Dérivation et intégration

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Dérivation et intégration

Opérations et dérivation

(𝑢 + 𝑣)^′= 𝑢^′+ 𝑣^′ (𝑢𝑣)^′= 𝑢^′𝑣 + 𝑢𝑣^′ (λ𝑢)^′= λ𝑢^′ (𝑢 ∘ 𝑣)^′= (𝑢^′∘ 𝑣)𝑣^′ (𝑢⁻¹)^′= 1

𝑢^′∘ 𝑢⁻¹ (𝑢

𝑣)^′=𝑢^′𝑣 − 𝑢𝑣^′

𝑣² (1

𝑢)

′

= −𝑢^′

𝑢² (𝑢^α)^′= α𝑢^′𝑢^α−1 Formule de Leibniz :(𝑢𝑣)^(𝑛)=

𝑛

∑

𝑘=0

(𝑛

𝑘)𝑢^(𝑘)𝑣^{(𝑛−𝑘)}

Dérivées usuelles ln(𝑥) ⟼ 1

𝑥 𝑒^𝑎𝑥⟼ 𝑎𝑒^𝑎𝑥 𝑥^α⟼ α𝑥^α−1

sin(𝑥) ⟼cos(𝑥) cos(𝑥) ⟼ −sin(𝑥) tan(𝑥) ⟼ 1 +tan²(𝑥) = 1

cos²(𝑥) arcsin(𝑥) ⟼ 1

√1 − 𝑥² arccos(𝑥) ⟼ − 1

√1 − 𝑥² arctan(𝑥) ⟼ 1 1 + 𝑥²

sh(𝑥) ⟼ch(𝑥) ch(𝑥) ⟼sh(𝑥) th(𝑥) ⟼ 1 −th²(𝑥) = 1

ch²(𝑥) Primitives usuelles

ln(𝑥) ⟼ 𝑥ln(𝑥) − 𝑥 𝑒^𝑎𝑥⟼ 𝑒^𝑎𝑥

𝑎 (𝑎 ≠ 0) 𝑥^α⟼ {

𝑥^α+1

α + 1 siα ≠ −1 ln|𝑥| siα = −1

sin(𝑥) ⟼ −cos(𝑥) cos(𝑥) ⟼sin(𝑥) tan(𝑥) ⟼ −ln|cos(𝑥)|

1

√1 − 𝑥² ⟼arcsin(𝑥) − 1

√1 − 𝑥² ⟼arccos(𝑥)ou −arcsin(𝑥) 1

1 + 𝑥² ⟼arctan(𝑥)

sh(𝑥) ⟼ch(𝑥) ch(𝑥) ⟼sh(𝑥) th(𝑥) ⟼ln(ch(𝑥))

Formules de Taylor

Formule de Taylor avec reste intégral : Si𝑓est une fonction de classe𝒞^𝑛+1sur un intervalleI, alors

∀(𝑎, 𝑏) ∈ I², 𝑓(𝑏) =

𝑛

∑

𝑘=0

𝑓^(𝑘)(𝑎)

𝑘! (𝑏 − 𝑎)^𝑘+ ∫

𝑏

𝑎

(𝑏 − 𝑡)^𝑛

𝑛! 𝑓^(𝑛+1)(𝑡) 𝑑𝑡

Inégalité de Taylor-Lagrange : Si𝑓est une fonction de classe𝒞^𝑛+1sur un intervalleIet si|𝑓^(𝑛+1)| ≤ MsurI, alors

∀(𝑎, 𝑏) ∈ I²,|

||𝑓(𝑏) −

𝑛

∑

𝑘=0

𝑓^(𝑘)(𝑎)

𝑘! (𝑏 − 𝑎)^𝑘|

||≤ M|𝑏 − 𝑎|^𝑛+1 (𝑛 + 1)!

Formule de Taylor-Young : Si𝑓est une fonction de classe𝒞^𝑛sur un intervalleIet𝑎 ∈ I, alors

∀𝑥 ∈ I, 𝑓(𝑥) =

𝑥→𝑎 𝑛

∑

𝑘=0

𝑓^(𝑘)(𝑎)

𝑘! (𝑥 − 𝑎)^𝑘+ 𝑜 ((𝑥 − 𝑎)^𝑛)

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