Jouer petit ou doubler la mise
Problème E435 de Diophante
Zig et Puce jouent à une variante de NIM. Ils fixent d'un commun accord le nombre de départ d = 2 et la cible c = 34. A tour de rôle, chacun d'eux remplace le nombre X que lui laisse l'autre joueur par X+1 ou par 2X. Le premier joueur qui est obligé d'écrire un nombre strictement plus grand que la cible a perdu. Le tirage au sort donne la main à Zig. Qui gagne la partie ?
Généraliser avec d quelconque et c quelconque (c > d). Dans quels cas y a-t-il une stratégie gagnante pour le 1er joueur ? pour le 2ème joueur ?
Solution
Pour chaque valeur de X établissons un lien avec les valeurs autorisées par la règle du jeu.
De manière classique, colorons en rouge ou en vert les valeurs de X de telle sorte que de toute position rouge on puisse aller à (au moins) une position verte et que de toute position verte on ne puisse aller qu’à des positions rouges.
Ce coloriage est unique et peut s’obtenir de proche en proche en partant de 34 coloré en vert.
Les positions vertes sont qualifiées de gagnantes et, a contrario, les rouges de perdantes, en ce sens que d’une position gagnante on passe nécessairement à une position perdante et que d’une position perdante on peut toujours passer à une position gagnante.
Un joueur aboutissant à un moment du jeu dans une position gagnante est certain de gagner, s’il ne commet pas d’erreur.
Ici, la position de départ 2 est gagnante. Le joueur qui commence doit perdre, si son adversaire connaît la bonne stratégie.
Donc Puce est certain de gagner (s’il joue bien).
Nous aurions pu ajouter la position >34, colorée en rouge, qui succède par doublement à tous les X supérieurs à 17. Cela aurait compliqué inutilement le graphe du jeu.
Généralisation
Appelons jeu simple, le jeu où seul le passage de X à X+1 est permis.
Dans ce jeu la parité de X change à chaque coup : le gagnant est le joueur qui occupe les positions de même parité que la cible.
Dans l’exemple traité, il apparaît que dès que 2X est supérieur à la cible, le jeu se réduit au jeu simple. Ce phénomène est général.
Par ailleurs, lorsque la cible est un nombre impair alors le gagnant est le joueur qui vient occuper les positions impaires. Le passage au double amène à occuper une position perdante.
Autrement dit, lorsque la cible c est un nombre impair, jouer petit ou doubler la mise est sans grand intérêt.
Revenons au cas où la cible est un nombre pair et redessinons le graphe du jeu (en supposant d ≥ 2).
Bien que ce ne soit pas évident au premier coup d’œil, ce graphe est planaire en ce sens qu’il peut être dessiné sans que deux arêtes se coupent.
33 32
34 17 16
2 8 4 31
15 30
13 14
29 28
27 7 26
12
25 6 24
3
20 10 9 5
19
18 23
21 22 11
Ici, les entiers sont situés sur une spirale de telle sorte que X et 2X soient sur un même rayon issu du centre de la spirale.
Vu de la sorte, la généralisation apparaît en distinguant deux cas :
Premier cas : la cible possède un nombre impair de facteurs 2, alors tous les impairs sont rouges et à chaque tour les pairs changent de couleur, en partant de la cible c (en vert).
2
2
C
k
Plus formellement, les nombres (c+1) / 2k, pour k entier croissant, découpent sur R des intervalles I0, I1, … de longueurs décroissantes. Les positions gagnantes (en vert) sont les entiers pairs qui appartiennent à un intervalle Ik de rang pair.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
35 17,
8,
I0
4, 2, 1,
I1
2 3
4 I
I I
Nous pouvons ainsi répondre précisément à la question posée.
Il y a une stratégie gagnante pour le premier joueur lorsque le départ d est rouge pour la cible c verte. C’est toujours le cas lorsque d est impair.
Lorsque d est pair, soit Ui l’intervalle [d*2i, d*2i+1[, pour i entier, et soit k la valeur pour laquelle c appartient à Uk, alors il y a une stratégie gagnante pour le premier joueur seulement lorsque k est impair.
Second cas : la cible possède un nombre pair de facteurs 2, alors c = 22ki, où i est un nombre impair (ci-dessous c = 84, k =1 et i = 21).
En partant de la cible c (en vert), au premier tour, les nombres pairs sont verts et les impairs rouges et au second tour tous les nombres sont rouges ; il en va ainsi k fois (en tout), pour arriver à i, qui est nécessairement vert ; après, au-dessous de i, tous les impairs sont verts et tous les pairs sont rouges (comme au jeu simple).
84
D’où la stratégie gagnante : au début, occuper les positions impaires jusqu’à i (compris) et ensuite les positions paires, sur les spires de rang impair (relativement à la cible).
Grille vierge
à colorier, après le choix de c (vert)
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