) pour toutk+ 16d62k.
Supposons la propriété démontrée jusqu’à un certain rang 26d6c.Si d est pair, alorsf(d, c) =f(2d−2, c) =Get f(d−1, c) =P.Sinonf(d, c) =P et f(d−1, c) =Gen jouant +1.
Sic= 2k,alors partant def(c, c) =P,nous en déduisons quef(2d−1, c) =G, f(2d, c) =Petf(d, c) =Gpourk
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+16d6k.En particulier, nous montrons quef(d, c) =f d,k
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pour tout 16d6k
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et nous pouvons itérer selon la parité dek
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jusqu’à parvenir à un cas dont l’état est connu.
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