Problème E435 – Solution de Jean Drabbe
Plaçons-nous immédiatement dans la situation générale (d < c quelconques).
Convenons de désigner les joueurs par I et II et d'attribuer invariablement la main à I .
Nous écrirons (d,c) convient à I (respectivement à II) comme abréviation pour
I (respectivement II) a une stratégie gagnante lorsque les valeurs de départ et cible sont respectivement d et c .
Soient E = {d+1 , d+2 , ... , c} et F l'unique fonction de E dans {0 , 1} satisfaisant à
F(c) = 1
F(x) = 0 si (x+1 ≤ c et F(x+1) = 1) ou ( 2x ≤ c et F(2x) = 1 )
F(x)= 1 dans les autres cas
Nous dirons, avec Berge [1], que la partie N de E définie par N = {x ∈ E F(x) = 1 }
est le noyau du jeu considéré.
Exemples 1 – Si c est impair, alors N est exactement l'ensemble des nombres impairs appartenant à E.
Exemples 2 – Si d = 2 et c = 34 , alors N contient exactement les nombres suivants :
6 8 18 20 22 24 26 28 30 32 34
L'intérêt de la notion de noyau réside dans la proposition suivante.
Proposition 1 - Si un joueur laisse le jeu dans un état appartenant à N , au tour suivant, son adversaire devra laisser le jeu dans un état appartenant à E \ N .
Inversement, si un joueur laisse le jeu dans un état appartenant à
E \ N , son adversaire pourra, au tour suivant, se diriger vers un état appartenant à N .
On en déduit immédiatement le résultat :
Dans tous les cas, l'un des deux joueurs a une stratégie gagnante.
L'heureux bénéficiaire est I si et seulement si d+1 ∈ N ou 2d ∈ N
Il est facile d'établir les deux propositions suivantes.
Proposition 2 - Pour tout d,c (d<c), les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) (d,c ) convient à I (b) (d,4c) convient à I (c) (d,4c+2) convient à I
(Trivialement, cette proposition reste vraie si l'on y replace I par II ).
Proposition 3 - Pour tout d,c (d<c),
si (d,c) convient à II
alors (d+1,c) et (2d,c) conviennent à I .
QUELQUES CAS PARTICULIERS - Les exemples précédents montrent que :
Si c est impair et d est pair, alors (d,c) convient à I . Si c et d sont impairs, alors (d,c) convient à II . (2,34) convient à II .
Comme, lorsque d = 2 , les seules valeurs de c < 12 pour lesquelles (d,c) convient à II sont 8 et 10 , on déduit de la proposition 2 que
(2,c) convient à II si et seulement si c est la somme de puissances impaires (distinctes entre elles) de 2. Nous retrouvons la situation (2,34) traitée plus haut .
La représentation binaire de c peut également fournir des conditions nécessaires et suffisantes simples pour des jeux admettant des valeurs de départ supérieures à 2.
[1] BERGE,C., Théorie des Graphes et ses Applications, Dunod (1963).
Une nouvelle édition a été publiée en 1992.
