Suites numériques
Table des matières
I Généralités . . . 1
I.1 Définition explicite . . . 1
I.2 Définition par récurrence . . . 2
I.3 Représentation graphique d’une suite. . . 2
I.4 Variations d’une suite . . . 3
II Suites arithmétiques . . . 3
II.1 Défnition. . . 3
II.2 Terme général . . . 4
III Suites géométriques . . . 4
Feuille d’exercices d’initiation I Généralités
Définition
Une suite numérique est une liste illimitée de nombres.
Pour repérer les termes, on les numérote.
Mathématiquement, une suiteuest donc une fonction d’une variablen∈N. Les termes sont doncu(0), u(1), . . .,u(n), . . ..
Notation : le termeu(n) cécrit plutôtun. Les termes sont alorsu0,u1,u2, . . .,un, etc.
Il y a deux façons de définir une suite : I.1 Définition explicite
On a un moyen de calculer directement le termeun: Exemples :
• Soit la suite (un) définie par :un=3n.
On a directement :u0=0,u1=3,u2=6, etc.
• Soit la suite (un) définie parun= 1 n2+1. On a :u0=1,u1=1
2,u2= 1 22+1=1
5, etc.
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I.2 Définition par récurrence
Définition
Une suite (un) est définie par récurrence si l’on connaît le premier terme et l’expression d’un terme en fonction du terme précédent.
Exemples :
• Soit la suite (un) définie par :
½ u0=1
un+1=un+2 On a donc :
u0=1
u1=u0+2=1+2=3 u2=u1+2=3+2+5 ...
un+1=un+2
• Soit (un) la suite définie par :
½ u0=3 un+1=2un On a alors :
u0=3
u1=2u0=2×3=6 u2=2u1=2×6=12 u3=2u2=2×12=24 ...
un+1=2un
• Soit la suite (un) définie par :
½ u0=5
un+1=un−3
Les premiers termes de la suite sont :u0=5,u1=u0−3=5−3=2,u2=u1−3=2−3= −1, etc.
• Soit la suite (un) définie par :
½ u0=2
un+1=3un−1 On a alors :u1=3u0−1=3×2−1=5
u2=3u1−1=3×5−1=14 u3=3u2−1=3×14−1=41 ...
un+1=3un−1
I.3 Représentation graphique d’une suite
Pour une suite définie de façon explicite, on représente les termes de la suite par des points d’abscissen et d’ordonnéeun.
Exemple :Soit la suite¡ uun¢
définie parun=7−n.
On a :u0=7,u1=6,u2=5,u3=4,u4=3,u5=2,u6=1,u7=0,u8= −1, . . .
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O −→ i
−
→j
b b b b b b b b b
I.4 Variations d’une suite
Définition
• Une suite (un) est croissante si, pour toutn,un+1Êun
• Une suite (un) est décroissante si, pour toutn,un+1Éun Exemples :Soit la suite définie par :un=3n−4.
On a :un=3n−4 ;un+1=3(n+1)−4=3n+3−4=3n−1.
Par conséquent : pour toutn:un+1−un=(3n−1)−(3n−4)=3n−1−3n+4=3>0.
On en déduit :un+1>undonc la suite (un) est croissante.
Soit (un) la suite définie par :u0=5 etun+1=un+7.
Pour toutn,un+1−un=7>0 doncun+1>un. La site (un) est donc croisante.
II Suites arithmétiques
II.1 Défnition
Définition
Soitr un nombre. La suite (un) est arithmétique si, pour toutn,un+1=un+r. rest appelé la raison de cette suite.
Pour calculer les termes, il faut donner le premier terme Exemple :Soit la suite (un) définie par
½ u0=2
un+1=un+5 .
Cette suite est arithmétique de raisonr=5 et de premier termeu0=2
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On passe de chaque terme au terme suivant en ajoutant le nombrer (qui peut être négatif) Le problème est que, pour calculer un terme, il faut connaître les termes précédents.
II.2 Terme général
Propriété
Soit (un) une suite arithmétique de raisonr.
Le terme général s’exprime par la relation :un=u0+nr.
Si l’on part d’un termeup autre queu0, on a :un=up+(n−p)r Justification :
u1=u0+r
u2=u1+r=(u0+r)+r=u0+2r u3=u2+r=(u0+2r)+r=u0+3r ...
un+1=un+nr
Propriété
Soit (un) une suite arithmétique de raisonr. Sir>0, cette suite est croissante.
Sir=0, cette suite est constante.
Sir<0, cette suite est décroissante.
Remarque :Si (un) est arithmétique de raisonr,un=u0+nr : c’est uine fonction affine den(de la forme an+b).
Les points représentatifs de la suite sont donc alignés sur une droite, de coefficient directeurr.
III Suites géométriques
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