Suites numériques, Fonctions numériques de la variable

Stanislas

Exercices

Suites numériques, Fonctions numériques de la variable

réelle

Chapitre I

2020-2021PSI

I. Suites numériques

Exercice 1. (Séries de ENGEL) [Centrale] Soit C l'ensemble des suites (un)_n>0 croissantes d'entiers vériant u0 > 2. Si u ∈ C, on pose pour n∈N :S_n= _u¹

0 +_u¹

0u1 +· · ·+ _u ¹

0u1···un.

1.Montrer que (Sn)converge vers un réel x∈[0,1].

2.Montrer que u0 =b1/xc+ 1.

3. Six∈]0,1], comment construire une suiteu de C pour laquelle(S_n) converge versx?

Exercice 2.Soient u une suite et `un élément. Pour tout entier naturel nnon nul, on posea_n=u_n−un−1 etv_n= _n+1¹

Pn

k=0

u_k. 1.Montrer que un−vn= _n+1¹

n

P

k=1

ka_k.

2.En déduire que, sina_n→0et(v_n)converge vers`, alors(u<sub>n</sub>)converge vers`.

On pourra utiliser le lemme deCesarò.

Exercice 3. (!) Pour tout entier naturel n et pour tout t ∈ [0,1], on posefn(t) =ntⁿsin(πt).

1.Montrer qu'il existe α_n∈[0,1]tel que f_n(α_n) = sup

[0,1]

f_n. 2.Montrer que lim

n→+∞α_n= 1. On notera par la suite ε_n= 1−α_n. 3.Montrer que εn= _n¹ +o _n¹

. 4.En déduire lim

n→+∞sup

[0,1]

f_n.

II. Suites dénies par récurrence

Exercice 4. (-)Soit(x_n)la suite dénie parx₁=√

2et pour tout n>1 parxn+1=√

2 +xn. Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.

Exercice 5. (!)Soit f la fonction dénie par f(x) = ^x3₃⁺¹. 1.Montrer que f a trois points xes notés

−2< α <−1<0< β <1< γ <2

2. Pour tout réel x1, on dénit par récurrence la suite xn+1 = f(xn). Étudier le comportement de(x_n) en fonction de la valeur dex₁.

III. Suites dénies implicitement

Exercice 6. (♥)Soit f la fonction dénie sur R^?+ parf(x) =x−lnx. 1. Montrer que pour tout n∈ N^?, il existe un unique un ∈]0,1] tel que f(un) =n.

2.Montrer que u est strictement décroissante et converge vers0.

3.Montrer que u_n∼e⁻ⁿ.

4.En déduire que u_n= e⁻ⁿ+ e⁻²ⁿ+o e⁻²ⁿ . Exercice 7. (!) [Mines & Centrale]

1. Montrer que, pour n entier naturel assez grand, l'équation xⁿ = e^x possède deux solutions distinctes strictement positives notées u_n et v_n avecun< vn.

2. a)Montrer que la suite(u_n) converge vers une limite`que l'on préci- sera.

b)Donner un équivalent deun−`quandn tend vers+∞. c)Donner un développement asymptotique à trois termes de u_n. 3. a)Déterminer lim

n→+∞v_npuis donner un équivalent dev_nlorsquentend vers+∞.

b)Donner un développement asymptotique à deux termes de vn.

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Exercices I PSI

IV. Bornes supérieure & inférieure

Exercice 8. (-)Soient I un intervalle deR non vide et f, g ∈ F(I,R).

On suppose quef est majorée et que g est bornée. Montrer que sup

I

f+ inf

I g6sup

I

(f +g)

Exercice 9.Soit A =

r∈Q+ ; r² <2 . À tout rationnel r positif, on associe le nombre rationnelf(r) =r−^r_r+2²⁻².

1.Montrer que, si r∈A, alors f(r)∈A.

2.En déduire que A n'admet pas de plus grand élément.

V. Continuité

Exercice 10. (-)Soit f une fonction réelle dénie sur R et satisfaisant, pour tout x réel, lim

h→0(f(x+h)−f(x−h)) = 0. La fonction f est-elle continue surR?

Exercice 11. (♥)Soitf une fonction continue de [0,1]dans[0,1]. 1.Montrer que f possède au moins un point xe.

2. On suppose de plus quef est contractante, i.e. il existe k∈[0,1[tel quef soit k-lipschitzienne.

a)Montrer quef possède exactement un point xe, noté`.

b)Soit u la suite dénie paru0 ∈[0,1] et pour toutnentier naturel, u_n+1=f(u_n). Montrer queu converge vers`.

Exercice 12. (!) Soit t ∈]0,1[. Déterminer les fonctions f : R → R, continues en0, telles que pour tout réelx,f(x)−2f(tx) +f(t²x) =x².

VI. Dérivabilité

Exercice 13. (-) Soient f et g deux fonctions réelles continues sur un segment[a, b]et dérivables sur]a, b[. Montrer qu'il existec∈]a, b[tel que

(f(b)−f(a))g⁰(c) = (g(b)−g(a))f⁰(c).

Exercice 14. (-)Soientnun entier naturel non nul et(a0, . . . , an)∈Rⁿ⁺¹ tels que

a0+a1

2 +· · ·+an−1

n + an

n+ 1 = 0.

Montrer que l'équation a0+a1x+· · ·+anxⁿ = 0 admet au moins une solution dans]0,1[.

Exercice 15.Soit f une fonction dénie et dérivable sur R^∗₊ telle que lim+∞f⁰= 0. Montrer que lim

x→+∞(f(x+ 1)−f(x)) = 0.

VII. Développements limités

Exercice 16. (-)Déterminer les limites suivantes.

1. lim

x→0

e−(1+x)^1/x

x .

2. lim

n→+∞

n

ln(n) n^1/n−1 . 3. lim

x→0

tan(x)−x x(1−cos(x)). 4. lim

x→0

x−sin(x) tan(x)−x.

5. lim

x→a 2−^x_atan^πx_2a

. 6. lim

x→0

2

sin²(x)−_1−cos(x)¹ . 7. lim

x→π/6 tan^3x₂ tan(3x)

.

Exercice 17. (-)Déterminer le développement limité de 1. ln 1 +x+· · ·+^x_n!ⁿ

, ordre n+ 1en 0.

2.(1 + arctan(x))

x

sin2(x), ordre 2en 0.

3. _x(ex¹−1)−_x¹₂, ordre2en 0. 4.cos

π 2

q _x

tan(x)

, ordre4en 0.

Exercice 18. [Centrale]Soit f :x7→x 1 +¹_x1+x

. 1.Déterminer le domaine de dénition de f. 2.Étudier le comportement de f en −∞et+∞.

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Exercices I PSI

VIII. Avec Python

Exercice 19. _[Centrale]Soit P_n:t7→ Pⁿ

k=0 t^k k!.

1.Tracer le graphe dePnpournallant de2 à7sur l'intervalle qui vous paraît le plus judicieux. Que dire des racines deP_n?

2.Déterminer des valeurs approchées des racines complexes de P_npour nallant de2 à7 en utilisant la méthode de Newton.

3.Représenter ces racines dans le plan complexe et commenter.

4.Montrer que P_n est scindé à racines simples sur C.

Mathématiciens

Cesarò Ernesto (12 mar. 1859 à Naples-12 sept. 1906 à Torre Annun- ziata).

Engel Friedrich (26 déc. 1861 à Lugau-29 sept. 1941 à Giessen).

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