E435 - Jouer petit ou doubler la mise Solution de Claudio Baiocchi
On note D la valeur de départ, R le résultat qu'on transmet à l'adversaire.
CIBLE 34 1) D=34 perd.
2) Si D est compris entre 18 et 33: pour ne pas perdre tout de suite, R=2D est interdit; et avec R=D+1, on gagne si et seulement si D est impaire: pas à pas on arrive à R=34.
3) Si D est compris entre 9 et 17, on gagne avec R=2D.
4) Si D est compris entre 5 et 8, avec R=2D on perd; donc R=D+1, ce qui fait gagner si et seulement si D=5 ou D=7.
5) Si D=3 ou 4: on gagne avec R=2D.
6) Si D=2: on perd, car on doit faire R=3 ou 4.
7) D=1: R=2 (forcé) et on gagne.
Conclusion : Zig avec une valeur de départ D = 2 est donc perdant.
Remarque : pour toute cible paire l’analyse est semblable. Elle peut être plus longue pour des grandes cibles mais elle n’est pas plus compliquée car avec une « marche arrière » qui part de la cible et couvre toutes les valeurs entières décroissantes, on est certain de retrouver la valeur de départ.
CIBLE 35
Les valeurs de départ D impaires sont perdantes pour le premier joueur. A contrario, les valeurs paires de D lui donnent le gain.
En effet à partir d’une valeur D impaire, le premier joueur en ajoutant 1 ou en doublant la mise donne un résultat R pair. Le deuxième joueur en ajoutant 1 à ce résultat transmet un nombre impair. Il en sera de même à toutes les étapes ultérieures de la partie. Seul le deuxième joueur est en mesure d’atteindre 35. Il est donc certain de gagner.
Raisonnement symétrique si D est pair. Le premier joueur transmet R = D+1 qui est un nombre impair et il est sûr de gagner.
Remarque : la stratégie avec la cible 35 reste valable pour toute cible impaire.
Nota
L’algorithme devient plus complexe si l'on remplace "doubler" par "tripler".
Par exemple, toujours avec la cible 35:
35 perd, 34 gagne. 33 perd, donc 11 gagne; il existe un impair gagnant.
32 gagne, 31 perd. 30 gagne, donc 10 perd: les deux choix R=11 et R=30 font gagner l'adversaire.
29 perd, 28 gagne. 27 perd, donc 9 gagne (aussi jouant bas).
26 gagne, 25 perd. 24 gagne, donc 8 perd: les deux choix R=9 et R=24 font gagner l'adversaire.
23 perd, 22 gagne. 21 perd, donc 7 gagne (aussi jouant bas).
20 gagne, 19 perd. 18 gagne, donc 6 perd: les deux choix, 7 et 18, font gagner l'adversaire.
17 perd, 16 gagne. 15 perd, donc 5 gagne (aussi jouant bas).
14 gagne, 13 perd. 12 gagne, donc 4 perd: les deux choix, 5 et 12, font gagner l'adversaire.
On sait déjà que, pour D entre 4 et 11, on gagne avec les impairs et on perd avec les pairs; de sorte que 3 gagne.
D=2 gagne avec R=6; donc 1 perd.
