Révisions de première S

(1)

Révisions de première S

JeanPhi mai 2003

(2)

ANALYSE

1

(8)

Chapter 1

RAPPELS SUR LES FONCTIONS

1.1 Plan du cours

1. Rappels

1.1. Valeurs interdites - Domaine de définition : 1.2. Variations - Tableau de variations - Extremums 1.3. Notion de courbe

1.4. Parité - Conséquences graphiques 1.5. Asymptotes

1.6. Courbes classiques : parabole, hyperbole 2. Comparaison de deux fonctions

2.1. Egalité de deux fonctions

2.2. Fonction majorante, minorante (peu important)

Gammes : 13, 15, 16, 17, 20, 22, 29, 31. Appro : 65, 66, 73, 76, 77, 80, 81, 83.

3. Opération sur les fonctions

3.1. Définitions (somme, produit par un réel, composition) 3.2. Opérations et variations

Gammes: 29, 31, 38, 41, 42, 52. Appro : 86, 89, 96, 97.

4. Fonctions polynômes - rationnelles

Définir en particulier les mots de degré, coeﬃcient Gammes: 32 ,34, 35. Appro : 90, 92.

5. Propriétés des courbes - Translations 5.1. Courbe de f ( x ) + k

5.2. Courbe de f ( x + k ) 5.3. Eléments de symétrie

Gammes: 54, 56, 58, 63. Appro : 101, 106, 109, 112, 114.

PROBLEMES : 117, 119.

1

(9)

1.2 LES GRANDES IDÉES : 2

1.2 Les grandes idées :

Il faut d’ores déjà noter que ce chapitre de révisions sera ultérieurement enrichi de nombreux concepts nouveaux. Ils lui enlèvent beaucoup d’intérêt lorsqu’il s’agit de révisions de fin d’année. Il en est ainsi des variations d’une fonction qui seront révolutionnées par la dérivée. Il ne sera abordé ici que les points qui justement ne seront pas développés plus tard.

Le but de ce chapitre est de se remettre à l’esprit les éléments fondamentaux d’analyse acquis en seconde.

On insistera en particulier sur la notion de courbe et de point appartenant à une courbe. Le pointA(x_A, y_A) appartient à la courbe de la fonction f si et seulement siyA=f(xA).

On fera ressortir le fait que pour tracer une courbe, la connaissance d’un tableau de valeurs ne suﬃt pas et que de connaître les variations de la fonction est indispensable. En eﬀet, entre deux points calculés, la fonction peut être monotone ou changer de variations, ce qui change radicalement l’allure de la courbe. On pourra ensuite en déduire le plan général d’étude d’une fonction qui est :

1. Détermination de l’ensemble de défintion.

2. Etude des limites aux bornes de cet ensemble. On pourra étudier plus tard les branches infinies (comportement asymptotique).

3. Etude des variations de la fonction (encore périlleux mais facilité par l’apport ultérieur de la notion de dérivation)

4. Tracé du tableau de variations (l’étude des limites permettant de mettre les valeurs aux bouts desflêches.

5. Tracé de la courbe (avec, au vue des cours ultérieurs, asymptotes et tangentes aux points calculés).

Les éléments se symétrie d’une courbe seront vu d’abord à l’aide d’un changement de repère et des concepts de parité (méthode non exigible) puis des formules qu’il faut alors connaître ou savoir retrouver rapidement. Ces éléments de symétrie permettront le plus souvent de réduire l’intervalle d’étude.

Enfin, les opérations sur les fonctions sont vues avant tout dans l’objectif des conséquences graphiques sur les courbes. La composition des fonctions devra être abordée avec prudence (ensemble de définition et non commutativité).

Dans tous les cas, la calculatrice doit devenir une aide précieuse, autant dans sa fonction table qui permet de faire rapidement un tableau de valeurs, que dans sa fonction de graphe qui permet une visualisation immédiate de la courbe. Attention cependant, l’étude théorique doit vérifier la courbe tracée à la calculette.

Si tel n’est pas le cas, c’est que l’une des deux approches est fausse ; c’est parfois la calculette qui a tort, soit par un mauvais choix de la fenêtre d’aﬃchage, soit par une mauvaise saisie de la fonction (parenthèses manquantes ou autre). La recherche d’erreur doit se faire dans les deux directions.

1.3 Les techniques de base

1.3.1 Détermination de l’ensemble de définition

Il suﬃt de rechercher les ”valeurs interdites” c’est à dire les valeurs de x pour lesquelles un dénominateur est nul ou pour lesquelles un radicande (quantité sous le radical) est négatif.

Exemple 1 : Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes f(x) = cos(x)

(x−2) (x+ 3) g(x) =

p(x−1) (2x+ 3)

√x−1 h(x) = tan(x) x+ 3 x²−4

1.3.2 Savoir résoudre graphiquement une équation et une inéquation

Exemple 2 : à partir du tracé immédiat def(x) =x²,déterminer graphiquement (à10⁻¹près) les solutions de l’équationx²= 13 et dex²≥13

(10)

1.3 LES TECHNIQUES DE BASE 3

1.3.3 Savoir rechercher la parité d’une fonction.

Il est bien entendu que la plupart des fonctions ne sont ni paires, ni impaires.

Ne pas oublier la condition de centrage sur 0 de l’ensemble de définition.

Exemple 3 :Etudier la parité des fonctions suivantes et en déduire lorsque c’est possible les éléments de symétrie de leur courbe ainsi que la réduction possible de l’intervalle d’étude f(x) =

¡x²+ 1¢ cos(x)

x³ g(x) =xtan(x) + 1 h(x) =√ x+ 1

1.3.4 Egalité de deux fonctions :

Pour que deux fonctions soient égales il ne suﬃt pas que les images du même nombre soient identiques.

Il faut aussi que les fonctions aient même ensemble de définition.

Exemple 4 : déterminer si les fonctionsf et gsont égales f(x) =x³+x²−7x+ 2etg(x) =¡

x²+ 3x−1¢

(x−2) ; f(x) = x²−1

x+ 1 etg(x) =x+ 1

1.3.5 Notions de courbes associées :

Dans un repère ³

O;−→i;−→j ´

,la courbe de la fonctiong(x) =f(x) +k est la translatée de la courbe def de vecteurk−→j

De même la courbe de g(x) =f(x+k)est la translatée de la courbe de f de vecteur -k−→i . Exemple 5 : Tracer sans étude les courbes def(x) =x²−2x+ 1etg(x) = 3 +√

x+ 1 dans un repère ³

O,−→i ,−→j´

1.3.6 Eléments de symétrie d’une courbe :

Savoir reconnaître qu’une courbe est symétrique par rapport à un axe (symétrie orthogonale) ou un point (symétie centrale).

Exemple 6: Montrer que la courbe de f(x) = 1

x²−2x+ 3 admetx= 1pour axe de symétrie Démontrer que la courbe d’équation y= x²+ 3

x−1 admet le pointI(1; 2) comme centre de symétrie.

1.3.7 Opérations sur les fonctions

Savoir tracer la courbe d’une fonction définie comme somme ou combinaison linéaire de plusieurs fonctions Exemple 7 : Tracer le courbes de f etg surR.En déduire celle deh.

f(x) =x² g(x) = 2x−1 h(x) =x²−2x+ 1.

Ne pouvait-on pas procéder autrement pour tracer la courbe de h ?

Remarque : la somme de deux fonctions croissantes (resp : décroissantes) surIest une fonction croissante (resp : décroissantes) surI. C⁰est le seul cas ou on peut conclure.

(11)

1.4 SOLUTIONS DES EXERCICES 4

1.3.8 Déterminer la composée de deux fonctions

Comoser deux fonctions, c’est les appliquer l’une parès l’autre. Ainsi, la composée def pargest la fonction notéeg◦f telle queg◦f(x) =g[f(x)].Le problème le plua délicat étant le domaine de définition de g◦f.

Ainsi, g◦f(x) ne peut exister que si f(x) existe, mais qu’en plusg[f(x)] a un sens, c’est à dire que f(x) appartient à l’ensemble de définition deg.

Exemple 8 : Déterminer l’ensemble de définition, puis l’expression deg◦f et de f◦g : f(x) =x² etg(x) = 2x+ 3; f(x) = cos(x) etg(x) = 2x+ 1; f(x) =√

x etg(x) =x²−1

1.3.9 Etudier les variations d’une fonction composée

Cette méthode est dangereuse dans son application. L’exemple ci-dessous vise à le montrer. Il sera remplacé en terminale par la dérivée d’une fonction composée. Heureusement.

Il semble prudent de ne l’appliquer que si les ensembles de définition de chaque fonctions sont R.Elle repose sur un théorème qui s’énonce alors comme suit :

La composée de deux fonctions croissantes surR est croissante surR. La composée de deux fonctions décroissantes sur surRest croissante surR.

La composée d’une fonction décroissante sur Ret d’une fonction croissante surRest décroissante surR. On verra l’an prochain le théorème de dérivation d’une fonction composée qui fera perdre beaucoup d’intérêt à ce théorème et permettra de conclure sans danger lorsque les ensembles de définition ne sont pas Rtout entier.

L’exemple ci-dessous est d’un intérêt discutable ; survole le mais ne t’acharne pas dessus.

Exemple 9 : Etudier les variations de g◦f pourf(x) = (x−1)² etg(x) =√ x+ 3

1.4 Solutions des exercices

F Exemple 1 : Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes f(x) = cos(x)

(x−2) (x+ 3) g(x) =

p(x−1) (2x+ 3)

√x−1 h(x) = tan(x) x+ 3 x²−4

♣ f(x) = cos(x) (x−2) (x+ 3) La fonctioncos est défnie surR.

La fonction(x−2) (x+ 3) est définie sur Ret s’annulle en 2 et−3.La fonctionf est donc définie pour toute valeur dexn’annullant pas le dénominateur, c’est à dire pourx6= 2etx6=−3. Donc Df =R−{−3,2}

♣ g(x) =

p(x−1) (2x+ 3)

√x−1 .

p(x−1) (2x+ 3)est non définie pourx tel que(x−1) (2x+ 3)<0,c’est à dire pourx∈

¸

−3 2; 1

∙

√x−1est non définie pourx tel que(x−1)<0 donc pour x∈]−∞; 1[

La fonction sera de plus non définie pour√

x−1 = 0donc pour x= 1.

La fonction est donc non définie pour]−∞; 1]et l’ensemble de définition deg est ]1; +∞[

♣ h(x) = tan(x)x+ 3 x²−4

g se présente comme produit de la fonction tangente et d’une fonction rationnelle.

La fonction rationnelle est définie pourx tel quex² 6= 4doncx6= 2etx6=−2

(12)

1.4 SOLUTIONS DES EXERCICES 5 La fonction tangente s’écrit en fait tan(x) = sin(x)

cos(x). Elle est donc définie pour x tel que cos(x) 6= 0, c’est à dire pour x6= π

2 + 2kπ et x6= π

2 −2kπ. On peut d’ailleurs simplifier cette condition en remarquant qu’elle est identique àx6= π

2 +kπ (c’est l’axe (oy) du cercle trigo) L’ensemble de définition deh est donc R−n

−2; 2;π

2 +kπ, k∈Zo .

F Exemple 2 : à partir du tracé immédiat de f(x) =x²,déterminer graphiquement (à10⁻¹près) les solutions de l’équation x² = 13et de x² ≥13

La courbe de f se trace à vue (c’est la parabole de base)

On trace ensuite la droite horizontale y = 13 et les solutions de l’équation sont les abscisses des point d’intersection entre ces deux courbes. Il faut donc d’une part laisser apparents les traits de construction, faire ressortir les abscisses concernées et conclure d’une courte phrase.

4 3 2

1

0

-1

-2

-3

-4

16

14

12

10

8

6

4

2

0

x y

- ^3,6 3,6

Résolutions graphiques

Les solutions de l’équation x² = 13sont donc, par lecture fraphique : −3,6 et3,6 à10⁻¹près.

L’ensemble des solutions de x² ≤13 est l’intervalle [−3,6; 3,6]

F

Exemple 3 :Etudier la parité des fonctions suivantes et en déduire lorsque c’est possible les éléments de symétrie de leur courbe ainsi que la réduction possible de l’intervalle d’étude f(x) =

¡x²+ 1¢ cos(x)

x³ g(x) =xtan(x) + 1 h(x) =√ x+ 1

♣ f(x) =

¡x²+ 1¢ cos(x) x³

La première condition relative à l’ensemble de définition est remplie puisque celui-ci estR^∗ qui est bien centré sur 0.

De plus, ∀x∈R^∗, f(−x) =

³

(−x)²+ 1´

cos(−x) (−x)³

Les fonctions carré et cosinus sont paires, d’où : f(−x) =

¡x²+ 1¢ cos(x)

−(x)³ =−f(x). f est impaire.

Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère et on peut réduire son intervalle d’étude à [0; +∞[ou à]−∞; 0].Une fois qu’on a tracé la moitié de la courbe, l’autre se déduit par symétrie centrale.

♣ g(x) =xtan(x) + 1 La fonction est définie sur R−nπ

2 +kπ, k∈Zo

(voir exemple 1) . Cet ensemble est bien centré sur 0 puisque à chaque valeur positive de kcorrespond une valeur négative de même valeur absolue.

(13)

1.4 SOLUTIONS DES EXERCICES 6 De plus, g(−x) = (−x) tan(−x) + 1 = (−x) (−tan(x)) + 1 =xtan(x) + 1 =g(x). Donc g est paire Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe(Oy) et on peut réduire son intervalle d’étude aux valeurs positives de son ensemble de définition. Une fois qu’on a tracé la moitié de la courbe, l’autre se déduit par symétrie axiale.

♣ h(x) =√ x+ 1

L’ensemble de définition deh est[1; +∞[.Il n’est pas centré en 0. h ne peut être ni paire ni impaire.

F Exemple 4 : déterminer si les fonctionsf etg sont égales f(x) =x³+x²−7x+ 2etg(x) =¡

x²+ 3x−1¢

(x−2) ; f(x) = x²−1

x+ 1 etg(x) =x+ 1

♣ f(x) =x³+x²−7x+ 2etg(x) =¡

x²+ 3x−1¢

(x−2) Les deux fonctions ont même ensemble de définition.

De plus en développant g, on s’aperçoit que les deux fonctions ont même expression. Elles sont donc égales pour toutx de R.

Donc f =g

♣ f(x) = x²−1

x+ 1 etg(x) =x+ 1

Là encore, en simplifiant f(x) par x+ 1, on trouve la même expression que g(x). Pourtant, les deux fonctions ne sont pas égales puisqu’elles n’ont pas même ensemble de définition (R−{−1} pour l’une etR pour l’autre). Donc f 6=g

De toutes manières cette simplification par x+ 1 n’est qu’une illusion puisqu’on ne peut simplifier une fraction que par un nombre non nul. Autrement dit, cette simplification n’est réalisable que pourx6=−1.

Remarque : On dit que la fonctionf est la restriction de gà R−{−1}

F Exemple 5 : Tracer sans étude les courbes def(x) =x²−2x+ 1etg(x) = 3 +√ x+ 1 dans un repère

³

O,−→i ,−→j

´

♣ f(x) =x²−2x+ 1doncf(x) = (x−1)²

La courbe de f est la translatée de la parabole d’équation y=x² dans la translation de vecteur −→i .

♣ g(x) = 3 +√ x+ 1

g(x) est de la forme f(x+a) +b avecf(x) =√ x.

La courbe degest donc la translatée de celle de la fonction racine dans la translation de vecteur−−→i +3−→j

F Exemple 6: Montrer que la courbe de f(x) = 1

x²−2x+ 3 admetx= 1pour axe de symétrie Démontrer que la courbe d’équation y= x²+ 3

x−1 admet le pointI(1; 2) comme centre de symétrie.

Deux méthodes seront développées pour chaque exercice .Au choix !!!!

La première sera le changement d’origine de repère, la seconde l’application des formules qu’il faudra soit connaître par coeur, soit être capable de retrouver rapidement.

♣ Soit ³

O,−→i ,−→j ´

un repère quelconque et f(x) = 1 x²−2x+ 3.

Méthode du changement d’origine de repère : La fonctionf est définie sur Rpuisque le trinôme au dénominateur n’a pas de racine.

Sa courbe à pour équation dans le repère³

O,−→i ,−→j´

:y= 1

x²−2x+ 3. Soit Ωle point de coordonnées(1; 0) dans³

O,−→i ,−→j´ . Tout pointM de coordonnées(x, y) dans³

O,−→i ,−→j´

a pour coordonnées(X, Y) dans³

Ω,−→i ,−→j´

(14)

avec

⎧⎨

⎩

X=x−1 Y =y ⇒

⎧⎨

⎩

x=X+ 1 y=Y

La courbe de f a donc pour équationY = 1

(X+ 1)²−2 (X+ 1) + 3 dans³

Ω,−→i ,−→j´ . C’est à dire en développant le dénominateur,Y = 1

X²+ 2. Cette courbe est donc dans³

Ω,−→i ,−→j´

celle de la fonctionF(X) = 1

X²+ 2 dont le domaine de définition estR donc centré en 0, et telle queF(−X) =F(X).

C’est la courbe d’une fonction paire qui admet donc l’axe(ΩY) comme axe de symétrie.

Cet axe n’est autre que la droite x= 1dans ³

O,−→i ,−→j´

.D’où le résultat.

Application de la formule :

La courbe de f admet la droite x= 1pour axe de symétrie si et seulement si :

·∀x∈R^∗ ,1−x∈D_f et1 +x∈D_f . C’est bien entendu le cas ici puisque D_f =R.

·∀x∈D_f, f(1−x) =f(1 +x).

En eﬀetf(1−x) = 1

(1−x)²−2 (1−x) + 3⇒f(1−x) = 1 x²+ 2

De même f(1 +x) = 1

(1 +x)²−2 (1 +x) + 3 ⇒f(1 +x) = 1 x²+ 2 Donc ∀x∈D_f, f(1−x) =f(1 +x).D’où le résultat.

♣ Soit f(x) = x²+ 3 x−1 Soit

³

O,−→i ,−→j

´

un repère quelconque .

Méthode du changement d’origine de repère : La fonctionf est définie sur R−{1} Considérons le repère ³

I,−→i ,−→j´

. Le début est le même que dans l’exemple précédent sauf que les formules de changement de repère donnent cette fois :

⎧⎨

⎩

X=x−1 Y =y−2 ⇒

⎧⎨

⎩

x=X+ 1 y=Y + 2

.

La courbe admet donc pour équation Y + 2 = (X+ 1)²+ 3

(X+ 1)−1 ⇒Y = X²+ 2X+ 4

X −2

En réduisant au même dénominateur, on obtient donc : Y = X²+ 4 X . La courbe est donc, dans le repère

³

I,−→i ,−→j

´

celle de la fonction F(X) = X²+ 4 X .

Cette fonction a pour ensemble de définitionR^∗ qui est centré en 0. De plusF(−X) =−F(X).

La fonctionF est donc impaire et la courbe admet l’origine de ce repère pour centre de symétrie.

Il s’agit du point I qui est donc centre de symétrie de la courbe Application de la formule :

I(1; 2)est centre de symétrie de la courbe def si et seulement si,

·∀x∈R^∗,1−x∈Df et1+x∈Df . C’est le cas ici puisquex6= 0⇒

⎧⎨

⎩

1−x6= 1 1 +x6= 1 ⇒

⎧⎨

⎩

1−x∈D_f 1 +x∈D_f

·∀x∈D_f, f(1−x) +f(1 +x)

2 = 2.

Ici, f(1−x) = (1−x)²+ 3

(1−x)−1 ⇒f(1−x) = x²−2x+ 4

−x etf(1 +x) = (1 +x)²+ 3

(1 +x)−1 ⇒f(1−x) = x²+ 2x+ 4 x

(15)

D’où f(1−x) +f(1 +x)

2 =

x²−2x+ 4

−x +x²+ 2x+ 4 x 2

⇒ f(1−x) +f(1 +x)

2 = −¡

x²−2x+ 4¢ +¡

x²+ 2x+ 4¢ 2x

Donc f(1−x) +f(1 +x)

2 = 4x

2x = 2.D’où le résultat.

F

Exemple 7 : Tracer le courbes de f etg surR. En déduire celle deh.

f(x) =x² g(x) = 2x−1 h(x) =x²−2x+ 1.

Ne pouvait-on pas procéder autrement pour tracer la courbe de h ? La courbe de f est la parabole de base. La courbe deg est une droite.

La courbe deh qui n’est autre que f−g,s’obtient point par point en calculant, pour chaque valeur de x l’ordonnéesh(x) =g(x)−f(x).

Ainsi le point d’abscisse 2 a pour ordonnée 4 sur(C_f) et 3 sur(C_g).

Il aura donc pour ordonnée4−3 = 1 sur(C_h).Cela permet de tracer le point(2; 1).

Il est encore plus simple dans ce cas très particulier de reconnaîtreh(x) = (x−1)² dont la courbe est la parabole de base translatée dans la translation de vecteur−→i .

3 2

1 0

-1 7.5

5

2.5

0

-2.5

x y

x² en mauve,2x−1 bleu etx²−2x+ 1violet.

L’ordonnée de chaque point de la courbe rouge est obtenu en retranchant, pour une même abscisse (sur une même verticale), l’ordonnée du point de la courbe bleue à celle du point de la courbe noire.

F Exemple 8 : Déterminer l’ensemble de définition, puis l’expression deg◦f et de f◦g : f(x) =x² etg(x) = 2x+ 3; f(x) = cos(x) etg(x) = 2x+ 1; f(x) =√

x etg(x) =x²−1

♣ f et g ayant R pour ensemble de définition, l’image de x par f ne pourra pas être une valeur interdite de get de même l’image par g de xne pourra pas être une valeur interdite de f.

f ◦g etg◦f auront Rpour ensemble de définition.

Pour bien comprendre : x7−→^f f(x) =x² 7−→^g g(f(x)) = 2x²+ 3

Qui se traduit par ∀x∈R, g◦f(x) =g(f(x)) = 2f(x) + 3. Donc ∀x∈R, g◦f(x) = 2x²+ 3 De même f◦g(x) =f(g(x)) = (g(x))² = (2x+ 3)². Donc∀x∈R, f ◦g(x) = 4x²+ 12x+ 9

♣ f admetR⁺ pour ensemble de définition, alors que les images degpeuvent appartenir àRtout entier.

(16)

1.4 SOLUTIONS DES EXERCICES 9 On ne pourra donc écriref(g(x))que sig(x)≥0,c’est à dire six²−1≥0,donc six∈]−∞;−1]∪[1; +∞[. Le domaine de définition def◦g est donc ]−∞;−1]∪[1; +∞[.

De plus ∀x∈]−∞;−1]∪[1; +∞[, f ◦g(x) =f(g(x)) =√ x²−1

En ce qui concerne g◦f, g ayant Rpour ensemble de définition, l’image de x parf ne pourra pas être une valeur interdite de g.Donc dès lors que f(x) est défini, g◦f le sera aussi. L’ensemble de définition de g◦f est donc celui def, c’est à dire R⁺.

De plus ∀x∈R⁺, g◦f(x) =g(f(x)) =√ x−1

Exemple 9 : Etudier les variations de g◦f pourf(x) = (x−1)² etg(x) =√ x+ 3 Le but de l’exercice est de montrer la diﬃculté et le danger de la méthode.

On sait que la composée de deux fonctions croissantes est croissante. Mais ce raisonnement est à manipuler avec la plus grande prudence.

En eﬀet,g◦f(x) = q

(x−1)²+ 3est définie sur R.puisque(x−1)²+ 3≥0

On va donc étudier rapidement les variations de f et de g.afin de conclure pourg◦f.

Sur∀x∈]−∞; 1], f est décroissante (branche décroissante de la parabole)

∀x∈]−∞; 1], f(x)∈[1; +∞[,intervalle sur lequel gest croissante (elle l’est toujours) Donc g◦f est décroissante sur]−∞; 1]comme composée de f décroissante et g croissante.

Sur[1; +∞[, f est croissante.

∀x∈[1; +∞[, f(x)x∈[1; +∞[intervalle sur lequelg est croissante (elle l’est toujours) Donc g◦f est croissante sur[1; +∞[comme composée de deux fonctions croissantes.

Lla dérivée des fonctions composées permettra d’éviter cette méthode en terminale. OUF!!!!)

Si on étudie f ◦g(x) = f(g(x)), comme f est décroissante sur ]−∞; 1] et croissante sur [1; +∞[, il faudra envisager diﬀéremment le cas où g(x) appartient à l’un ou l’autre de ces intervalles . Il faut donc d’abord résoudreg(x)≥1⇒√

x+ 3≥1etc..

C’est long, compliqué, et on risque surtout de ne pas penser à envisager tous les cas.

Cette méthode me paraît de toutes manière compliquée et dangereuse. Bref, laisse tomber.

Voici les courbe de g◦f etf◦g qui permettront de "lire" les variations:

5 2.5 0

-2.5 -5

6

5

4

3

2

x y

Courbe de g◦f

4 2

0 -2

3

2.5

2

1.5

1

0.5 0

x y

Courbe de f◦g Remarque : On peut ici écrire facilement g◦f etf◦g puisque

g◦f(x) = q

(x−1)²+ 3dont on ne sait pas caluler la dérivée en première f◦g(x) =¡√

x+ 3−1¢2

définie pourx≥ −3etf◦g(x) =x−2√

x+ 3+4dont on peut essayer d’étudier les variations à l’aide de la dérivée.

(17)

Chapter 2

LE TRINOME

2.1 Plan du cours

1. Définitions - Factorisation 1.1. Définition

1.2. Décomposition canonique

1.3. Courbe (changement d’origine de repère - parabole - rôle de a et tableau de variations) Gammes : 15, 17, 18, 19, 22, 23, 24, 25, 29 Appro : 73, 74, 77.

2. Equation du second degré 2.1. Discriminant

2.2. Résolution de l’équation 2.3. Racine (ou zéro) du trinôme

Gammes : 32, à 39, 41, 43, 46, 50, 52, 53, 55 Appro : 79, 81, 82, 83, 84, 85, 92, 95, 97, 101, 102 3. Signe du trinôme

Gammes : 59 à 59, 89 Appro : 106, 107, 108, 110, 112, 114, 115, 123, 132 Problème : 137, 138, 140, 142.

Ce cours arrive après le DM1 qui doit mettre à l’esprit les principes de changement de repère et établir que la courbe d’un trinôme est bien une parabole.

Ne pas oublier de résoudre des équations irrationnelles

Petit exercice sympa : trouver tous les triplets d’entiers consécutifs tels que leur produit est égal à leur somme.

2.2 Les grandes idées

Rien de bien compliqué dans ce chapitre qui sera pourtant d’une importance capitale.

Il permettra de résoudre des équations du decond degré, technique indispensable.

Il permettra de même de trouver une expression utile d’un trinôme (la décomposition canonique) qui intervient de temps en temps.

Il permet surtout d’étudier le signe d’un trinôme. Ce sera après l’étude d’une inéquation du type ax+b >0,le second type d⁰inéquation possible:ax²+bx+c >0.Utilisé conjointement avec la technique des tableaux de signes, cela permettra d’étudier le signe de bon nombre de dérivées (donc d’étudier les variations de nombre de fonctions).

Après avoir trouvé les éventuelles racinesx1 etx2 de ax²+bx+c on peut le factoriser : ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂)

10

(18)

2.3 LES TECHNIQUES DE BASE : 11

2.3 Les techniques de base :

2.3.1 La décomposition canonique :

Tout trinôme peut se mettre sous forme canonique.

Il faut surtout penser dès le départ à mettre aen facteur.

Exemple 1 : Donner les décompositions canoniques de chacun de ces trinômes:

x²+ 2x+ 4 2x²+x+ 1 3x²+x−1

2.3.2 La résolution d’une équation du second degré :

Calcul du discriminant et application bête des formules à connaître par coeur.

Remarque : dès lors qu’un des coeﬃcients a, ou b, ou c est nul, il est très maladroit de passer par la théorie lourde.

En eﬀet :

·c= 0: par exemple x²+ 3x= 0⇔x(x+ 3) = 0⇔x= 0oux=−3

·b= 0: par exemplex²+ 3 = 0n’a pas de solution oux²−3 = 0. Les solutions sont −√ 3 et√

3.

·a= 0: ce n’est même plus une équation du second degré.

Exemple 2 : Donner les décompositions canoniques de chacun de ces trinômes:

x²+x+ 4 = 0 2x²+x= 1 3x²−6x+ 6 = 3

2.3.3 Théorème du signe du trinôme :

Ce théorème s’applique lorsqu’on cherche le signe d’un trinôme, ou, ce qui revient au même quand on cherche à résoudre une inéquation du typeax²+bx+c >0.

Exemple 3 : Etudier le signe des trinômes de l’exemple ci-dessus, c’est à dire résoudre : x²+x+ 4>0 2x²+x−1<0 3x²−6x+ 3>0

2.3.4 Résolution d’une inéquation du type

ax+b cx+d <0 Il suﬃt de remarquer que pour x 6= −d

c , ax+b

cx+d est du même signe que (ax+b) (cx+d). On se ramène donc au signe d’un trinôme.

Exemple 4 : Etudier le signe de 3x−1 2x+ 3

2.4 Solutions des exercices

F Exemple 1 : Donner les décompositions canoniques de chacun de ces trinômes:

x²+ 2x+ 4 2x²+x+ 1 3x²+x−1

(19)

♣x²+ 2x+ 4. On reconnaît dansx²+ 2xle début de (x+ 1)² d’où x²+ 2x+ 4 = (x+ 1)²−1 + 4

Donc x²+ 2x+ 4 = (x+ 1)²+ 3

♣2x²+x+ 1.On commence par factoriser par 2.

Donc 2x²+x+ 1 = 2 µ

x²+1 2x+1

2

¶

⇒2x²+x+ 1 = 2 Ãµ

x+1 4

¶2

− 1 16 +1

2

!

Donc 2x²+x+ 1 = 2 Ãµ

x+1 4

¶2

+ 7 16

!

♣3x²+x−1 .On commence par factoriser par 3 : 3x²+x−1 = 3

µ x²+1

3x−1 3

¶

⇒3x²+x−1 = 3 Ãµ

x+1 6

¶2

− 1 36 −1

3

!

Et 3x²+x−1 = 3 Ãµ

x+1 6

¶2

−13 36

!

F Exemple 2 : Donner les décompositions canoniques de chacun de ces trinômes:

x²+x+ 4 = 0 2x²+x= 1 3x²−6x+ 6 = 3

♣x²+x+ 4 = 0 Calcul du discriminant : ∆= 1²−4×4×1 =−15 Le discriminant étant négatif, l’équation n’a pas de solution dansR.

♣ 2x²+x= 1⇔2x²+x−1 = 0 Calcul du discriminant : ∆= 1 + 8 = 9donc√

∆= 3 L’équation a donc deux solutionsx1 = −1 + 3

4 = 1

2 etx2 = −1−3 4 =−1

♣ 3x²−6x+ 6 = 3⇔3x²−6x+ 3 = 0⇔x²−2x+ 1 = 0

Inutile ici de calculer le discriminant si on reconnait que x²−2x+ 1 = (x−1)² L’équation devient alors(x−1)² = 0qui admet une racine double 1 .

F Exemple 3 : Etudier le signe des trinômes de l’exemple ci-dessus, c’est à dire résoudre : x²+x+ 4>0 2x²+x−1<0 3x²−6x+ 3>0

Les trinômes proposés sont les mêmes que dans l’exemple 2. On a déjà trouvé les racines des trinômes.

♣x²+x+ 4est toujours du signe de a(ici positif) puisque le trinôme n’a pas de racine.

L’ensemble des solutions est donR

♣ 2x²+x−1 est positif (du signe dea)pour x∈]−∞;−1[∪

¸1 2; +∞

∙

♣ 3x²−6x−3 est toujours du signe dea.1 n’est pas solution à cause de l’inégalité stricte.

L’ensemble des solutions est donc R−{1}

(20)

F Exemple 4 : Etudier le signe de 3x−1 2x+ 3 Pour x6= −3

2 ,3x−1

2x+ 3 est du signe de(3x−1) (2x+ 3) qui est négatif entre ses racines donc pour x∈

¸−3 2 ;1

3

¸

(21)

Chapter 3

LA DERIVATION

3.1 Le plan du cours

Première partie : NOMBRE DERIVE

1. Rappels : Equation de droite dans le plan 1.1. Equation d’une droite non parallèle à Oy 1.2. Equation d’une droite parallèle à Oy 1.3. Equations cartésiennes d’une droite 2. Corde et tangente

2.1. Coeﬃcient directeur d’une corde et taux de variation 2.2. Tangente et nombre dérivé

2.3. Dérivabilité d’une fonction

Gammes : 13, 14, 16, 18, 19, 20, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 34, 39, 40 Appro : 66, 67, 69, 70 3. Approximation aﬃne - Equation de la tangente

3.1. Equation de la tangente en un point 3.2. Approximation aﬃne.

Gammes : 42, 44, 46, 52, 54, 57, 62 Appro : 74, 76, 78, 88, 90, 99 Seconde partie :FONCTION DERIVE

E

1. Définition

2. Dérivée des fonctions classiques 2.1. La fonction constante 2.2. La fonction aﬃne 2.3. La fonction puissance 2.4. La fonction racine

2.5. Les fonctions trigonométriques 3. Règles opératoires

3.1. Dérivée d’une somme

3.2. Dérivée du produit par un réel 3.3. Dérivée d’un produit

3.4. Dérivée d’un quotient

Gammes : 1 à 35 :tous Appro : 68, 70, 76, 78, 80 4. Dérivée d’une fonction composée

4.1. Dérivée de f ( a x + b )

4.2. Dérivée de f ( u ( x )) (hors programme ) 5. Utilité de la fonction dérivée

5.1. Lien entre fonction dérivée, coeﬃcient directeur de tangente et variations 5.2. Nouveau tableau de variations

5.3. Recherche d’extremums

Gammes : 39, 41, 43, 46, 48, 49, 54, 59 Appro : 64, 91, 96, 106, 107, 109, 110 14

(22)

3.2 LES GRANDES IDÉES 15

3.2 Les grandes idées

Le nombre dérivé enad’une fonction f , lorsqu’il existe, (et la fonction est alors dite dérivable en a),est : f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h .

Il est fondamental de bien comprendre que ce nombre est le coeﬃcient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. Ce concept permettra de faire le lien entre dérivée et variations. On pourra ainsi faire le tableau des variations à priori, et avoir une bonne idée de l’allure de la courbe.

Il permettra aussi de tracer, pour chaque point placé de la courbe, un petit segment représentant la tangente en ce point. Un grand pas vers la précision de tracé.

En pratique, on donnera des théorèmes permettant de prévoir la dérivabilité de la fonction ainsi que le nombre dérivé ena,sans avoir à calculer la limite ci-dessus. Cette détermination "mécanique " de la dérivée sera la méthode à appliquer dans 99% des cas. Le recours au calcul fastidieux de limite sera la solution ultime quand les théorèmes généraux ne permettent pas de conclure.

3.3 Les techniques de base : énoncés

3.3.1 Prouver grâce à la limite qu’une fonction est dérivable en a et calculer le nombre dérivé.

Cette méthode doit être connue même si on n’y recourt que rarement.

Il suﬃt de montrer que f(a+h)−f(a)

h admet une limite quand h tend vers 0. Dans une premiere approche, ce rapport donne toujours une forme indéterminée

µ0 0

¶

.Le but de l’exercice est donc de lever cette indétermination

. Il n’y a pas réellement de méthode générale pour cela ; une simplification par h permettra en général de conclure. Quelques situations classiques sont cependant à connaître.

F exemple1 étudier la dérivabilité de f(x) = x 1 +√

x en 0 Cas d’une fonction rationnelle

la simplification parh sera immédiate.

F exemple 2 : f(x) = x²+ 1

x²+ 3 en a= 1 Cas d’une racine carrée

Il sera souvent eﬃcace de d’utiliser la quantité conjuguée F exemple 3 : f(x) =√

x²+ 2en a= 2

3.3.2 Déterminer l’équation de la tangente

Le nombre dérivéf⁰(a) est donc le coeﬃcient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a,donc au point (a, f(a)).

Ce simple coeﬃcient directeur permettra de tracer le segment tangent ("avance de 1 et monte def⁰(a)), mais on peut aussi, si l’énoncé le demande déterminer l’équation complète de la tangente (on connait un point et le coeﬃcient directeur).

(23)

3.4 SOLUTIONS DES EXERCICES 16 Cette équation est y=f(a) +f⁰(a) (x−a),formule à connaître par coeur.

F Exemple 4 : Déterminer l’équation de la tangente à la courbe def(x) = x³+ 3x+ 1 x²+ 1 au point d’abscisse 1

3.3.3 Approximation aﬃne

L’idée est la suivante : si on ne s’éloigne pas trop du point considéré, la courbe et la tangente sont très voisines. Cette idée se traduit, en math, parf(a+h)≈f(a) +hf⁰(a) pourh voisin de 0.

L’erreur commise lors de cette approximation est donnée par f(a+h)−[f(a) +hf⁰(a)].

F Exemple 5 : Déterminer l’approximation aﬃne de la fonctionf(x) =x² en aquelconque.

Quelle est alors l’erreur commise ?

3.3.4 Calculs de dérivées

La notion de fonction dérivée permet de calculer le nombre dérivé sans se soucier de la limite. Il est important ded bien comprendre que chaque théorème (dérivée d’une somme, d’un produit, ...) permet avant même de calculer la fonction dérivée, de conclure sur sa dérivabillité.

Il est hors de question de calculer une dérivée sans avoir précisé que la fonction est dérivableet pourquoi elle l’est!!!

F

Exemple 6 : Sur quels intervalles les fonctions suivantes sont elles dérivables ? Quelle est leur dérivée ?

f(x) =x³+ 3x²−2 g(x) = x²−x−6

x³−3 h₁(x) = tan(x) h₂(x) = tan(2x+ 1)

3.3.5 Variations d’une fonction

f

dérivable

f etant dérivable sur I, si la dérivée est positive (Resp : négative) sur I, la fonction est croissante (Resp : décroissante sur I). On peut alors dresser le tableau des variations def sur I.

On définit de plus la notion de maximum, qui est un point en lequel la dérivée passe de positive à négative (c’est l’invers pour un minimum). Cette notion d’extremum est locale, c’est à dire qu’il peut y avoir plusieurs minimums (relatifs ou locaux) pour une fonction sur un intervalle, alors qu’elle ne peut admettre qu’un seul minimum absolu.

F Exemple 7 : Etudier les variations de f définie sur Rparf(x) =x³+x²

2 −2x+ 1

3.4 Solutions des exercices

F exemple1 étudier la dérivabilité def(x) = x 1 +√

x en 0

Remarquons que son domaine de définition estR⁺, puisque la seule contrainte est l’existence de la racine (le dénominateur ne peut s’annuler).

En appliquant les théorèmes généraux, on peut conclure à la dérivabilité de f surR⁺_∗ .

(24)

3.4 SOLUTIONS DES EXERCICES 17 En eﬀet, u :x 7→ x est déribale sur R. v :x 7→ 1 +√

x est dérivable sur R⁺_∗, la fonction racine étant définie sur R⁺ mais dérivable surR⁺_∗ seulement. f est donc dérivable comme un quotient surR⁺_∗.

Montrons que même si ce théorème ne permet pas de conclure, la fonction est dérivable en 0. L’impuissance à conclure d’un théorème ne prouve que la faiblesse de celui-ci. C’est précisément pour ce genre de situation que le recours à le limite reste important.

En eﬀet, f(0 +h)−f(0)

h = f(h)−f(0)

h ⇒ f(0 +h)−f(0)

h =

h 1 +√

h −0 h Donc f(0 +h)−f(0)

h = h

1 +√ h × 1

h

Evidemment, quandhtend vers 0, la première approche (remplacerhpar 0) mène à la forme indéterminée

"0

0”(écriture interdite). Cette indétermination étant levée par la simple simplication parh non nul (il tend vers 0 sans être nul).

On obtient alors f(0 +h)−f(0)

h = 1

1 +√

h dont la limite est 1 lorsqueh tend vers 0.

La fonction est donc définie et dérivable en 0. Son nombre dérivé en 0 étant 1 . cela en dépit de la non capacité à conclure du théorème.

F exemple 2 : f(x) = x²+ 1

x²+ 3 en a= 1

La fonctionf est définie en 1. Le problème de la dérivation en 1 est donc légitime.

f(1 +h)−f(1)

h =

(1 +h)²+ 1 (1 +h)²+ 3−1

2

h ⇒ f(1 +h)−f(1)

h =

∙h²+ 2h+ 2 h²+ 2h+ 4−1

2

¸1 h Donc f(1 +h)−f(1)

h = 2h²+ 4h+ 4−¡

h²+ 2h+ 4¢

2 (h²+ 2h+ 4)h ⇒ f(1 +h)−f(1)

h = h²+ 2h 2h(h²+ 2h+ 4) Et en simplifiant par hnon nul, f(1 +h)−f(1)

h = h+ 2

2 (h²+ 2h+ 4). Cette simplification parh permet de trouver la limite : lim

h→0

f(1 +h)−f(1)

h = 2

8 = 1 4. La fonction est donc dérivable en 1. Le nombre dérivé vaut 1

4

Remarque : cette méthode est ici purement scolaire. Le calcul se ferait pratiquement en disant que la fonctionf est dérivable en 1 ( et même surR )comme quotient de deux fonctions dérivables en 1.

La fonction dérivée est alorsf⁰(x) =

¡x²+ 1¢₀¡

x²+ 3¢

−¡

x²+ 1¢ ¡

x²+ 3¢₀

(x²+ 3)² .

Donc f⁰(x) = 2x¡

x²+ 3¢

−¡

x²+ 1¢ 2x

(x²+ 3)² ⇒f⁰(x) = 4x (x²+ 3)² Donc f⁰(1) = 4

16 = 1 4. F exemple 3 : f(x) =√

x²+ 2en a= 2

Remarquons d’ores et déjà qu’aucun théorème de première ne permet de conclure à la dérivabilité ni de calculer la fonction dérivée (il viendra en terminale). Le calcul de la limite s’avère cette fois indispensable.

La fonction est déjà définie sur Rdonc en 2. Le problème de la dérivabilité se pose.

f(2 +h)−f(2)

h =

p(2 +h)²+ 2−√ 6 h

La technique consiste à multiplier numérateur et dénominateur par p

(2 +h)²+ 2 +√

6 (quantité con- juguée) et à utiliser l’identité remarquable (a−b) (a+b) =a²−b².

(25)

3.4 SOLUTIONS DES EXERCICES 18 f(2 +h)−f(2)

h =

hp(2 +h)²+ 2−√ 6i hp

(2 +h)²+ 2 +√ 6

i

hhp

(2 +h)²+ 2 +√ 6

i

⇒ f(2 +h)−f(2)

h = (2 +h)²+ 2−6 hhp

(2 +h)²+ 2 +√ 6i Donc f(2 +h)−f(2)

h = h²+ 4h

hhp

(2 +h)²+ 2 +√ 6i

Là encore la simplification parh non nul permet de conclure f(2 +h)−f(2)

h = h+ 4

p(2 +h)²+ 2 +√ 6 Donc lim

h→0

f(2 +h)−f(2)

h = 4

√6 +√ 6 Donc f est dérivable en 2 et f⁰(2) = 4

2√ 6 = 2

√6

F Exemple 4 : Déterminer l’équation de la tangente à la courbe def(x) = x³+ 3x+ 1 x²+ 1 au point d’abscisse 1

calculons cette fois le nombre dérivé à l’aide de la fonction dérivée . f(x) = x³+ 3x+ 1

x²+ 1 est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur R dès lors que le dénominateur n’est pas nul. Elle est donc dérivable surRet la courbe admet donc une tangente en chacun de ses points.

La fonction dérivée s’obtient avec la formule de la dérivée d’un quotient : f⁰(x) =

¡x³+ 3x+ 1¢₀¡

x²+ 1¢

−¡

x²+ 1¢₀¡

x³+ 3x+ 1¢

(x²+ 1)² ⇒f⁰(x) = x⁴−2x+ 3 (x²+ 1)² Doncf⁰(1) = 2

4 = 1

2.Ce sera le coeﬃcient directeur de la tangente au point d’abscisse 1 de la courbe de f.

L’équation complète de la tangente étant : y=f(1) +f⁰(1)(x−1)doncy= 7

2 +1

2(x−1)⇒y= 1 2x+ 3

F Exemple 5 : Déterminer l’approximation aﬃne de la fonctionf(x) =x² en aquelconque.

Quelle est alors l’erreur commise ?

La fonction est dérivéble surRet sa dérivée est f⁰(x) = 2x.

La tangente au point d’abscisse ade la courbe def a donc pour équation : y =f(a) +f⁰(a)(x−a).

Donc y=a²+ 2a(x−a).En notant encore h=x−adoncx=a+h

L’approximation aﬃne permet alors d’écrire que f(a+h)≈a²+ 2ahsi h est voisin de 0 . Lerreur commise est alors de f(a+h)−¡

a²+ 2ah¢

,c’est à dire (a+h)²−¡

a²+ 2ah¢

=h²

Cette erreur est donc bien petite si h tend vers 0., ce qui prouve bien que tangente et courbe sont alors voisines.

Remarque : on aurait pu conserver la notation en x,sans passer parh.

y=a²+ 2a(x−a) et pou x voisin dea,f(x)≈a²+ 2a(x−a) doncx² ≈2ax−a². L’erreur commise est alors dex²−¡

2ax−a²¢

= (x−a)² qui est bien petite quandx reste voisin dea.

(26)

F

Exemple 6 : Sur quels intervalles les fonctions suivantes sont elles dérivables ? Quelle est leur dérivée ?

f(x) =x³+ 3x²−2 g(x) = x²−x−6

x³−3 h₁(x) = tan(x) h₂(x) = tan(2x+ 1)

♣f(x) =x³+ 3x²−2 est dérivable surR puisque c’est une fonction polynôme.

Sa dérivée est f⁰(x) = 3x²+ 6x

♣g(x) = x²−x−6 x³−3

g est définie surR−{−√ 3;√

3} et doit être considérée comme un quotient de deux fonctions.

On sait que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et v une fonction dérivable sur I , la fonction u

v sera dérivable sur I sauf pour les valeurs deI où g s’annule (elle n’est alors même pas définie).

Elle sera donc ici dérivable surR, (ensemble de dérivabilité des deux fonctions polynômes), sauf pour les valeurs annulantx³−3,c’est à dire√

3 et−√ 3.

g est donc définie et dérivable sur R−{−√ 3;√

3}

On pourra d’ailleurs se souvenir qu’une fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition.

De plus, g⁰(x) =

¡x²−x−6¢₀¡

x³−3¢

−¡

x³−3¢₀¡

x²−x−6¢ (x³−3)²

Donc g⁰(x) = (2x−1)¡

x³−3¢

−3x²¡

x²−x−6¢

(x³−3)² ⇒ g⁰(x) = −x⁴+ 2x³+ 18x²−6x+ 3 (x³−3)²

♣h₁(x) = tan(x)

Le domaine de définition deh1(x) = sin(x)

cos(x) est obtenu en interdisant les valeur qui annulent cos(x).

C’est à dire π

2+ 2kπ et−π

2+ 2kπ.On pourra remarquer que cet ensemble peut être notéR−nπ

2 +kπo . h₁ sera donc dérivable sur R−nπ

2 +kπo

en tant que quotient de fonctions dérivables.

La fonction tangente est donc dérivable sur tout son ensemble de définition.

Sa dérivée sera : h⁰₁(x) = (sin(x))⁰cos(x)−sin(x) (cos(x))⁰

cos²(x) ⇒h⁰₁(x) = cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x) cos²(x)

C’est à direh⁰₁(x) = cos²(x) + sin²(x)

cos²(x) ⇒ h⁰₁(x) = 1 cos²(x) . Remarquons qu’on pourra aussi écrire h⁰₁(x) = cos²(x) + sin²(x)

cos²(x) ⇒h⁰₁(x) = 1 + sin²(x) cos²(x) Donc h⁰₁(x) = 1 + tan²(x)

Ces deux expressions de la dérivée de la fonction tangente pour tout x diﬀérent de π

2 +kπ peuvent très bien être apprise.

♣h₂(x) = tan(2x+ 1)

h2 est définie pour toute valeur dex telle que 2x+ 16= π

2 +kπ . Doncx6= 1 2

³π

2 −1 +kπ

´ . On va ici appliquer le théorème de dérivation de f(ax+b).

f(ax+b) est dérivable en toute valeur dex telle quef soit dérivable en ax+b.

De plus sa dérivée est alors(f(ax+b))⁰=af⁰(ax+b)

Ici, ce théorème s’applique en disant que h₂ sera dérivable pour toutx6= 1 2

³π

2 −1 +kπ´

puisque l’exercice précédent établit que la fonction tangente est dérivable partout où elle est définie.

(27)

3.4 SOLUTIONS DES EXERCICES 20 h₂ sera dérivable sur R−

½π 4 −1

2 +kπ 2

¾

Sa dérivée vaut alorsh⁰₂(x) = 2 (tan(2x+ 1))⁰⇒ h⁰₂(x) = 2 1 cos²(2x+ 1) Ou encore h⁰₂(x) = 2¡

1 + tan²(2x+ 1)¢

F Exemple 7 : Etudier les variations de f définie sur Rparf(x) =x³+x²

2 −2x+ 1

La fonction f est définie sur R, dérivable sur R(comme fonction polynôme). Elle sera donc croissante lorsque sa dérivée est positive. L’étude des variations def se ramène donc à l’étude du signe de sa dérivée f⁰.

f(x) =x³+x²

2 −2x+ 1⇒f⁰(x) = 3x²+x−2

L’étude du signe de f⁰,se ramène donc à l’étude du signe d’un trinôme.

Recherche des racines : le discriminant est∆= 1 + 24 = 25et les racines x1 =−1etx2= 2 3. En vertu du théorème sur le signe du trinôme, la dérivée sera donc négative sur

∙

−1;2 3

¸

et positive ailleurs. La fonction sera donc décroissante sur

∙

−1;2 3

¸

et croissante ailleurs.

Remarque: si la question demande juste l’étude des variations, il est inutile de faire le tableau des variations sur la copie. Mais il reste indispensable de le faire quoiqu’il arrive au moins sur le brouillon si une étude de fonction est faite en aval (cela permet de "visualiser" l’allure de la courbe et de contrôler l’étude des limites.

(28)

Chapter 4

LIMITES D’UNE FONCTION - BRANCHES INFINIES

4.1 Le plan du cours

1.Limite infinie en a. Asymptote verticale

2.Limite finie en l’infini Asymptote horizontale

3.Limite infinie en l’infini Asymptote oblique ou autre 4. Théorèmes sur les limites

4.2 Les grandes idées

Soit f une fonction dont l’ensemble de définition est R−{a} c’est à dire ]−∞;a[∪]a; +∞[. Une fois les variations étudiées et avant de tracer la courbe, il est nécessaire de se poser la question suivante : quelle est l’allure de la courbe quandx tend vers−∞,+∞ ou versa(puisque l’égalité x=aest interdite). On parle des limites def aux bornes de son ensemble de définition.

Mais répondre à la question quelle est l’allure de la courbe est plus complexe qu’étudier les limites de la fonction. Ainsi, si lim

x→af(x) =±∞,un simple petit schéma permettra de conclure à une asymptote verticale x=a.

Par contre lim

x→+∞f(x) = +∞ ne permet que de conclure que "le crayon finira en haut à droite". Mais c’est sans doute un peu vague. Ce "en haut à droite" est-il plutôt aﬃne (droite) ou parabolique ? tourné vers le haut (commex²) ou dans le sens horizontal (comme √

x).

Autant de question qu’on doit se poser avant de tracer la courbe.

4.3 Les techniques de base

4.3.1 Déterminer les limites d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition

Il faut toujours garder une conception intuitive des choses même si au dernier moment ce sont les théorèmes qui permettent de conclure.

C’est en particulier l’intuition qui doit permettre de faire la diﬀérence entre une limite immédiate et une forme indéterminée.

Ainsi, si on divise un nombre très grand par un nombre très voisin de 0 (mais positif), on obtient logiquement un nombre très grand.

C’est en fait le théorème sur la limite d’un quotient :

⎧⎪

⎨

⎪⎩

x→lim+∞f(x) = +∞

x→lim+∞g(x) = 0⁺ ⇒ lim

x→+∞

f(x)

g(x) = +∞ 21

(29)

4.3 LES TECHNIQUES DE BASE 22 On pourra écrire d’une notation totalement interdite même entre guillemets: ∞

0 =∞

(J’écrirai parfois dans ce qui suit des inepties de ce genre. Ne pas en prendre l’exemple et se l’interdire quoiqu’il arrive sur une copie.)

Par contre, là encore l’intuition doit permettre de comprendre que, ∞

∞,+∞+ (−∞),0

0,0×∞ sont des formes indéterminées et que les résultats dépendront des "grandeurs relatives des infinis et des 0". Dans tous les cas, la levée d’indétermination demandera un peu de travail.

Limite en ±∞ d’un poynôme ou ’une fonction rationnelle Il suﬃt de factoriser par la plus grande puissance dex.

F Exemple 1 :Déterminer les limites suivantes :

x→lim+∞

¡x⁴−3x+ 2¢

x→lim+∞

x⁴−3x+ 2 2x⁴−9x²+ 100 Limites en ±∞ faisant intervenir des racines carrées

La technique consiste le plus souvent à factoriser ou à multiplier et diviser par la quantité conjuguée.

x→lim+∞x−√

x lim

x→+∞

3x+ 1 x+√

x

Limite en une valeur interdite isolée

En général, une valeur interdite isolée correspond à une valeur annulant le dénominateur.Elle mènera le plus souvent à une limite infinie et une asymptote verticale. Attention cependant au cas où le numérateur s’annulerait aussi, donnant ainsi une forme indéterminée.

xlim→3

x+ 2

x−3 lim

x→3

x²−5x+ 6

x−3 lim

x→1

1−x√ x

1−√x (plus diﬃcile)

4.3.2 Déterminer de droites asymptotes et étudier leurs positions relatives à la courbe.

L’asymptote verticalex=a, citée correspond à une valeur ainterdite de x dans le cas où lim

x→af(x) =±∞. L’asymptote horizontale y=b correspond à lim

x→±∞f(x) =b.

L’asymptote oblique y =ax+b correspond à lim

x→±∞(f(x)−(ax+b)) = 0, ce qui revient à dire que la courbe est infiniment voisine de la droite (sans qu’il y ait "contact").

Remarques :

·L’asymptote horizontale n’est qu’un cas particulier de l’asymptote oblique (coeﬃcient directeur nul).

·Alors que de découvrir des asymptotes verticales ou horizontales est entièrement à votre charge, l’asymptote oblique sera en général donnée ; il ne reste plus qu’à justifier qu’elle est asymptote. On pourra aussi amener à découvrir quef(x) peut se mettre sous la forme f(x) =ax+b+ε(x) avec lim

x→+∞ε(x) = 0 donc lim

x→±∞(f(x)−(ax+b)) = lim

x→+∞ε(x) = 0.D’où le résultat.

La position relative delacourbe def et de son asymptote est donnée par le signe deε(x)quand ou peut l’étudier.

Révisions de première S