Allal mahdade www.chimiephysique.ma Page 1

(1)

Allal mahdade www.chimiephysique.ma Page 1

رھاظملا

ةيقاطلا

Aspects energitique

I ةوق لغش ــ بلص مسج ىلع ضبان فرط نم ةقبطم

1 ( ريكذت ) ةتباث ةوق لغش ــ

ةتباث ةوق لغش نع ربعن F

نم اھريثأت ةطقن لاقتنا دنع ةطقن ىلإ A

لاب A : ةيلاتلا ةقلاع

_A^W_→_B

( )

^F ⁼^F.AB⁼^F.AB.cos^α

نأ ثيحب α

نيب ةيوازلا F

AB و

ةطقنلا نيب ةلصافلا ةفاسملاAB ةطقنلا وA

رتملاب اھنع ربعنو لاقتنلااب ىمست B (m)

ب ةوقلا ةدش F (N)

AWB

( )

F

→

ةوقلا لغش F

لوجلاب هنع ربعنو (J)

بتملا راسملاب ةتباث ةوق لغش قلعتي لا * . يئاھنلاو يئدبلا اھيعضومب قلعتي لب ريثأتلا ةطقن فرط نم ع

2 ةتباث ريغ ةوقل يئزجلا لغشلا ــ

ةوق ربتعن

F

نم لقتنت اھريثأت ةطقنو ةتباث ريغ ىلإ A

. B

راسملا ئزجن ةتباث ريغ لغش باسحل ةيئزج تاراسم ىلإ

δ رابتعاب حمست رغصلا يف ةيھانتم ℓ F

. اھنم لك يف ةتباث

ةوقلل يئزجلا لغشلا ريبعت F

يئزجلا لاقتنلاا للاخ δ

: وھ ℓ

( )

W F F.

δ = δ ℓ

لا ةريغتملا ةوقلل يلكلا لغش F

: ةيئزجلا لاغشلأا عومجم وھ

( )

^BA

( )

^BA A B

W F W F F.

→ =

∑

δ =

∑

δ^ℓ

3 ضبان فرط نم ةقبطملا ةيجراخلا ةوقلا لغش ــ

اضبان ربتعن هتبلاص ةلصتم ريغ تافل اذ R

هتلتكو k

لمھم . تباث لماحب هيفرط دحأ تبثن .يقفأ عضو يف ، ة

رحلا هفرط دنع ضبانلا ىلع قبطن ةوق M

F′

لاطيف ،

ةطقنلا لقتنت ثيحب ضبانلا رادقملاب M

OM=x i .

ةطقنلا لثمت عضوم O

. ضبانلل ةيئدبلا ةلاحلا يف M

، ةلدابتملا تاريثأتلا نوناق ، نتوينل ثلاثلا نوناقلا بسح

ةوق قبطي ضبانلا نإف F

دادترا ةوق يھو برجملا ىلع

F= −F′

نأ ثيحب F= −kxi

نأ يأ F′ =kx i نأ يأ F′

لوصفلأاب قلعتت . ةتباث ريغ يھف نذإ x

ةوقلا لغش ريبعت F′

نم ضبانلا فرط لقتني امدنع ىلإ A

B

( )

^BA

( )

^BA ^BA

AWB F W F F . kx i. x.i

→ ′ =

∑

δ ′ =

∑

′δ =^ℓ

∑

δ

: عومجملا اذھ ديدحتل نيتقيرط لامعتسا نكمي

ةينايبملا ةقيرطلا ــ أ :

تاريغت لثمن نيروحم ةمظن يف F

لوصفلأا ةللادب يھو x

. ضبانلا ةلاطإ F=kx

يأ لصأ نم رمت ةيطخ ةلاد اھنأ

. ةمظنلا

يئزجلا لغشلا قفاوي

( )

W F′ k.x. x

δ = δ

ليطتسملا ةحاسم

. هبناج لكشلا يف نيبملا دوسلأاب يئزجلا

ةطقنلا لاقتنا دنع M

نم A اھلوصفأ xA

B ىلإ اھلوصفأ xB

،

ةوقلل يلكلا لغشلا نإف F′

تاحاسم عومجم هقفاوي

فرحنملا هبش ةحاسم يواسيو ةيئزجلا تلايطتسملا CDEF

( ) ( )

CDEF OEH OCD A

2 2

B A

A B B

1 1

W F kx kx

2 2

W F

→

′

′ = = −

= −

A A A

(2)

Allal mahdade www.chimiephysique.ma Page 2

ةيليلحتلا ةقيرطلا ــ ب

عومجملا ةقباسلا ةقلاعلا يف ضوعن

∑

لماكتلاب

∫

يئزجلا لاقتنلاو δℓ

يلضافتلا رادقملا ب ةقلاعلا ىلع لصحنف dx

: ةيلاتلا

( ) ( )

B B

A A

x x

2

A B x x

2 2

B A

A B

W F kxdx 1kx

2

1 1

W F kx kx

2 2

→

 

′ = = 

′ = −

∫

: ةصلاخ

جي ضبانل رحلا فرطلا ىلع برجم فرط نم ةقبطملا ةوق لغش ريبعت عضوم نم لقتني هلع

A

عضوم ىلإ

B

ىلع امھلوصفأ

يلاوتلا xA

B و : وھ x

( )

²^B ²^A

A B

1 1

W F kx kx

2 2

→ ′ = − .

نأ امبو F= −F′

ةقبطملا دادترلاا ةوق لغش نإف : وھ ضبانلا فرط نم

( )

²^A ²^B

A B

1 1

W F kx kx

2 2

→ = −

دادترلاا ةوق لغش قلعتي F

. مسجلا روصق زكرمل يئاھنلا عضوملاو يئدبلا عضوملاب

نيرمتلا 1

ىلع ةقبطملا ةوقلا لغش بسحأ هتبلاص ضبانل رحلا فرطلا A

K=50, 0N / m

رادقملاب هلوط ريغتي امدنع يئدبلا هلوط نم اقلاطنا x

ℓ0

: نيتيلاتلا نيتلاحلا يف

1 نم ضبانلا ةلاطإ ــ x0 =0cm

1 ىلإ x =5cm

2 نم ضبانلا طاغضنا ــ x0 =0cm

2 ىلإ x = −5cm

3 ريغتت امدنع ــ نم x

x2 1 ىلإ x

4 برجملا دي ىلع ضبانلا فرط نم ةقبطملا ةوقلا لغش ةميق جتنتسا ــ

: باوجلا

F′

وقلا : ىلع ةقبطملا ة : ضبانلل رحلا فرطلا ، A

: انيدل

1

( )

ــ

1

0 1

0

x 2

2 2 1 2

1 0

A A

x

W (F ) Kxdx 1K x x K 6, 5 10 J

2 2

−

→ ′ =

∫

= − = = ×

2

( )

ــ

2

0 2

0

x 2

2 2 2 2

2 0

A A

x

W (F ) Kxdx 1K x x K 6, 5 10 J

2 2

−

→ ′ =

∫

= − = = ×

3

( )

ــ

1

2 1

2

x

2 2

1 2

A A

x

W (F ) Kxdx 1K x x 0J

→ ′ =

∫

=2 − =

4 ــ

0 1 0 1

0 2 0 2

2 1 2 1

2

A A A A

2

A A A A

W (F) W (F ) 6,5 10 J W (F) W (F ) 6, 5 10 J W (F) W (F ) 0J

−

→ →

−

→ →

= − ′ = − ×

= − ′ =

II ةنرملا عضولا ةقاط ــ

م وأ اطوغضم ضبانلا نوكي امدنع يتلا ةلاحلا يف . ةنرملا عضولا ةقاط ىمست هھوشت ةلاحب طبترت ةقاط نزتخي نزتخي هنإف لااط

. ةمدعنم نوكت ةنرملا عضولا ةقاط نإف اطوغضم لاو لااطم لا ضبانلا اھيف نوكي

ةوق برجملا قبطي امدنع F′

نم لقتنت هريثأت ةطقن لعجل ضبانلل رحلا فرطلا ىلع ةطقنلا

A

اھلوصفأ

x

A

ىلإ نوكس ةلاح يف

ةطقنلا اھلوصفأ B

xB

: انيدل ةيكرحلا ةقاطلا ةنھربم بسح هنإف ، نوكس ةلاح يف كلذك دجوت ثيح

(3)

Allal mahdade www.chimiephysique.ma Page 3

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

B A

A B A B A B A B

2 2

A B

1 1

mv mv W F W F 0 W F W F

2 2

1 1

W F kx kx

2 2

→ → → →

→

′ ′

− = + = ⇒ = −

= −

نأ يأ ضبانلا ، برجملا } ةعومجملل ةقاطلا لاكشأ نم لكش ريغت يواسي ضبانلا فرط ىلع برجملا فرط نم قبطملا لغشلا

. ةنرم عضو ةقاط يھو {

نأ عضن

( )

^Pe

^{( )}

^Pe

^{( )}

A B

W F E A E B

→ = −

ھنزتخت يتلا ةقاطلا يھ يقفأ عضو يف { ضبان ــ مسج } نم ةنوكم ةعومجمل ةنرملا عضولا ةقاط فرعن ا

هذھ

لا : وھ اھريبعتو مسجلا هيوشت ءارج نم ةعومجم

2 pe

E 1k C

= 2 ∆ +ℓ .

. ةنرملا عضولا ةقاطل ةيعجرملا ةلاحلا نم اقلاطنا ددحت ةتباثC

لوصفلأل قفاوملا عضوملا يف ةمدعنم ةنرملا عضولا ةقاط راتخن ةماع ةفصبو x=0

يأ ، طوغضم لاو لاطم لا ضبانلا نوكي امدنع

ثيح (C=0) : وھ ةنرملا عضولا ةقاط ريبعت نوكيف

2 pe

E 1k

=2 ∆ℓ و . لوجلا يھ تادحولل يملاعلا ماظنلا يف اھتدحو

∆ =ℓ x

و يقفأ ضبان ةلاح يف ضبانلا ةلاطإ . هتبلاص k

: ةظوحلم

( )

B A pe

A B

E W F

∆ = − →

نيرمتلا عبات 1

:

5 . هوشم ريغ ضبانلا نوكي امدنع ةمدعنم ةنرملا عضولا ةقاط نأ رابتعاب ةلاح لك يف ةنرملا عضولا جتنتسا ــ

: باوجلا

2 pe

E 1K Cte

=2 ∆ +ℓ انيدل ةيعجرملا ةلاحلا بسح ،

x= ∆ =ℓ 0

نأ يأ Cte=0 نإف يلاتلابو

2 pe

E 1K

=2 ∆ℓ

: ىرخأ ةقيرطب وأ

( )

B A pe

A B

E W F

∆ = − →

نأ يأ

1

0 0 1

2

0 0 2

1

2 2 1

A 2

A pe

A A

A 2

A pe A A

A A pe

A A

E W (F) 6,5 10 J E W (F) 6, 5 10 J

E W (F) 0J

−

→

−

→

∆ = − = ×

∆ = − =

III . يقفأ عضو يف { ضبان ، بلص مسج } ةعومجملل ةيقاطلا ةساردلا ــ

1 عومجملل ةيكرحلا ةقاطلا ــ . ة

هتلتك هيوشتلل لباق ريغ بلصلا مسجلا رفوتي هتعرسو m

ةيكرح ةقاط ىلع ، نيعم عجرمل ةبسنلاب ةحازإ يف v EC

ثيحب

2 C

E 1mv

=2 ةدحو EC

علا ماظنلا يف . لوجلا يھ تادحولل يملا

. هروصق زكرم ةعرس يھ بلصلا مسجلا ةعرس نإف ، ةحازإ ةكرح يف مسجلا نأ امب

. بلصلا مسجلل ةيكرحلا ةقاطلا يھ بذبذتملا اذھل ةيكرحلا ةقاطلا ، نرم بذبذتمل ةبسنلاب

2 2

C

1 1 dx

E mv m

2 2 dt

 

= =  

 

نأ ثيحب

m 0

x x cos 2 t T

 π 

=  + ϕ

 

2 ا ةقاطلا ــ ةعومجملل ةيكيناكيمل

.

ةيكيناكيملا ةقاطلاب فيرعت :

ةظحل يف ام ةعومجمل ةيكيناكيملا ةقاطلا نيعم عجرم يف . ةعومجملا هذھل عضولا ةقاطو ةيكرحلا ةقاطلا عومجم يھ t

نرملا هعضو ةقاطو ةيلاقثلا هعضو ةقاط عومجم يھ يقفأ نرم بذبذتمل عضولا ةقاط

P pp Pe ة E =E +E

نم راملا يقفلأا ىوتسملا عم ةقبطنم ةيلاقثلا عضولا ةقاطل ةيعجرملا ةلاحلا راتخن بذبذتملا روصق زكرم G

(

EPP =0

)

لصحن

P Pe ىلع E =E كم ةعومجمل ةيكيناكيملا ةقاطلا ريبعت نأ يأ : وھ يقفأ ضبانو بلص مسج نم ةنو

2 2

m

1 1

E mv kx C

2 2

= + +

(4)

Allal mahdade www.chimiephysique.ma Page 4

: يھو ةنرملا عضولا ةقاطل ةيعجرم ةلاح رايتخاب Epe =0

نا يأ نزاوتلا دنع x=0

: يلاتلا ريبعتلا ىلع لصحن

2 2

m

1 1

E mv kx

2 2

= +

تاكاكتحلاا لامھإ ةلاح ــ أ

تابذبذتلا عسو ىقبي ةلاحلا هذھ يف xm

صاخلا هرود يرود ماظن ىلع لصحنف ، اتباث T0

ةقاطلا ظافحنا اندنع نوكيف ،

. ةعومجملل ةيكيناكيملا

2 2

m

1 1

E mv kx

2 2

= +

ميق تناك امھم و x

v

ةيوصقلا اھتميق ةلاطتسلاا ذخأت امدنع ــ xm

ةيكيناكيملا ةقاطلا نإف

2

m m

E 1kx

=2

ةمدعنم ةلاطتسلاا نوكت امنع ــ x=0

2 نإف

m m

E 1mv

= 2 نإف يلاتلابو

2 2

m m m

1 1

E kx mv

2 2

= =

: ةقلاعلا جتنتسن هنمو

m m

v x k

= m

اقلاطنا بذبذتملل ةيلضافتلا ةلداعملا ىلع لصحن نأ نكمي كلذك

: نمزلل ةبسنلاب اھقاقتشا ةيلمعب يأ ةيكيناكيملا ةقاطلا نم

2 2

m

2 2

dE dx dx d x d x

kx m 0 m kx 0

dt = dt + dt dt = ^⇒ dt + =

: يقفلأا نرملا ساونلل ةقاطلا تاططخم

نلا سفن ىلع ليثمت

Pe ةمظ و E EC

E و

: ةصلاخ ةقاطلا ظفحنت تاكاكتحلاا بايغ يف

. رحو يقفأ نرم ساونل ةيكيناكيملا

. ةلمھم ريغ تاكاكتحا ةلاح ــ ب

ايجيردت تابذبذلا عسو صقانتي ةلاحلا هذھ يف

نمزلا عم t

صحنف ، لا وأ يرود هبش ماظن ىلع ل

. ةمھم تاكاكتحا ةلاح يف يرود

نمزلا عم ةعومجملل ةيكيناكيملا ةقاطلا صقانت ىزعي t

تاريغت ىنحنم لكش ( تاكاكتحلاا دوجو ) يرارحلا لاقتنلاا ىلإ EPe

و

EC

E و ةللادب : نمزلا

nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/oscillateur_horizontal.htm -

http://www.sciences.univ l

IV ــ . يللا ساونل ةيقاطلا ةساردلا

1 . ةعومجملل ةيكرحلا ةقاطلا ــ

{ كلسلا ـ بيضقلا } يھ ةبذبذتملا ةعومجملا

(5)

Allal mahdade www.chimiephysique.ma Page 5

لوح نارود ةكرح يف هنأ امبو ، بيضقلل ةيكرحلا ةقاطلا يف رصحنت يللا ساونل ةيكرحلا ةقاطلا نإف ةلمھم هتلتك كلسلا نأ امب

تباث روحم

( )

^∆

: يلاتلا لكشلا ىلع ةيكرحلا ةقاطلا ريبعت نوكيس

2 C

E 1J 2 ^∆

= θɺ ثيح

J_∆ روحملل ةبسنلاب بيضقلا روصق مزع

( )

^∆

و كلسلا فرط نم دسجملا d

dt . بيضقلا نارودل ةياوزلا ةعرسلا θ

2 لا ةقاط ــ . ةعومجملا يلل عضو

هيل ةتباث يل ساون ربتعن روحم لوح ةيبذبذت ةكرح يف C

( )

^∆

روحملل ةبسنلاب بيضقلا روصق مزع ، كلسلا هدسجي

( )

^∆

وھ J_∆ .

ىلع ةيكرحلا ةقاطلا ةنھربم قبطن : اعابت يوازلا امھلوصفأ نيعضوم نيب ةعومجملا هذھ

θ1 2 و θ .

: هتكرح ءانثأ بيضقلا ىلع ةقبطملا ىوقلا درج P

بيضقلا ىلع كلسلا ريثأتو بيضقلا نزو R

زع يللا ةجودزم ىلإو اھم

C C.

M = − θ ،

: ةنھربملا قبطن

( ) ( )

2 2

2 1 C

1 1

J J W P W R W

2 ^∆θ −2 ^∆θ = + + نيتوقلا ريثأت طخ نأ امب

P R و

روحملا عم ناعطاقتي

( )

^∆

نإف

نأ يأ مدعنم امھلغش

2 2

2 1 C

1 1

J J W

2 ^∆θ −ɺ 2 ^∆θ =ɺ

عن : يلاتلا لكشلا ىلع يھ ةبذبذتملا ةعومجملا ةكرحل ةينمزلا ةلداعملا نأ مل

m 0

cos 2 t T

 π 

θ = θ  

 

ذخأن ϕ =0 طيسبتل

. ةيباسحلا تايلمعلا

1 m 1

0

cos 2 t T

 π 

θ = θ  

 

2 m 2 و

0

cos 2 t T

 π 

θ = θ  

 

نأ يأ

1 m 1

0 0

2 2

sin t

T T

 

π π

θ = −θ  

 

و ɺ

2 m 2

0 0

2 2

sin t

T T

 

π π

θ = −θ  

 

ضيوعتبو ɺ

) ةقلاعلا يف ريباعتلا هذھ 1

2 2 (

C 1 2

1 1

W C C

2 2

= θ − θ

يوازلا لوصفلأا ريغتي امدنع يللا ةجودزم لغش لثمت ةقلاعلا هذھ

1 نم θ

2 ىلإ θ لكش ريغت يواسي يللا ةجودزم لغش نأ يأ .

ا لاكشأ نم يھو { كلسلا ـ بيضقلا } ةعومجملل ةقاطل

. يلل عضولا ةقاط

( ) ( )

C pt pt

W =E 1 −E 2 نأ ثيحب

2

pt 1

E (1) 1C

= 2 θ

2 و

pt 2

E (2) 1C

= 2 θ : يلاتلا رادقملاب يلل عضولا ةقاط فرعن يلاتلابو

2 pt

E 1C Cte

= 2 θ +

Cte

، تباث ةيئدبلا طورشلا هددحتو ةيعجرملا ةلاحلاب قلعتت ة

3 ةعومجملل ةيكيناكيملا ةقاطلا ــ .

: وھ يللا ساونل ةيكيناكيملا ةقاطلا ريبعت

2 2

m

1 1

E J C Cte

2 ^∆ 2

= θ +ɺ θ + .

. ةلمھم تاكاكتحا ةلاح يف ــ أ

ةيلضافتلا هتلداعم ةدمخم ريغ رح يل ساونل ىلولأا تابذبذتلا نأ ربتعن J_∆ɺɺθ + θ =C 0

.

ريبعت قاقتشاب كلذو ةعومجملل ةيكيناكيملا ةقاطلا ظافحنا كانھ نأ نيبن نأ نكمي ةيكيناكيملا ةقاطلا ريبعت نم اقلاطنا Em

: نمزلل ةبسنلاب

( )

m

dE J C J C 0 E cte

dt = θθ + θθ = θ^∆ɺɺɺ ɺ ɺ ^∆θ + θ =ɺɺ ⇒ =

. ظفحنت ةيكيناكيملا ةقاطلا نأ يأ

ك نيبن نأ نكميو ةينمزلا ةلداعملا نم اقلاطنا كلذ

m 0

cos 2 t T

 π 

θ = θ  

 

: يھ ةتباثلا هذھ نأ

2

m m

E 1C cte

=2 θ =

ةصلاخ : دمخم ريغو رح يل سونل ةيكيناكيملا ةقاطلا ظفحنت :

(6)

Allal mahdade www.chimiephysique.ma Page 6

2

m m

E 1C cte

= 2 θ =

: يلاتلا لكشلا ىلع يھ ةقاطلا تاططخم

بتي ةقاطلا تاططخم للاخ نم يف ةرحلا تابذبذلا للاخ هنأ ني

عضو ةقاط ىلإ ةيكرحلا ةقاطلا لوحتت يل ساونل ةدمخملا

. حيحص سكعلاو

كاكتحلاا دوجو ةلاح يف ــ ب

. ةيرارح ةقاط ىلإ لوحتت ثيحب يللا ساونلل ةكيناكيملا ةقاطلا صقانتت

V نزاولا ساونلل ةيقاطلا ةساردلا ــ

زاولا ساونلا ةعومجملا ربتعن ن

} مسجلا ـ لماحلا S

{ نأ ثيحب J_∆

مزع مسجلا روصق لوصفلأاب هروصق زكرم ةكرح ملعمنو S

يوازلا θ ةظحل لك دنع t

. يضرأ عجرمب طبترم ملعمل ةبسنلاب

ةعومجملل ةيكرحلا ةقاطلا ــ اونلا رفوتي :

: ضرلأاب طبترملا عجرملا يف ةيكرح ةقاط ىلع نزاولا س

2 C

E 1J 2 ^∆

= θɺ

ةعومجملل ةيلاقثلا عضولا ةقاط ــ

: وھ ةلاقثلا لاجم يف نزاو ساونل ةيلاقثلا عضولا ةقاط ريبعت

Epp =mgz+cte ثيح

مسجلا ةلتك m S

z

و يف هروصق زكرم بوسنأ

ملعملا (O, i , j, k) R

هروحم مظنممو دماعتم

(O, k) هجومو يسأر

و ، ىلعلأا وحن . ةلاقثلا ةدش g

ةتباثلا . ةيعجرملا ةلاحلا نم اقلاطنا ددحت cte

نزاولا ساونلل ةيكيناكيملا ةقاطلا ــ .

m C pp

E =E +E

يضرأ عجرمب طبترم ملعم يف نزاو ساونل ةيكيناكيملا ةقاطلا ريبعت : وھ

2 m

E mgz 1J cte 2 ^∆

= + θ +ɺ

: لاثم : لكشلا بسح z=z0+h

ثيحب h=O 'G O 'G cos− θ نأ

O G′ =d عضن

( )

z=z0+d 1 cos− θ

ةتباثلا ديدحت نكمي : ةيعجرملا ةلاحلا نم اقلاطنا cte

Epp =0

0 دنع z=z نأ يأ cte= −mgz0



2 m

E mgd(1 cos ) 1J 2 ^∆

= − θ + θɺ

( )

dEm

mg sin J dt

mgd sin J 0

∆

= θ θ + θθ

= θ θ + θ =

ɺ ɺɺɺ

ɺ ɺɺ

Em=cte

يف نزاولا ساونلل ةيكيناكيملا ةقاطلا ىقبت تاكاكتحلال بايغ يف

. ةتباث ةلاقثلا لاجم ةعومجم نزاولا ساونلا نذإ

هيظفاحم

ةقاطلا تاططخم ــ

ةماعلا ةلاحلا ــ أ

ةقاط تاريغتل ينايبملا ليثمتلا * بوسنلأا ةللادب ةيلاقثلا عضولا

z .

Epp =mgz

Em =g(z)=cte

m pp c

E −E =E

.ةمدعنم وأ ةبجوم امإ ةيكرحلا ةقاطلا

(7)

Allal mahdade www.chimiephysique.ma Page 7

ةطقنلا يف

pp M M

E =mgz

C و E =0

m pp M

E =E =mgz نأ يأ z زواجتت نأ اھنكميلا zM

نأ ينعي z<zM

ةطقنلا يف O

pp : E =0

2 و

C m max

E E 1mv

= = 2

دادزت امدنع ةيكرحلا ةقاطلا صقنت z

EC

عضولا ةقاط دادزت Epp

حبصت نأ ىلإ z=zm

نأ يأ مسجلا فقوتيف EC =0

نزاولا ساونلا ةلاح ــ ب

ةيعجرم ةلاحك راتخن نزاولا ساونلل ةيلاقثلا عضولا ةقاط ــ Epp=0

ب ةبسنلا z=z0

ةلاحلا هذھ يف

( )

Epp=mgd 1 cos− θ

ــ ةقاطلا تاططخم

m pp C

E =E +E

نزاولا ساونلل ةبسنلاب ةتباث يھو ةيكيناكيملا ةقاطلا

Epp =mgd(1 cos )− θ ةيلاقثلا عضولا ةقاط

Epp= θf ( ) تاريغت باسح

Epp( )θ

dE mgd sin 0 sin 0

d = θ θ = ⇔ θ =

θ ɺ

θ = −π θ = π وأ

−π ≤ θ ≤ π

0≤Epp ≤2mgd ــ :ىلولأا ةلاحلا

Em>2mgd

m pp C و E =E +E نأ يأ

EC>0

روحملا لوح رودي نا هنكميو فقوتيلا نزاولا ساونلاف يلاتلابو

( )

^∆

ةيناثلا ةلاحلا ــ :

Em<2mgd نأ يأ

C m pp

E =E −E نأ امبو

EC ≥0 ةلاحلا هذھ يف

نلل ةيكرحلا ةقاطلا مدعنت نيتميقل ةبسنلاب نزاولا ساو

θm m و

−θ يف

اھللاخ لوحتت ةدمغم ريغو ةرح ةيبذبذت ةكرح ةعومجملل ةلاحلا هذھ

ةيلاقث عضو ةقاط ىلإ ةيكرحلا ةقاطلا

C pp

E E

∆ = −∆

.

ةلاح يف ريغص عسو تاذ تابذبذ

sinθ ≈ θ و

2

cos 1 2 θ ≅ −θ

2 2

EP mgd 1 1 mgd

2 2

 θ  θ

=  − + =

 