Enoncé E632 (Diophante) A l’Auberge du Chapeau
A l’Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d’une grande table circulaire. Chacun d’eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés par les autres commensaux
L’aubergiste leur demande de déclarer, tous en même temps, à haute voix, la couleur de leur propre chapeau. Si au moins la moitié d’entre eux font des déclarations correctes, le repas est offert à toute la tablée. Si non, ce sera pour tout le monde le repas au prix fort.
Q1 Démontrer que les convives peuvent s’assurer la gratuité du repas.
Q2 Le scénario est le même que précédemment avec 24 convives, 4 couleurs de chapeau : noir ou blanc ou bleu ou rouge et l’aubergiste offre le repas si au moins six convives font des déclarations correctes. La gratuité est-elle assurée ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Les convives conviennent de la stratégie suivante : ils se divisent en deux groupes de 12. Dans le premier groupe, on déclare noir si on voit un nombre impair de chapeaux noirs et un nombre pair de chapeaux blancs parmi les chapeaux des 23 autres et on déclare blanc si on voit un nombre pair de chapeaux noirs et un nombre impair de chapeaux blancs. Dans l’autre groupe, on fait la déclaration contraire.
Si le nombre effectif des chapeaux noirs est pair (et il en est de même des chapeaux blancs), les 12 réponses du premier groupe sont bonnes ; si chapeaux noirs et chapeaux blancs sont en nombre impair, les 12 réponses du second groupe sont bonnes.
Question 2
Les convives se divisent maintenant en 4 groupes de 6.
La répartition des chapeaux peut se traduire par un nombrenbcr à quatre bits, les restes modulo 2 des nombres de chapeaux noirs, blancs, bleus et rouges respectivement. Le nombre total étant pair, il y a 8 possibilités, 1111, 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, 0000.
Ce que voit un convive se traduit de même par un des nombres à 4 bits 1110, 1101, 1011, 0111, 1000, 0100, 0010, 0001. Le nombre que constate le convive diffère du nombre caractérisant la répartition par exactement un bit. Cette différence, ou équivalemment la somme faite bit par bit sans retenue, identifie s’il s’agit du bit n, b, c ou r, désignant la couleur du chapeau de ce convive.
Dans le premier groupe de six, les convives interprètent le nombre qu’ils voient comme venant de la répartition 1111 (si le nombre vu a 3 bits 1), ou de la répartition 0000 (s’il n’y a qu’un bit 1).
Le second groupe de six interprète le nombre vuV comme venant de 1100 ou 0011 ; si la sommeV + 1100 a 3 bits,V + 0011 n’en a qu’un et permet une conclusion en couleur de chapeau.
De même, le troisième groupe de six interprèteV comme venant de 1010 ou 0101. Et le quatrième, comme venant de 1001 ou 0110.
Dans au moins un des 4 groupes, l’hypothèse sur la répartition est correcte et les six réponses de ces convives assurent la gratuité pour tous.
