Chapitre 11 : Intégration
Table des matières
1 Notions d’intégrales 2
2 Propriétés de l’intégrale 4
3 Primitives d’une fonction 5
4 Techniques de calcul des primitives 6
5 Techniques de calculs d’intégrales 7
6 Sommes de Riemann et méthode des rectangles 9
7 Introduction aux intégrales généralisées 10
1 Notions d’intégrales
Définition 1.1. Aire sous la courbe.
Soit Cf la courbe représentative d’une fonction f dans un repère orthonormal (O) et deux réels a et b tels quea≤b. Uneunité d’aire(notée u.a.) est l’aire du rectangle de côtés Sif est de signe constant sur[a,b], l’aire sous la courbeCf entre a etb est l’aire du domaine :
• D ={M(x,y)/a≤x≤b ; 0≤y≤f(x)} quandf est positive ;
• D ={M(x,y)/a≤x≤b ;f(x)≤y≤0} quandf est négative.
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
D
Cf
a 1 u.a. b
Théorème 1. Aire sous la courbe d’une fonction continue.
Pour toute fonctioncontinue par morceaux sur [a,b], on peut définirune aire sous la courbe entre a et b.
Définition 1.2. Aire et intégrale.
Soit f une fonction continue par morceaux surI eta≤b dansI.
1. Sif estpositive surI, on appelle intégrale de f entrea etb, l’aire sous la courbe de Cf entre a et b.
2. Sif est négativesurI alors l’intégrale def entreaetb est l’opposée de l’aire définie ci-dessus.
3. Sif change de signes surI alors on découpe l’intervalle I en intervalles sur lesquelsf garde un signe constant.
Notations. Importantes pour la suite.
• Cette intégrale se note Z b
a
f(x)dx.
• aetb sont appelées lesbornesde l’intégrale.
• La variablexest « muette » c’est-à-dire que : Z b
a
f(x)dx= Z b
a
f(t)dt= Z b
a
f(u)du.
Proposition 1.1. Positivité de l’intégrale.
Soit f :[a,b]−→R une fonction continue par morceaux. Alors : 1. si f ≥0 sur[a,b], alors
Z b a
f(x)dx≥0 ; 2. sif ≤0 sur[a,b], alors
Z b a
f(x)dx≤0.
3. BLes réciproques sont fausses !
Définition 1.3. Cas des bornes « inversées ».
Sia > b, on pose
Z b a
f(x)dx=− Z a
b
f(x)dx.
Exemple 1. ♥
1. Donner le signe de M = Z 2
0
x−8 x3+1dx.
2. Calculer Z 3
−1
⌊x⌋dxet Z −1
3
⌊x⌋dx.
3. Soitf :x7−→x−2. Calculer I=
Z 4 2
f(x)dx, J = Z 2
0
f(x)dx et K= Z 4
0
f(x)dx.
2 Propriétés de l’intégrale
Proposition 2.1. Propriétés fondamentales de l’intégrale.
Soientf etg deux fonctions continues par morceaux sur un intervalle I a,b etc trois réels de I etαun réel quelconque.
1.
Z a a
f(x)dx=0; 2. Relation de Chasles.
Z b a
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx+ Z b
c
f(x)dx; 3. Linéarité de l’intégrale.
Z b a
(f(x) +g(x))dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx et Z b
a
αf(x)dx=α Z b
a
f(x)dx; 4. Croissance de l’intégrale. Sif ≤g sur[a,b] (aveca≤b) alors
Z b a
f(x)dx≤ Z b
a
g(x)dx;
5. Inégalité de la moyenne. Si a≤b etm≤f ≤M sur[a,b] alors, m(b−a)≤
Z b a
f(x)dx≤M(b−a).
Illustration pour la linéarité :
Rb af(x)dx
b
+
Rb ag(x)dx
b
= Rb
a(f(x) +g(x))dx
b
et
Rb af(x)dx
b
×2=
Rb a
2f(x)dx
b
Proposition 2.2. Intégrale et valeur absolue.
Soit f continue par morceaux sur [a,b] (a≤b). Alors
Z b a
f(x)dx
≤ Z b
a
|f(x)|dx≤(b−a) max
x∈[a,b]|f(x)|.
Théorème 2. Intégrale nulle.
Soitf continue etde signe constantsur[a,b]. Alors, si Z b
a
f(x)dx=0,f est nulle sur [a,b].
Exemple 2. ♠ 1. Soitun=
Z n+1 n
e−xdx. Déterminer par encadrement la limite de la suite (un)n∈N. 2. SoitF la fonction définie surRpar :F(x) =
Z x 0
du u2+1. (a) Justifier queF est bien définie et calculerF(0).
(b) Déterminer le sens de variation deF surRpuis dresser le tableau de signes deF surR.
3 Primitives d’une fonction
3.1 Définition. Lien entre deux primitives
Définition 3.1. Primitive sur un intervalle.
Soitf une fonction définie sur un intervalleI. On appelleprimitive def surItoute fonctionF dérivable surI telle que :F′ =f surI.
Exemple 3. ♦
Soitf définie sur Rparf(x) =2x−5. Donner deux primitives distinctes def surR. Théorème 3. Lien entre les primitives.
SoientF et Gdeux primitives d’une fonction f sur un intervalleI. Alors F et Gdiffèrent d’une constante.
Autrement dit,
∃c∈R tel que ∀x∈I, G(x) =F(x) +c.
3.2 Lien entre primitive et intégrale
Théorème 4. Théorème fondamental de l’analyse.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I= [a,b]. La fonction définie surI par A :x7−→
Z x a
f(u)du est l’unique primitive de f s’annulant en a.
A(x+h)−A(x)
b
a
b
b
b
x
b
x+h
b b
bf(x)
b
bf(x+h)
b
h
b
O
Remarque.
On peut donc exprimer une primitive de toute fonction continue surI, au minimum à l’aide du symbole in- tégrale. Pour certaines fonctions, c’est le seul moyen. Ainsi, on ne pourra noter autrement quex7−→
Z x a
e−u2du les primitives de la fonctionx7−→e−x2.
Théorème 5. Calcul d’intégrale.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I aetb deux nombres de I, alors : Z b
a
f(x)dx= [F(x)]ba=F(b)−F(a), oùF estune primitive quelconquede f surI.
On notera que le résultat du calcul de Z b
a
f(x)dxne dépend pas de la primitive choisie.
4 Techniques de calcul des primitives
Dans cette partie, on ne se préoccupe pas des questions liées aux ensembles de définition.
4.1 Vérifier que F est une primitive de f
Méthode 1. On dérive la fonction F donnée et on vérifie que F′ =f.
Exemple 4. ♣ Vérifier :
1. que x 7−→ x12 est une primitive de x 7−→ −x23 sur R∗
+ et que x 7−→ (x2+1)4 est une primitive de x7−→8x(x2+1)3 surR∗+.
2. que x7−→ ln(2x+1) est une primitive de x 7−→ 2x+12 sur R∗
+, que x 7−→ 12ex2 est une primitive de x7−→xex2 surRet quex7−→ −ln(1+e−x)est une primitive de x7−→ 1+ee−−xx surR.
3. quex7−→f(−x)est une primitive dex7−→ −f′(−x)sur−Df et quex7−→f(2x+1)est une primitive dex7−→2f′(2x+1)sur son ensemble de définition.
4.2 Primitives des dérivées usuelles
Méthode 2. Primitives des fonctions.
Pour déterminer une primitive d’une telle fonction, il suffit de connaître ses formules de dérivation et d’aller dans le sens contraire. On peut toujours ajouter une constante arbitraire si l’énoncé ne précise pas de quelle primitive on a besoin.
Exemple 5. ♠
Donner une primitive de : 1. x7−→0 ;
2. x7−→1 ; 3. x7−→2x;
4. x7−→ 1x; 5. x7−→ −x12.
4.3 Utiliser la linéarité pour déterminer une primitive
Méthode 3. Les formules de dérivation sont « naturelles » pour les opérations suivantes : somme/différence, multiplication/division par une constante. Par conséquent, il est aisé de déterminer une primitive de la somme/différence de deux dérivées usuelles et/ou du produit/du quotient d’une dérivée usuellepar une constante. Dans le dernier cas de figure, on raisonne par proportionnalité.
Exemple 6. ♣
Donner une primitive des fonctions suivantes : 1. x7−→ex−2x;
2. x7−→x; 3. x7−→ x5;
4. x7−→5x2; 5. x7−→ x92. Remarque. B
Ne jamais oublier, lorsque cherche une primitive, que les formules de dérivées d’un produit ou d’un quotient ne sont pas « naturelles » et qu’il n’y a aucune raison qu’elles le deviennent dans le sens contraire.
4.4 Primitives et composées
Méthode 4. On rappelle que, pour a,bet αréels : 1. (uα)′=αu′uα−1 avec u >0;
2. ln′(u) = uu′ avec u >0; 3. (eu)′ =u′eu;
4. f :x7−→u(ax+b) =⇒f′(x) =au′(ax+b).
Les cas particuliers précédents de dérivée d’une composée permettent fréquemment de dé- terminer des primitives. Il faut parfois combiner cette méthode avec les raisonnements par proportionnalité vus précédemment.
La méthode est à testeren prioritédès que l’on à affaire à un produit ou un quotient de fonctions(hors constantes).
Exemple 7. ♥
Donner une primitive de : 1. x7−→3e3x;
2. x7−→e3x; 3. x7−→xex2; 4. x7−→ x22x+1; 5. x7−→ (x22x+1)2; 6. x7−→ √2x
x2+1; 7. x7−→ (x22x+1)3;
8. x7−→ exe+5x ; 9. x7−→ e3x
(e3x+5)2; 10. x7−→ ln(x)x ; 11. x7−→ xln(1x); 12. x7−→x(x2+1)4.
5 Techniques de calculs d’intégrales
5.1 Calcul par recherche de primitive « à vue »
Méthode 5. Calcul d’intégrale.
Pour calculer Z b
a
f(x)dx, on cherche une primitiveFdef à l’aide des méthodes précedentes, puis on calculeF(b)−F(a).
Exemple 8. ♦ CalculerI1=
Z 1 0
3t2+t+1
dt,I2= Z e
1
du
u et I3= Z −e
−1
du u.
5.2 Intégration par parties
Parfois, il est trop difficile de trouver une primitive « à vue ». La méthode d’intégration par partie est basée sur la dérivée d’un produit. Elle ne permet pas de calculer directement une intégrale mais de plutôt de remplacer un calcul d’intégrale compliqué par un calcul d’intégrale plus simple (par exemple pour lequel on pourra trouver une primitive « à vue »).
Théorème 6. Formule d’intégration par parties.
Soientuetv deux fonctions C1 sur[a,b] alors : Z b
a
u′(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]ba− Z b
a
u(x)v′(x)dx.
Démonstration. Utiliser la linéarité de l’intégrale et la dérivée d’un produit.
Méthode 6. On l’utilise pour calculer une intégrale de la forme Z b
a
u′(x)v(x)dxquand le calcul de
Z b a
u(x)v′(x)dxest plus facile.
Afin de bien choisir quelle fonction serau′ laquelle serav, voici deux principes à retenir.
Si une des deux fonctions est une exponentielle, on la choisit souvent commeu′ car elle est facile à intégrer.
Si une des deux fonctions est un logarithme, on la choisit souvent comme v car sa dérivée ne contient plus de logarithme.
Exemple 9. ♦Calculer les intégrales suivantes : 1.
Z 1 0
(2t−1)etdt; 2.
Z 1 0
t2etdt;
3.
Z e 1
uln(u)du; 4.
Z x 1
ln(t)dt.
5.3 Changement de variable
Théorème 7. Changement de variable.
Soit f continue sur[a,b] etude classeC1 sur[α,β] telle queu([α,β])⊂[a,b]. Alors, Z β
α
f(u(t))u′(t)dt= Z u(β)
u(α)
f(x)dx.
Méthode 7 (Visualisation sur un exemple). 1. Posonsx=u(t). Par exemple, po- sons x=t2 pour calculerI =
Z 2 1
2t 3t2+1dt.
2. Ledtest modifié de la manière suivante :dx=u′(t)dt. Dans notre exempledx=2tdt 3. Modifier les bornes de l’intervalle en leur appliquantu. Ce qui donne
Z 22 12
· · ·
4. Remplacer u′(t)dt par dx (ou bien dt par udx′(t)) puis u(t) par x. On obtient ici I=
Z 4 1
dx 3x+1.
Effectuer un changement de variable permet parfois de simplifier l’expression, et ainsi de trouver une primitive un peu trop cachée, mais aussi de faire apparaître des propriétés sym- pathiques de l’intégrale étudiée.
Exemple 10. ♥
1. Effectuery =3x+1 dans le résultat de l’intégrale précédente.
2. Effectuerx=et dans l’intégraleI= Z 1
0
et
1+e−tdt puis calculerI.
3. Soitf continue surR.
(a) Montrer à l’aide d’un changement de variable que
∀a∈R, Z 0
−a
f(t)dt= Z a
0
f(−t)dt.
(b) En déduire que sif est paire, alors Z a
−a
f(t)dt=2 Z a
0
f(t)dt.
(c) Sif est impaire, calculer de même Z a
−a
f(t)dt.
(d) Interpréter graphiquement les deux résultats précédents.
6 Sommes de Riemann et méthode des rectangles
On rappelle un résultat démontré en TP, dans le cas particulier d’une fonction croissante et positive.
Théorème 8. Somme de Riemann.
Sif est de classe C0 sur[a,b], on pose Sn(f) =b−a
n
n−1
X
k=0
f
a+kb−a n
et Sn′(f) =b−a n
n
X
k=1
f
a+kb−a n
.
Les sommes de Riemann(Sn(f))n≥1 et(Sn′(f))n≥1convergent vers Z b
a
f(t)dt.
Ce théorème permet parfois de calculer certaines limites : Exemple 11. ♦
Calculer les limites des sommes suivantes : 1 n−1
2. 1 np+1
n−1
P
k=0
kp; 3. 2
n
n−1
P
k=0
e−1+2kn.
7 Introduction aux intégrales généralisées
7.1 Définition et premières propriétés
Définition 7.1. Convergence des intégrales généralisées.
Soit I un intervalle deR (que l’on précisera après) et soitf :I−→Rune fonction continue par morceaux.
1. Si I = [a,+∞[ (avec a ∈ R), on dit que l’intégrale Z +∞
a
f(t)dt converge si la fonction x∈[a,+∞[7−→
Z x a
f(t)dtadmet une limite finie en +∞. On note alors
x→+∞lim Z x
a
f(t)dt= Z +∞
a
f(t)dt.
2. Si I = ]−∞,b] (avec b ∈ R), on dit que l’intégrale Z b
−∞
f(t)dt converge si la fonction x∈]−∞,b]7−→
Z b x
f(t)dtadmet une limite finie en−∞. On note alors
x→+∞lim Z b
x
f(t)dt= Z b
−∞
f(t)dt.
3. Si I =R= ]−∞,+∞[, on dit que l’intégrale Z +∞
−∞
f(t)dt converge si les intégrales Z 0
−∞
f(t)dt et Z +∞
0
f(t)dt convergent et on alors Z +∞
−∞
f(t)dt= Z 0
−∞
f(t)dt+ Z +∞
0
f(t)dt.
Lorsque l’intégrale Z
I
f(t)dt ne converge pas, on dit qu’elle diverge.
Méthode 8. La définition met en évidence le fait qu’une intégrale généralisée est la limite d’une intégrale sur un segment.
En particulier, toutes les méthodes vues pour calculer des intégrales sur des segments restent valables (primitive à « vue », intégration par parties, changement de variable).
Ces opérationsdoivent être réalisées sur un segment, ensuite on passe à la limite.
Exemple 12. ♠
Montrer que les intégrales Z +∞
1
1 t2dt et
Z +∞
−∞
xe−x2dxconvergent et les calculer.
Proposition 7.1. Propriétés des intégrales généralisées.
SoitIun intervalle de la forme suivante :[a,+∞[(a∈R) ou ]−∞,b](b∈R) ouR. Soient f et g deux fonctions définies et continues par morceaux sur I telles que les intégrales Z
I
f(t)dt et Z
I
g(t)dtconvergent. Soit λ∈R. 1. Linéarité. L’intégrale
Z
I
(f+λg) (t)dtconverge et Z
I
(f+λg) (t)dt= Z
I
f(t)dt+λ Z
I
g(t)dt.
BL’intégrale Z
I
(f+λg) (t)dt peut converger sans que les intégrales Z
I
f(t)dt et/ou Z
I
g(t)dt ne convergent.
2. Posivité. On suppose ici que f est positive. Alors Z
I
f(t)dt≥0. Sif est supposée de plus continue surI, alors
Z
I
f(t)dt=0 ⇐⇒ ∀x∈I, f(x) =0.
3. Croissance de l’intégrale. On suppose que f ≤g. Alors, Z
I
f(t)dt≤ Z
I
g(t)dt.
4. Relation de Chasles.
Nous traitons uniquement le cas des intervalles du type[a,+∞[, les cas des intervalles ]−∞,b]et Rsont analogues.
Si I = [a,+∞[ (avec a ∈ R), alors pour tout x∈ [a,+∞[, l’intégrale Z +∞
x
f(t)dt converge et
Z +∞
a
f(t)dt= Z x
a
f(t)dt+ Z +∞
x
f(t)dt.
Exemple 13. ♣
1. Vérifier que la fonction t∈R∗ +7−→ 1
t2 est décroissante.
2. Montrer que
∀k∈N\ {0, 1},
Z k+1 k
dt t2 ≤ 1
k2 ≤ Z k
k−1
dt t2. 3. En déduire que
∀n∈N\ {0, 1}, 1+ Z n+1
2
dt t2 ≤
n
X
k=1
1 k2 ≤1+
Z n 1
dt t . 4. Rappeler pourquoi la série P
n≥1 1
n2 converge.
5. Montrer que l’on a
3 2 ≤
+∞
X
n=1
1 n2 ≤2.
Remarque. Euler (mathématicien suisse du 18ème siècle) a montré que +P∞ 1 = π2, mais c’est difficile.
7.2 Exemples fondamentaux
Proposition 7.2. Exemples fondamentaux.
1. Intégrale de Riemann. Pour tout α∈R, on a Z +∞
1
dt
tα converge ⇐⇒ α >1 et pour toutα >1, on a
Z +∞
1
dt tα = 1
α−1. 2. Intégrale exponentielle. Pour tout α∈R, on a
Z +∞
0
e−αtdtconverge ⇐⇒ α >0 et pour toutα >0, on a
Z +∞
0
e−αtdt= 1 α.
7.3 Critère de comparaison
Proposition 7.3. Critère de comparaison des intégrales des fonctions positives.
SoitIun intervalle de la forme suivante :[a,+∞[(a∈R) ou ]−∞,b](b∈R) ouR. Soient f etg deux fonctions définies et continues par morceaux sur I telles que
∀x∈I, 0≤g(x)≤f(x). 1. Si l’intégrale
Z
I
f(x)dxconverge, alors l’intégrale Z
I
g(x)dxconverge, et
0≤ Z
I
g(x)dx≤ Z
I
f(x)dx.
2. Si l’intégrale Z
I
g(x)dxdiverge, alors l’intégrale Z
I
f(g)dt diverge.
Exemple 14. ♥
1. Soit la fonction f définie surR+ parf(t) = t t3+1. (a) Montrer que
∀t∈R+, 0≤f(t)≤ 1 t2. (b) En déduire que l’intégrale
Z +∞
0
f(t)dt converge.
2. Soit la fonction f définie surR+ parf(t) =e−t2. (a) Montrer que
∀t≥1, 0≤f(t)≤e−t. (b) En déduire que l’intégrale
Z +∞
0
e−t2dtconverge.
7.4 Convergence absolue
Définition 7.2. Convergence absolue.
Soit I un intervalle de la forme suivante : [a,+∞[ (a∈R) ou ]−∞,b] (b∈R) ou R. Soit f une fonction définie et continue par morceaux surI.
Si l’intégrale Z
I
|f(t)|dt converge, on dit que l’intégrale Z
I
f(t)dtconverge absolument.
Proposition 7.4. Convergence absolue.
Soit I un intervalle de la forme suivante : [a,+∞[ (a∈R) ou ]−∞,b] (b∈R) ou R. Soit f une fonction définie et continue par morceaux surI. On suppose que l’intégrale
Z
I
f(t)dt converge absolument. Alors, l’intégrale
Z
I
f(t)dt converge et 0≤
Z
I
f(t)dt≤ Z
I
|f(t)|dt.
Remarque. La réciproque de ce résultat est fausse.
