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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Verbrugge, J.-C. (1974). Contribution à la mesure de la succion et de la pression interstitielle dans les sols non saturés (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences appliquées, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/214544/1/7964d060-3fe1-498a-b997-7c853df424fd.txt
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Ecole Polytechnique Faculté des Sciences Appliquées
1* L,
i f r-
oÇ
Contribution a la de la succion et de la pression interstitielle dans
les sols non saturés
par
J.C. VERBRUGGE Ing. Civil
Mémoire présenté pour l’épreuve de Doctorat en Sciences Appliquées
+ CET OUVRAGE N'ETART PAS +
+ DAMS LE DOMAINE PUBLIC,
+ NE PEUT ETRE COMMUNIQUE +
+QU*AVEC L’AUTORISATION DE L’AUTEUR. + +-H*-++++++4-M-f-M-4“f++++++++-M-++++++++++-Hf4-
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
Ecole Polytechnique
Faculté des Sciences Appliquées
00MMUN1GATX3N AUT0W8EI U oç/o///y.
CONTRIBUTION A LA MESURE DE LA SUCCION ET DE LA PRESSION INTERSTITIELLE DANS
LES SOLS NON SATURES
par
J.C. VERBRUGGE Ing. Civil
(rhD 00^.3
Mémoire présenté pour l'épreuve de Doctorat en Sciences Appliquées
Avril 1974
J
REMERCIEMENTS
Ce travail a été exécuté sous les auspices de l'Institut pour l'Encouragement de la Recherche Scientifique dans l'Industrie et l'Agriculture (IRSIA) que nous remercions pour son appui financier.
Cette étude est faite dans le cadre d'une recherche effectuée au Laboratoire de Mécanique des Sols de l'Université Libre de
Bruxelles pour le compte du Centre de Recherches Routières.
Qu'il nous soit permis ici d'exprimer notre reconnaissance à son Directeur, Monsieur J. Reichert ainsi qu'au Chef de la Divi
sion Recherches Monsieur J. Verstraeten pour la confiance qui nous a été témoignée en nous chargeant de cette recherche.
Nous remercions également Monsieur J. Huet, Chef du Ser
vice des Revêtements et des Méthodes de Mesure qui nous a suivi et judicieusement conseillé.
Que Monsieur le Professeur J. Nuyens trouve ici l'expres
sion de toute notre gratitude pour les nombreux encouragements qu'il nous a prodigués.
Notre reconnaissance s'adresse aussi à Messieurs A. Brüll, A. Fagnoul, Hestermans, Petré, J. Romain, L. Sine, F. Soeiro, Thomaes et R. Van Ganse pour les discussions fructueuses que nous avons eues ensemble.
Cette recherche n'aurait pu être menée à bien sans la col
laboration efficace des membres du personnel du Laboratoire Méca
nique des Sols. Parmi ceux-ci nous remercierons plus particulière
ment Messieurs F. Mignolet et M. Hoste. Le premier a réalisé toutes nos cellules, le second a participé au montage de celles-ci et a effectué nos mesures expérimentales. Qu'ils trouvent ici l'ex
pression de notre plus vive reconnaissance pour la conscience et le dévouement avec lesquels ils nous ont secondé. Divers conseils de Monsieur R. F. Kockaerts, Chercheur technique se sont avérés très judicieux. Nous l'en remercions ici.
Enfin, nous sommes reconnaissant à Mme. H. Van Winnendael d'avoir assuré la mise en page de ce texte.
RESUME
La présente étude analyse les possibilités offertes en géo
technique par le psychromètre à effet Peltier pour la mesure du potentiel de l'humidité du sol, c'est-à-dire de la succion.
Après une description des principaux appareils existants, on développe des équations originales permettant de lier la succion s au signal fourni par le psychromètre, à partir des caractéristi
ques géométriques de celui-ci. A l'aide de ces équations on ana
lyse les effets de la mise en équilibre, de la température, de la pression, de la présence d'un échantillon de sol ainsi que l'étalon
nage.
Ces considérations permettent alors de comparer le psy
chromètre aux appareils courants - plaque de succion, tensiomètre, chambre de pression et dessiccateur à vide - et de montrer ses avantages.
Enfin, après avoir décrit le dispositif expérimental on donne les résultats des étalonnages qui montrent la validité des équations établies et les résultats des mesures de la succion sur un limon qui montrent la validité de la méthode psychrométrique.
i|05S6G
NOTATIONS
A A B B:
B2
B3
B4
B^
b: G C C C"
C 0
Constante psychrométrique (chap. II).
Aire de la section d'un fil du thermocouple (chap. III et suivants).
Coefficient = + Bj 4tt Tn ri Kp
Coefficient = c ^ .1 4nrj
Coefficient = IBrrar^T®
J Coefficient
4 TT rc rj Di, P rc - rj
4tt rj Di 3
Coefficient
4 TT rç. r. Di Cq M Vs (r - m) RT
~ 4tt rj Di Cq
c - -3- Coefficient = e B,P J
MV RT
Coefficient = e B4
Chaleur spécifique (chap. IV).
Concentration molaire de la solution contenue dans le sol avant le début de l'essai (chap. IX).
Concentration molaire de la solution contenue dans le sol pendant l'essai (chap. IX).
Concentration molaire du liquide s'écoulant au travers de la membrane (chap. IX).
Concentration en vapeur d'eau en un point (chap. IV, V, VIII).
Concentration en vapeur d'eau dans l'air au voisinage de la jonction (chap. IV, V, VIII).
Concentration en vapeur d'eau à la saturation (chap. IV, V, VIII).
Concentration en vapeur d'eau en équilibre avec les parois de la chambre de mesure (chap. IV, V, VIII).
- VI -
Ch D E Ë H
J K K
H
Ke
Sech Sh
Concentration en vapeur d'eau en équilibre avec l'échantillon (chap. IV, V, VIII).
Concentration en vapeur d'eau à la surface de l'échantillon, si celui-ci présente une résistance superficielle (chap. VIII).
Cosinus hyperbolique.
Constante de diffusion de l'eau dans l'air Emissivité des fils du thermocouple.
Champs électrique.
Humidité relative.
Humidité relative au voisinage de l'échantillon de sol ou de la solution d'étalonnage.
Humidité relative au voisinage de la paroi de la chambre de mesure.
Fonction modifiée de Bessel d'ordre zéro.
Equivalent mécanique de chaleur.
Coefficient de perméabilité du sol (chap. I).
Coefficient de conductivité thermique d'un fil du thermo
couple (chap. III, IV).
Résistance superficielle aux transferts entre l'échantillon et la chambre de mesure.
rc - l'i Résistance de l'air de la chambre = ---—
D Coefficient de conductivité thermique de l'air.
Longueur du fil du thermocouple.
Chaleur latente de vaporisation de l'eau.
Titre molaire du solvant dans une solution.
Masse moléculaire de l'eau.
Coefficient de Peltier (chap. III, IV).
Pression (chap. I, VI, VII, IX, X, XI).
Constante des gaz parfaits.
Surface de la jonction du thermocouple.
Sécante hyperbolique.
Sinus hyperbolique.
T Température absolue.
Th Tangente hyperbolique.
Tj Température absolue de la jonction froide du thermocouple.
Tg Température de l'échantillon du sol.
U Tension fournie par le psychromètre.
Uq Tension fournie par le psychromètre pour s = 0 V Volume spécifique de l'eau (chap. I).
V Volume de la chambre de mesure (chap. VII).
a Périmètre du fil du thermocouple.
aAB Coefficient de Seebeck relatif aux métaux A et B.
aj Coefficient de Seebeck.
a^ Coefficient d'activité de l'eau dans une solution, b Coefficient angulaire de la droite reliant U et s.
e indice de vide (chap. I).
e Tension électrique, f Energie libre de Gibbs.
fj^ Coefficient d'activité de l'eau en solution, g Accélération de la pesanteur,
h Hauteur.
h' Coefficient = - ^
hD i Courant.
iQp.j. Courant donnant le refroidissement maximal de la jonction du thermocouple.
1q Courant pour lequel les effets Joule et Peltier se compen
sent.
In Logarithme népérien, log Logarithme décimal,
m Masse
n Porosité.
P Tension de vapeur à l'équilibre, p' Tension de vapeur avant l'équilibre.
- VIII -
PO Pb pF
s' s"
¥ t
U U V V
w
X Z
r
A
AT I
Tension de vapeur saturante de l'eau.
Tension de vapeur de la solution.
Log |s|
Rayon Résistance.
Rayon de la chambre de mesure.
Rayon influencé par la jonction du thermocouple.
Rayon du fil du thermocouple.
Rayon de la jonction froide du thermocouple.
Succion.
Succion effective.
Effet d'osmose.
Entropie.
Temps.
Pression interstitielle (chap. I).
Concentration ou température réduite (chap. V et VIII).
Vitesse de Darcy.
Volume molaire partiel de l'eau de la solution.
Vitesse effective.
Volume molaire partiel de l'eau pure.
Teneur en eau pondérale.
Distance le long du fil du thermocouple.
Distance verticale.
Effet des champs de forces sur le potentiel de l'eau du sol.
orique " (^®^mesuré , , . „ --- --- ; ou laplacien
théorique Ecart (bs)thé
Variation de la teneur en eau de l'éprouvette lors de sa mise en équilibre dans le psychromètre.
Variation de température^ échauffement.
Potentiel de l'eau du sol.
Flux dû à l'évaporation ou à la condensation de l'eau sur la jonction.
Flux modifié : Sg^e
Flux dû à l'effet Joule dans la jonction Flux dû au rayonnement
Flux dû au fil 1 du thermocouple Flux dû au fil 2 du thermocouple
Aire moyenne de la chambre de mesure ; 4nrjrg Surface de l'échantillon
Teneur en eau volumique
Facteur de compressibilité (chap. I).
Pente de la courbe donnant Cq en fonction de T (chap. IV, VIII).
Paramètre donnant la part de la contrainte totale reprise par le fluide interstitiel (chap. I).
Paramètre (chap. I).
Coefficient caractérisant la différence entre les flux §g pour l'étalonnage et pour un échantillon de sol.
Poids spécifique apparent sec.
Coefficient de partage entre les deux fils de la chaleur reçue à la jonction du thermocouple.
Potentiel chimique de l'eau du sol.
Coefficient tenant compte de la réduction de p suite à l'ad- sorption dans la chambre de mesure.
Facteur de diffusion thermique.
Résistivité d'un fil du thermocouple.
Résistivité de la jonction du thermocouple.
(chap. III, IV).
Paramètre ; (r^ - rj) (chap. VIII).
- X -
a c cr '
T
T
Tl = T
0 0'
X V
1 et 2
Constante de Stefan-Botzmann (chap. IV).
Contrainte normale total (chap. I).
Contrainte normale effective (chap. I).
Contrainte tangentielle totale.
Temps réduit : Dt
r^)2 (chap. VIII).
Contrainte tangentielle effective (chap. I) Abaissement de température.
Abaissement de température à la jonction froide du thermo
couple.
Abaissement de température du support.
Coefficient majorateur de la masse des supports.
Opérateur nabla. = E T
^ ôx
Identification des fils du thermocouple.
Chapitre I
GENERALITES ET DEFINITIONS
I. Introduction
Si, d'une part, on définit la mécanique des sols comme l'en
semble des connaissances qui permettent à l'ingénieur d'utiliser, suivant les règles de l'art, le sol comme matériau intervenant né
cessairement dans toute construction. Si, d'autre part, on décrit le sol comme un milieu polyphasique hétérogène, formé de grains solides de dimensions et de nature variables, dont les interstices sont remplis de liquide et de gaz. Et si l'on tient encore compte des nombreuses façons dont ce matériau intervient ou est mis en oeuvre dans les diverses constructions (routes, fondations, soutène
ments, digues, . . . ), on comprend aisément que la mécanique des sols est le lieu de rencontre de très nombreuses disciplines et que les frontières de son domaine sont extrêmement confuses.
Dès lors, il n'est pas étonnant d'y voir des méthodes ou des théories d'un empirisme flagrant - par exemple les limites d'Atterberg, cer
taines formules de battage des pieux - côtoyer les dernières acqui
sitions de la science et de la technique - par exemple les méthodes radio-actives et la théorie des éléments finis. Ces multiples aspects sont à l'origine de la richesse, de la souplesse et de l'intérêt de cette discipline à la fois très ancienne et très récente : très an
cienne car de tout temps les hommes ont construit, et très récente, car elle n'est devenue une discipline autonome que depuis le début de ce siècle.
Depuis lors, elle s'est essentiellement développée autour de deux cas extrêmes : les sols secs et les sols saturés. Dans le premier cas, l'étude se limite à celle du comportement du squelette solide assimilé à un milieu homogène, isotrope et continu. Dans le second cas, on superpose au premier les résultats fournis par une étude d'hydraulique souterraine, faite en négligeant les effets de la frange capillaire. Cette superposition se fait habituellement suivant le schéma résumé ci-dessous par ses principales relations et basé sur le principe des contraintes effectives de Terzaghi (réf. ^).
- 2 -
Le potentiel hydraulique est défini par
* - U ,
$ = — + Z
Pg (I, if
Dans cette relation
i est le potentiel de l'eau;
U est la pression interstitielle, c'est-à-dire la pression de la phase liquide du sol;
Z est la cote du point où $ est calculé, exprinaée par rapport à un niveau de référence;
P est la masse spécifique de l'eau;
g est l'accélération de la pesanteur.
Cette relation n'est autre que celle de Bernouilli, où le terme représentant la part due à l'énergie cinétique a été négligé vu que les vitesses d'écoulement dans les sols sont toujours très faibles. Ce potentiel intervient dans l'équation de conservation de la matière, rebaptisée ici équation de continuité ou équation de Laplace qui, en régime transitoire s'écrit :
|| = V.(K7|) (1,2)
où
© = la teneur en eau volumique;
t = le temps;
V = l'opérateur nabla;
K = coefficient de perméabilité.
Comme conditions aux limites, une surface imperméable sera définie par
ôn 0 (1,3)
(n désigne ici la normale à la surface imperméable) et une surface libre par
(■**■) Les formules sont identifiées par 2 chiffres ; le premier en caractères romains rappelle le chapitre, le second en caractères arabes est le numéro d'ordre de cette formule dans le chapitre.
f = constante (I, 4) En régime permanent, le premier membre de l'équation s'annule et (1,2) se ramène à la forme simple :
Al = 0 (1,5)
La résolution d'une des deux équations (1,2) ou (1,5) avec les conditions initiales et aux limites adéquates fournit la fonction I solution du problème d'écoulement cherché. Celle-ci étant connue, la relation (I, 1) fournit u en chaque point, tandis que la vitesse d'écoulement y est donnée par la loi de Darcy
V = - KV . I (I, 6)
où
V = le vecteur débit par unité de section totale (vides + pleins) normale à l'écoulement; il a les dimensions d'une vitesse et on le désigne généralement sous les noms de vitesse brute, vitesse de Darcy et même simplement vitesse.
La vitesse moyenne du fluide dans les pores Vg est donnée par
où
(I, V) n = porosité.
A côté de cette étude hydraulique, une autre, de stabilité, faite en assimilant le sol à un milieu monophasique continu fournit l'état de contrainte en chaque point. Pour tout plan passant par un point donné la contrainte normale ct et la contrainte tangentielle t
sont donc connues. Ce sont les contraintes totales. Terzaghi (réf, et ^) a introduit la notion de contraintes effectives définies comme étant la part des contraintes totales non reprise par l'eau intersti
tielle. Ceci conduit aux relations :
ct' - a - U (I, 8)
et
où T' = T (1,9)
a' = contrainte normale effective;
t' = contrainte tangentielle effective;
a = contrainte normale totale;
T = contrainte tangentielle totale.
- 4 -
Le principe des contraintes effectives s'énonce alors comme suit : les changements en volume et en effort de cisaillement d'un sol sont dûs exclusivement aux changements des contraintes effecti
ves. En outre, toujours selon cet auteur, pour les sols compres
sibles, lorsque la teneur en eau est maintenue constante, tout ac
croissement de contrainte totale Act entraîne un accroissement de pression interstitielle Au tel que
Au = Aa (I, 10)
Lorsque la teneur en eau n'est pas maintenue constante. Au tend à se dissiper au cours du temps, et à la longue, en vertu de (1,8) le Act se transforme en Act'.
La méthode d'analyse rappelée sommairement ci-avant né
glige les phénomènes de capillarité et considère que la nappe phréa
tique possède une frontière parfaitement définie séparant le sol sa
turé du sol totalement sec et appelée surface libre.
Cette approximation, admissible pour les sables, est assez grossière pour les limons et les argiles. Malgré cela, cette mé
thode donne d'excellents résultats pour l'étude d'un grand nombre de problèmes de mécanique des sols. Elle s'est malheureusement avérée inadéquate pour l'étude de la plupart des problèmes rencon
trés en géotechnique routière et de certains cas de stabilité de remblais ou de digues avant leur mise sous eau. Ceci provient du fait que ces études concernent des sols non saturés, c'est-à-dire des milieux où les trois phases - solide, liquide, gaz - sont simul
tanément présentes.
Les attitudes qui ont été adoptées face aux insuffisances de cette méthode peuvent être regroupées en deux catégories. La pre
mière et la plus répandue consiste à recourir à des essais dont les techniques empiriques sont totalement standardisées et dont les ré
sultats sont exprimés en termes aisément mesurables, comme par exemple l'énergie de compactage, la teneur en eau pondérale et le poids spécifique apparent sec dans le cas de l'essai proctor, ou le rapport des forces nécessaires pour provoquer une déformation donnée dans un sol de référence et dans le sol étudié pour l'essai CBR. La seconde, qui croît d'année en année, présente un aspect plus rigoureux. Elle consiste à étudier l'extension des relations développées ci-avant au cas des sols non saturés, en faisant appel à des concepts de mécanique, d'hydraulique ou de thermodynamique.
Les nouvelles équations ainsi établies sont en général complexes et lourdes à manier. Elle nécessitent l'introduction de notions nouvel
les ou l'extension de celles existantes.
II. La succion a) Définitions
Comme on l'a vu ci-avant, l'existence d'une séparation nette et bien définie entre la nappe phréatique et le sol sec est une vue de l'esprit. On devra donc, pour définir la surface libre, recourir à un critère quantitatif : c'est le lieu des points pour lesquels la pression interstitielle est égale à la pression atmosphérique.
Comme on convient généralement d'attribuer à cette dernière une valeur nulle, on aura donc à la surface libre :
U = 0 (1,11)
tandis que pour la nappe phréatique
U > 0 (I, 12)
et qu'au dessus de la surface libre
U ^ 0 (I, 13)
On remarquera que le sol peut se trouver à l'état saturé sur une certaine hauteur au-dessus de la surface libre, la limite supé
rieure étant appelée surface de saturation.
Pour l'étude des sols situés au-dessus de la surface libre, les physiciens des sols et les agronomes ont introduit la notion de succion que l'on définit comme suit : c'est la dépression qu'il faut, dans un système isotherme, appliquer à l'eau libre pour amener son potentiel à la même valeur que celui de l'eau contenue dans un échantillon de sol libéré de toute contrainte extérieure. En fait, cette définition est double, car suivant que l'eau libre mise en con
tact avec l'échantillon est pure ou identique à celle contenue dans le sol on mesurera généralement deux valeurs différentes. Dans le premier cas on mesure la succion totale s et dans le second la succion effective ou matricielle s'. La différence
s" = s - s' (I, 14)
représente la part de la succion totale due à des phénomènes d'os
mose liés à la présence de sels dissous.
On peut donc dire que, sous certaines conditions, s est une mesure du potentiel qui, comme l'a montré P. F. Low (réf. 4)
- 6 -
est identique à l'énergie libre de Gibbs de l'eau contenue dans le sol. A nouveau, on convient généralement d'attribuer une valeur nulle à l'énergie libre et au potentiel de l'eau pure libre.
De ce qui précède on déduit aisément la relation suivante valable en l'absence de contraintes :
= Af = VAP - "sAT + VAs' + VAs" + gAz (I, 15) où
V est le volume spécifique de l'eau;
AP est la différence entre la pression externe s'exerçant sur le sol et sur l'eau pure libre;
s est l'entropie;
AT est la différence de température entre le sol et l'eau pure libre;
As' est la succion effective;
As" est la pression osmotique;
g est l'accélération de la pesanteur;
Az est la différence d'altitude;
Al est la différence entre le potentiel de l'eau du sol et celui de l'eau libre;
Af est la différence entre l'énergie libre de l'eau du sol et celle de l'eau libre.
Pour les conditions exprimées dans la définition de s, il vient, compte tenu de ce que s' et s" sont nuis pour l'eau pure libre :
Af = Af = V(s' + s") + gAz (I, 16) Parallèlement, l'énergie libre de la phase vapeur contenue dans le sol par rapport à l'eau pure libre est donnée par la rela
tion suivante, déduite de la loi de Kelvin Afvap
RT
M In P Po est la constante des gaz parfaits;
est la masse moléculaire de l'eau;
où R M
+ gAz (1.17)
P est la tension de vapeur de l'eau du sol;
Pq est la tension de vapeur de l'eau pure libre;
Si l'on se rappelle que l'humidité relative H est définie par la relation
H = 100 -E- (1, 18)
Po
et qu'à l'équilibre l'énergie libre de la vapeur est égale à celle de l'eau, on peut écrire, en un point d'altitude donnée :
s = s' + s" RT H VM 100
Schoffield a introduit la notion de pF définie par : pF = log |sj
(1,19)
(
1,
20)
où s est exprimée en cm de colonne d'eau.
Finalement de (1,19) et (1,20) on déduit la relation liant le pF et l'humidité relative H :
pF = 4, 035 + log T + log(2 - logH) (1,21) cette relation est portée en graphique à la figure 1 pour une tempé
rature T = 298°K.
Etant donné que dans les sols H est très proche de 100, on peut dans (I, 19) remplacer ^ . i,
_ RT H
VM ^'lOO
(
1,
22)
A 25°C cette relation devient
s = 14. 000 (H - 100) (1,23) où s est exprimée en cm de colonne d'eau.
Tant que H est supérieur à 95 %, ce qui correspond à un pF in
férieur à 4,8, l'erreur faite en utilisant (1,23) ne dépasse pas 3 %.
Relation entre le pF et H à 25 *C
RMM 7058
FIG. 1
b) Relations entre la pression interstitielle, les contraintes appliquées et la succion.
D'une part, en vertu de la définition donnée ci-dessus, la pression de l'eau contenue dans un volume de sol soumis à un champ de contraintes ne peut plus être appelée succion. D'autre part, s'il est admissible que pour le physicien du sol et l'agro
nome le problème de l'état de contrainte puisse passer au second plan, il n'en est plus de même pour l'ingénieur. C'est pourquoi des relations liant, à une teneur en eau donnée et constante, s, u et l'état de contrainte du sol ont été développées.
Si l'on considère un état de contrainte isotrope et si la pres
sion de l'air dans les pores u^^ n'est pas nulle, c'est-à-dire si
^a ® " ^2 " '^3 “ peut aisément démontrer les rela
tions suivantes (réf. :
(u - Ug^) = s + ot{a - Ua) (1,24) a' = (a - Ua) - 3 (u - Ua) (1,25) où
01 = le facteur de compressibilité
3 = un paramètre donnant la part de la contrainte totale reprise par le fluide interstitiel.
La dernière relation ci-dessus due à Bishop (réf. ^) n'est rien d'autre que la loi de Terzaghi (1,8) étendue aux sols non sa
turés. Richards propose quant à lui de l'écrire sous la forme (réf. 7)
a' =a-Ug^-P'(s'- Ug^) - P " (s" - u^^) De façon similaire, la relation (I, 10) devient
(1,26)
A(u - Ug^) = aA(a - u^) (1,27) Lorsque le déviateur des contraintes n'est pas nul (ct^ > cTg = Og ), les relations s'alourdissent et (1,27) s'écrit alors (réf. 6) ;
A(u - u^) = a [ A (ct3 - Ug^) + T] (Acr^ - Acg )] (1,28) Dans ces relations a, p et T] sont des paramètres qui dépen
dent entre autre du degré de saturation, de la structure et de la na
ture du sol, des cycles de séchage et d'humidification, des variations
-io
de contrainte subies. Ils doivent être déterminés soit expérimenta
lement, soit à partir de corrélations établies avec certaines pro
priétés du sol (réf. ^). On retiendra toutefois que
pour les sols saturés a = P = 1 (I, 29)
pour les sables secs a = 0 (1,30)
et pour l'essai de compression simple T] = l/3 (1,31) c) Quelques propriétés de la succion
On sait depuis longtemps que la relation liant la succion à l'un des paramètres exprimant la teneur en eau du sol n'est pas biunivoque, mais qu'elle présente de l'hystérèse. Il en résulte qu'à moins de connaître son "passé hydrique" on ne peut prédéter
miner de façon précise la teneur en eau finale d'un échantillon (ou sa succion) à partir de la variation de succion (ou de teneur en eau) à laquelle il est soumis. Toutefois, actuellement ceci ne con
stitue plus un obstacle majeur, car au cours de ces dernières an
nées des méthodes permettant le traitement des courbes d'hystérésis et la simulation numérique des successions de cycles de drainage et d'hydratation ont été développées. On a fait récemment un inven
taire (réf. £) de ces méthodes. On sait également que Informe de la boucle d'hystérésis varie avec la nature du sol.
Pour les sables la succession d'humidification et de dessicca
tion décrit une courbe fermée qui est parcourue à chaque cycle.
La plus grande de ces courbes est l'enveloppe des courbes fermées plus petites correspondant à des cycles intermédiaires.
Pour les sols argileux, lors de la dessiccation, il se produit un phénomène irréversible. Ceci est mis en évidence par les cour
bes de succion pour diverses structures d'une argile (réf. ^), (figure 2).
Courbe A : dessiccation d'un échantillon naturel.
Courbe B : échantillon séché à 105°C* puis humidifié progressive
ment. C'est une coprbe caractéristique du matériau, elle donne les valeurs minimales de ©. On l'appellera courbe caractéristique d'humidification.
( ) Remarquons que ce séchage en étuve à 105* C risque fort de provoquer des modifications irréversibles de la structure du sol, dont les effets viendront se superposer aux phénomènes étudiés et notamment à l'hystérèse.
6
9 5 6 /2
Tl
P K>
_ 12 -
Courbe C ; après avoir atteint la saturation le long de la courbe B, on draine à nouveau l'échantillon, c'est la courbe carac
téristique de drainage.
Courbe D ; c'est la courbe caractéristique de la teneur en eau maximale. Elle correspond à la dessiccation d'un échantillon où la teneur en eau initiale est nettement plus grande que la limite de liquidité.
Courbe G : échantillon sans cesse remanié, on constate que les phénomènes d'hystérèse disparaissent.
Les courbes E et F correspondent à un échantillon délayé dont les cycles de dessiccation ont été interrompus.
On peut généralement subdiviser une courbe caractéristique en trois zones plus ou moins apparentes, correspondant à des inter
valles de teneur en eau spécifique (réf. ;
1° Le corps saturé sans phase gazeuse continue; dans les sables pour de faibles succions (< 25 cm) le matériau subit la succion sans modification de la teneur en eau, la dépression appliquée étant équilibrée par l'augmentation de la courbure des ménis
ques des pores superficiels.
Dans les argiles, tant que la teneur en eau reste supérieure à la limite de retrait, tout accroissement de succion sera com
pensé par une réduction du volume de l'échantillon. Celui-ci pourra ainsi rester saturé jusqu'à des pF élevés.
2° Le corps semi-saturé (eau funiculaire), on a deux phases dis
tinctes continues, l'eau et l'air. Au drainage les pores se vident successivement, l'eau se maintenant dans des insterstices de plus en plus étroits, jusqu'à la division finale de la phase liquide.
3° Le corps à phase liquide divisée (eau pendulaire), les variations de teneur en eau ne peuvent plus se faire que par des échanges en phase vapeur étant donné que K(0) 0 et de grands accrois
sements de s n'amènent que de faibles variations de ©.
Cette subdivision est plus ou moins accentuée suivant la nature du sol envisagé et les traitements qu'il a subis ;
Dans les sols sableux, le compactage donne un meilleur arrangement des grains. Lorsque le degré de compaction augmente, aux faibles pF, 0 diminue tandis qu'aux valeurs élevées de pF, © augmente. En d'autres termes, si la succion varie de s^ à Sg, lorsque le compac
tage augmente, l'écart ©max “ ®min diminue.
Dans les sols argileux, le compactage donne également un meilleur arrangement des grains mais il s'accompagne d'une contraction avec expulsion d'eau. On constate alors une contraction en majeure par
tie irréversible et un déplacement des courbes. ,
Enfin, la succion est fortement influencée par la présence de sels dissous. Ceux-ci sont à l'origine des phénomènes osmotiques me
surés par s".
III. Importance de la notion de succion en géotechnique.
Les relations établies ci-dessus en II, b ont déjà mis en évidence le rôle joué par la notion de succion en géotechnique.
Afin de mieux en préciser l'importance on va, dans ce qui suit, évoquer brièvement son rôle dans divers essais ou phénomènes de mécanique des sols.
Bien qu'il ne s'agisse pas à proprement parler de la suc- sion, rappelons préalablement les travaux de Bishop et de ses col
laborateurs montrant l'incidence d'une mauvaise détermination de l'un des paramètres u, Ug^ ou P, sur les valeurs de la cohésion c' et de l'angle de frottement interne cp' déduites de l'essai triaxial (réf. j^). Dans certains cas, les erréurs résultantes peuvent con
duire à l'obtention de valeurs négatives pour c'.
L'application du principe de contrainte effective et des rela
tions I, 24 à 28 montre que pour des sols situés au-dessus de la sur
face libre, les déformations ou les tassements ne dépendent plus seulement des variations de contrainte appliquée, mais également des variations de succion. En d'autres termes :
Ae ou Ah = f(Aa, As) au lieu de f(An).
Actuellement, dans leur quasi totalité, les essais oedomé- triques se font sur des sols saturés soit naturellement, soit en laboratoire préalablement à l'essai. Il reste donc là tout un do
maine à étudier.
De tous les essais de mécanique des sols, la détermination des limites d'Atterberg est celui où l'erreur due au facteur humain est prépondérante et qui présente le caractère le plus arbitraire.
Malgré cela, les valeurs déduites de cet essai - limites de liqui
dité et de plasticité ainsi que leur différence appelée indice de plas
ticité - interviennent dans un grand nombre de corrélations expéri
mentales et dans des méthodes de dimensionnement. Selon Russell
- 14 -
et Mickle (réf. les limites de liquidité et de plasticité sont iden
tiques aux teneurs en eau à la séparation entre les trois régions des courbes de succion définies ci-dessus en II, c. Ceci permet de déterminer de façon plus rigoureuse les limites d'Atterberg.
Croney, Coleman et Black (réf. ont montré que dans une gamme assez étendue de valeurs de s, l'indice CBR varie linéairement avec la succion, et qu'il serait plus opportun de le relier à cette valeur plutôt qu'à la teneur en eau comme cela se fait habituellement. Par extension, ils en arrivent à admettre que la capacité portante d'un sol non saturé est donnée par une relation du type
Pmax " ^1 ('P) P l®l ^2 ('p) (1,32) Le premier de ces auteurs a, par ailleurs, développé une méthode permettant de prédéterminer le profil hydrique d'équilibre qui s'établira sous une chaussée, (réf. basée sur la relation (I, 24) et sur la connaissance des courbes de rétention ou courbes de succion. Cette méthode présente certes un caractère empirique, mais elle a l'avantage de la simplicité. Si l'on désire plus de ri
gueur, on peut intégrer, avec des conditions initiales et aux limites adéquates, l'équation ci-dessous établie à partir des relations de Laplace et de Darcy généralisées aux milieux non saturés (réf. ^)
S0
9z (1,33)
Dans cette relation le coefficient de perméabilité K est une fonction de ©. L'intégration, lorsqu'elle est possible, fournit la répartition de © tandis que l'intégration de l'équation de Laplace fournit $ et s en chaque point. Quelle que soit celle des deux mé
thodes proposées que l'on choisit pour déterminer ©, la succion in
tervient.
Enfin, tout récemment M. Brüll (réf. JA) a montré que le module d'élasticité dynamique des sols varie avec la succion sui
vant une loi du type
OÙ
et m sont des paramètres qui dépendent de la compacité et de la nature du sol.
IV. Importance de la mesure de la succion et de la pression interstitielle.
Les quelques exemples donnés ci-dessus montrent que la succion et la pression interstitielle (généralement négative) qui lui est associée jouent un rôle fondamental dans le comportement géo
technique des sols situés au-dessus de la surface libre. Il en ré
sulte qu'il est important de pouvoir mesurer soit s, soit u, soit encore $.
De ce qui précède on peut également déduire que deux types distincts d'appareils de mesure sont nécessaires : d'une part ceux qui permettent d'imposer des variations connues de la succion pour pouvoir par exemple les correler à des variations de teneur en eau, et d'autre part ceux qui, dans des circonstances précises ou au cours d'un essai permettent de mesurer s ou u < o.
Dans ce qui suit on va analyser le fonctionnement et la mise au point, tester et comparer aux méthodes habituelles un appareil du second type, issu du domaine de la physiologie végé
tale où il sert à déterminer la pression osmotique existant dans les tissus des plantes : il s'agit du psychromètre à effet Peltier.
Chapitre II
LES APPAREILS USUELS DE MESURE DE LA SUCCION ET LES PSYCHROMETRES
Dans le présent chapitre, on và brièvement décrire le prin
cipe de fonctionnement et certains caractères particuliers des appa
reils usuels de mesure de la succion et des différents types de psychromètres. On pourra ainsi plus aisément justifier le type de psychromètre choisi pour la présente étude. Toutefois, la compa
raison entre les appareils usuels les plus courants et le psychro
mètre à effet Peltier ne se fera que dans le chapitre IX ci-après, car elle nécessite certains développements qui font l'objet des cha
pitres intermédiaires.
Les différents types d'appareils utilisés pour mesurer la succion sont fort nombreux, car chacun d'eux ne donne des résul
tats valables que dans un certain domaine d'applicabilité et sous cer
taines conditions. On peut en général regrouper ces instruments en deux grandes familles basées sur le principe de la mesure ; d'une part les méthodes directes qui ne font intervenir que la phase liquide contenue dans le sol, et d'autre part les autres appelées méthodes indirectes. Les psychromètres appartiennent à cette dernière famille.
Dans ce qui suit, on a regroupé les différents appareils découlant d'un même principe de fonctionnement, et sur ces bases on a établi la classification (réf. :
I. Les appareils usuels a) Méthodes directes
1. A£p^eil^_t^^aiI^n'^à_Ja_c^£r_^£iX)n
Dans ces appareils le sol à étudier est, à la pression am
biante, mis en contact avec un réservoir d'eau par l'intermédiaire d'une plaque poreuse. L'eau du réservoir est soumise à une dépres
sion qui, à l'équilibre, mesure la succion.
Dans cette catégorie, on peut classer le tensiomètre pour les mesures in situ, le filtre de succion, l'appareil double mètre et la plaque de succion en laboratoire.
- 18 -
L'organe délicat de ces appareils est la pierre poreuse qui doit laisser passer l'eau de façon à assurer la continuité de la phase liquide entre le sol et le réservoir, mais ne peut laisser passer l'air malgré la différence de pression entre ses deux faces.
Les dépressions appliquées dépassent rarement - 0, 7 atmos
phère, ce qui correspond à une gamme de pF de 0 à 2,9. Le grief le plus important que l'on puisse faire à ces appareils est la diffi
culté de réaliser un bon contact sol-pierre poreuse, ce qui peut fausser les résultats.
Les mesures allant de pair avec des échanges d'eau entre le sol et le réservoir, l'équilibre peut être très long à atteindre pour les sols à faible perméabilité ou à faible diffusivité.
En laboratoire, ceci ne pose en général qu'un problème de temps et de rendement des appareillages. In situ, surtout si les conditions de l'essai (température, niveau de la nappe,...) varient fréquemment et rapidement, les mesures peuvent comporter des erreurs non négligeables.
2. A£p^£ü ^ à. J-^
Ce sont essentiellement des appareils de laboratoire. Leur principe est analogue au cas précédent sauf que le réservoir d'eau se trouve à la pression atmosphérique tandis que la chambre con
tenant l'échantillon est portée à des pression élevées.
A cette catégorie appartiennent les appareils à chambre de pression et à membrane sous pression.
On peut ainsi atteindre des pF de 5 à 6 suivant le type d'appareillage.
Toutes les remarques faites en 1) ci-dessus sont égale
ment valables ici.
3. e_j)roc^da^ _E§£
C'est aussi un appareil destiné uniquement à un usage en laboratoire. Son principe est le suivant : si la distance entre le centre de l'échantillon et le niveau d'eau est h, dans le champ de la pesanteur, la succion vaudra s = - h. Pour un champ d'intensité ng, la succion vaudra s = - nh. Cet appareil utilise la force cen
trifuge pour réaliser un tel type de champ.
On s’en sert en général dans la gamme de pF comprise entre 3 et 4,5. Si r^ est la distance entre le centre de rotation et la surface du liquide, rg la distance entre le centre de rotation et le centre de l’échantillon, et UJ la vitesse angulaire de rotation, on a :
pF = log^o
(
11,
1)
Cette méthode est due à Mc Queen et à Miller (réf. 15).
Elle consiste à mettre le sol à étudier en contact, pendant une quinzaine de jours, avec un papier filtre taré, le tout étant main
tenu à température constante. On détermine le pF à partir de la teneur en eau du filtre; on atteint ainsi des valeurs de pF de 5,5.
Les résultats semblent toutefois être affectés par les sels dissous dans l'eau.
5. L’oedomètre
En utilisant le système de drainage d’un oedomètre classi
que à la manière d’une plaque de succion, il est possible de mesu
rer s ainsi que le tassement ou le gonflement correspondant sous l’effet de surcharges. Etant donné que les argiles restent saturées jusqu’à des pF de l’ordre de 4, un calcul élémentaire fournit à tout instant la teneur en eau © à partir de la connaissance de sa valeur initiale et de la mesure de l'enfoncement du piston. Ceci permet d’étudier la relation s = s(©) en combinant les cycles de drainage- hydratation avec ceux de chargement-déchargement de façon à res
tituer en laboratoire les conditions rencontrées in situ.
Cette méthode comme celle de la plaque de succion dont elle s’inspire (cf. ci-dessus a. 1) est limitée à des pF inférieurs à 2,9.
Pour compenser cet inconvénient et pour pouvoir travailler à des succions inférieures à - 1 bar, M. Escario (en 16, p. 50) puis G.D. Aitchison et J.A. Woodburn (réf. ont conçu un appa
reil hybride tenant de la chambre de pression pour la mesure de s et de l’oedomètre pour le système de chargement. Le point dé
licat de ces appareils est la difficulté de réaliser une bonne étan
chéité à l’endroit où le piston pénètre dans la chambre. De plus, les mesures peuvent, dans certains cas être perturbées par le frottement du sol le long de la paroi de l’appareil.
- 20 -
6. Les colonnes de sable
C'est là un appareil se prêtant à diverses études et per
mettant de recréer des conditions assez semblables à celles exis
tant in situ. Son utilisation a essentiellement été réservée à l'étude de sols sableux remaniés pour des pF inférieurs ou égaux à 3.
Dans certains cas, elle a récemment été étendue aux sols limoneux non remaniés (Com. pers. du Prof. A. Sine de la Faculté Agrono
mique de Gembloux).
b) Méthodes indirectes
1. Immersion de l'éprouvette dans un milieu d'humidité contrôlée.
On a vu au chapitre I, II, a, qu'à l'équilibre le pF d'une éprouvette placée dans un milieu d'humidité H est donné par la relation (1,21) :
pF = 4, 035 + logjoT + logjo (2 - logigH).
La constance de H est généralement assurée par une solu
tion d'H^SO^ de concentration connue, l'enceinte de mesure étant maintenue à température constante. C'est le principe du dessicca- teur à vide et de la balance d'absorption. La gamme de pF cou
verte par ces appareils varie de 4,5 à 7. Ils ne conviennent que pour les essais en laboratoire. A la pression atmosphérique, l'équi
libre est généralement fort long à atteindre; pour réduire ce délai, on soumet l'enceinte à un vide poussé, ce qui tend à compliquer la méthode.
2. Abaissement de la température de fusion.
Le principe de cette méthode est basé sur le fait que l'éner
gie libre de l'eau est liée à l'abaissement de son point de fusion par la relation pF = 4, 1 logj^o AT^ (réf. ^). La gamme d'utilisation varie de pF 3 à 4. C'est à nouveau une technique réservée au laboratoire.
On lui reproche surtout d'être sensible à l'air occlus et aux phé
nomènes de surfusion.
3. Mesure de la teneur en eau d'un bloc témoin
On mesure, par la variation de sa résistance électrique, la teneur en eau d'un bloc poreux témoin en équilibre avec le sol.
Supposant que pour ce corps la relation © = f(s) est biuni- voque, on peut en déduire la succion dans le sol. En réalité, cette hypothèse n'est pas exacte et constitue une première source d'er
reur. Une seconde est que la présence de sels dissous dans le milieu témoin en fera varier la résistivité, faussant ainsi les me
sures. Malgré certaines astuces pour atténuer les effets de cette dernière source d'erreur, cette technique, qui permet de travailler dans la gamme de pF de 2 à 5, doit être considérée comme la moins précise.
II. Les psychromètres
a) Principe de fonctionnement des psychromètres et choix du psychromètre à effet Peltier
Le psychromètre est un appareil utilisé depuis plus d'un siècle en météorologie pour mesurer l'état hygrométrique de l'air.
Dans sa version initiale, il se compose de deux thermomètres dont l'un (appelé thermomètre mouillé) a son réservoir entouré d'une étoffe maintenue humide. L'évaporation de l'eau étant endothermi- que, il se produit entre les deux thermomètres une différence de température d'autant plus forte que cette évaporation est elle-même plus active, c'est-à-dire, en fin de compte, que l'air est plus sec.
Ceci se traduit par les relations suivantes, bien connues des mé- téorolgues (réf. 18)
où T' T P
Po Po A
P = p^ - AP(T - T') = p^ _ (|ja + AP)(T-T') et
+ AP) (T - T') H = 1 _ JJ:___________________
Po
(
11,
2)
(11,3)
= température absolue du thermomètre mouillé;
= température absolue du thermomètre sec;
= pression à laquelle fonctionne le psychromètre, en général la pression atmosphérique;
= tension de vapeur saturante correspondant à la température T'
= tension de vapeur saturante correspondant à la température T;
= la constante psychrométrique ou constante d'Arnould. Elle
- 22 -
dépend entre autres de la forme et des dimensions du bulbe du thermomètre, de la conduction de la chaleur par les supports et de la vitesse de ventilation. Sa valeur est de l'ordre de 6.2 10"‘^°C"^. Lorsque la vitesse de ventilation s'annule, la valeur de A ne peut plus être évaluée a priori. Tout ou plus sait-on que la valeur augmente et que l'équation quasi station
naire de Maxwell est applicable (réf. 18).
Si A est constant, (II, 3) ci-dessus montre une relation li
néaire entre H et T - T'.
En vertu des relations I, 19 à 23, la succion est une fonc
tion de l'humidité relative, et dans une très grande gamme de va
leurs de s, on peut admettre une relation linéaire. On voit donc que le psychromètre peut être utilisé pour mesurer s, à condition, lorsque le pF est ^ 5, de pouvoir mesurer de façon très précise des valeurs de H comprises entre 95 et 100 % (cf. figure 1). Pour y parvenir, on remplace les thermomètres par des thermistances ou des thermocouples, et l'étoffe humide par une simple goutte d'eau. On obtient ainsi le psychromètre à goutte (réf. 1_9) qui pré
sente le grand inconvénient de nécessiter une régénération régulière de la goutte d'eau lorsque celle-ci s'est évaporée. La grande inno
vation dans ce domaine est due à Spanner (réf. qui le premier eut l'idée de n'utiliser qu'un seul thermocouple mais de tirer profit des propriétés des effets thermoélectriques^. Pour la mesure de s, le fonctionnement du psychromètre se fait de la façon suivante : soit un thermocouple placé dans une atmosphère très humide comme l'est par exemple le voisinage ou une cavité au sein d'une masse de
sol. Supposons qu'initialement l'équilibre est atteint et que l'en
semble du système est isotherme. Faisons passer, pendant une durée déterminée, un courant donné de façon à refroidir par effet Peltier la jonction du thermocouple en dessous du point de rosée.
De l'humidité va se condenser sur la jonction du thermocouple. Si, après un certain temps on interrompt l'arrivée du courant, le con
densât va s'évaporer en maintenant, comme on l'a déjà vu, un abaissement de température au niveau de la jonction. Il en résul
tera une force électromotrice due à l'effet Seebeck. Celle-ci évo
luera en décroissant suivant une loi dépendant de l'évaporation de la gouttelette qui, à son tour, est fonction de l'humidité relative H.
En pratique, le psychromètre à effet Peltier est étalonné à partir de solutions pour lesquelles H ou, ce qui revient au même.
(^ ) Un brief rappel des propriétés des effets thermoélectriques est donné en annexe.
l'activité de l'eau est parfaitement connue. On peut alors lier di
rectement la succion à la force électromotrice lue au galvanomètre.
La relation est, comme on l'a vu ci-dessus, linéaire sur un très grand domaine de valeurs de s. Comme la phase gazeuse inter
vient dans la mesure, le psychromètre fait partie des appareils de mesure indirects. Le grand avantage du psychromètre à effet
Peltier sur le psychromètre à goutte est la régénération automa
tique de la gouttelette d'eau sur la jonction, ce qui permet de faire à volonté autant de mesures qu'on le désire, sans intervention.
Ceci explique le choix du psychromètre à effet Peltier pour la présente recherche. Dans cet appareil, la vitesse de ventilation est nulle (comme on le verra au chap. IV, les effets de convection sont négligeables) et les relations 11,2 et 3 ci-dessus cessent d'être applicables. On devra en établir d'autres, c'est pourquoi, dans les chapitres qui suivent, on va analyser et étudier de façon détaillée d'abord le psychromètre à effet Peltier en soi, puis ses possibilités d'utilisation en mécanique des sols.
b) Domaine d'application du psychromètre à effet Peltier.
Théoriquement, le domaine d'application du psychromètre à effet Peltier n'a aucune limitation et s'étend sur toute la gamme des pF. En réalité comme on pourra le constater ci-dessous, il y a deux limites : une borne inférieure du côté des faibles valeurs de s et une borne supérieure pour des succions élevées.
Il est important de remarquer que ces limitations ne sont pas dues au psychromètre en soi, mais aux possibilités de la tech
nique. Tout progrès dans ce domaine entraîne un élargissement de ses possibilités d'utilisation.
On peut montrer aisément que la principale limitation pro
vient des thermocouples dont on dispose actuellement, mais préala
blement, on va établir la relation liant la succion à l'abaissement de température de la jonction froide. A l'ambiante, la tension de vapeur saturante de l'eau varie en fonction de la température sui
vant la loi (réf. 21) :
log Po = 0.026 T + 0,85 (11,4) où
Pq est donné en milibars et T en degrés C.
- 24 -
Pour une humidité relative H on peut écrire p = où
P est également la tension de vapeur saturante à la température T + AT. Il en résulte que
log = 0, 026 AT (11,5)
Po
et en vertu de (1,21), il vient, à 25°C
s = 8,4 IO^aT (II,6)
où
s s'exprime en cm de colonne d'eau
et AT est l'abaissement de température provoquant la condensation.
1. îLâ. borne supérieure
Les thermocouples fes plus intéressants que l'on trouve couramment dans le commerce sont les combinaisons chromel- constantan pour lesquels 'ô max ~ ^ 0 désigne l'abaissement de la température de la jonction froide.
Avec cette combinaison on ne pourra donc pas mesurer des succions supérieures à 1,49.10® cm C. E, ce qui correspond à un pF de 5, 15 environ.
2 . La_j^r^^ürf^rûe^
Les thermocouples chromel-constantan fournissent une force électromotrice de 63[j,V par degré d'abaissement de température.
II, 6 permet de voir que la sensibilité théorique maximale de ce psychromètre est de 0, 75 iJ, V/bar. Ceci signifie que pour mesurer des succions de l'ordre de 0,01 bar (environ 10 cm C.E.) il faut pouvoir mesurer de façon très précise une tension de 7,5 nV. Cette valeur est à la limite des possibilités des meilleurs appareils exis
tant actuellement.
Certains auteurs (réf. 20, 21 ) ont envisagé d'utiliser des combinaisons donnant de meilleures performances comme par exem
ple celle Bi-Bi + 5 % Sn pour laquelle ®max*=* &BB ~
Malheureusement le gain obtenu n'a pas compensé les difficultés in
hérentes à la réalisation de cette combinaison d'une grande fragilité.
On constate donc que pour les psychromètres à effet Peltier les progrès à escompter passent par l'amélioration des combinaisons de thermocouples actuellement existantes et par le perfectionnement des nanovoltmètres offerts sur le marché. (On pense notamment aux perspectives offertes par les oxydes de semi-conducteurs et en particulier par le tellure de bismuth).
Chapitre III
ETUDE MATHEMATIQUE DU REFROIDISSEMENT MAXIMAL DES THERMOCOUPLES PAR EFFET PELTIER
A PARTIR DE L'EMISSIVITE DES FILS
I. L'effet Peltier en régime permanent.
a) Les conditions aux limites.
Spanner (réf. puis Dalton et Rawlins (réf. 2^) ont étudié l'effet Peltier en régime permanent. Toutefois les conditions aux limites qu'ils ont adoptées pour intégrer l'équation différentielle ré
gissant le phénomène, manquent de réalisme. Ils ont envisagé soit des conducteurs semi-infinis, soit des conducteurs finis mais en imposant une variation de température nulle aux extrémités des fils ce qui, comme on le verra ci-dessous, les a amenés à tirer des conclusions erronnées de leurs calculs.
En réalité, lorsqu'un courant électrique passe dans un ther
mocouple de façon à créer un refroidissement par effet Peltier, la quantité de chaleur ôtée à la jonction froide se retrouve générée à la jonction chaude. Celle-ci est matérialisée par les deux supports de cuivre auxquels sont fixées les branches du thermocouple. Ces supports vont s'échauffer, ce qui, dans les applications psychromé- triques, est préjudiciable à la qualité des mesures. On devra donc veiller à limiter cet échauffement à une valeur que l'on choisit généralement voisine de 10~® ou 10“^°C.
Cette condition est réalisée en donnant aux supports une masse totale m que l'on détermine de la façon suivante ; soit un courant i parcourant le thermocouple pendant un temps t. La quan
tité de chaleur enlevée à la jonction froide par l'effet Peltier vaut P.i.t. Si C est la chaleur spécifique du matériau dont sont faites les attaches, on peut écrire (5)
Pit C0L
(III, 1) Pour aboutir à cette relation on a fait, d'une part, l'hypo
thèse que les supports étaient parfaitement isolés. Ceci n'est géné
ralement pas le cas et l'échauffement sera moindre que prévu.
28 -
D'autre part, on a négligé les gradients thermiques dans les sup
ports. Cette façon de faire ne se justifie que lorsque leur forme se rapproche de sphères au centre desquelles aboutissent les fils des thermocouples. Elle est erronée lorsque les fils sont fixés aux extrémités de tiges fines et longues, ce qui est le type de sup
port le plus souvent utilisé. Généralement on admet que les deux approximations faites pour établir (III, 1) se compensent.
Cette hypothèse n'est pas correcte. Les mesures d'échauf- fement des supports faites sur les psychromètres réalisés pour la présente recherche ont montré que l'échauffement réel est plus im
portant que prévu. C'est pourquoi on a modifié la relation (III, 1) ci-dessus en
m s X -(jQ— Fit (III, 1 bis)
où X est un coefficient majorateur, supérieur à 1. Il est fonction de la forme et de l'élancement des supports. Pour des supports de cuivre noyés dans de l'araldite on a trouvé expérimentalement
X 2 pour un élancement ( 3,5.
diamètre
Pour un thermocouple chromel-constantan et des supports en cuivre, la relation ci-dessus peut se mettre sous la forme sui
vante, beaucoup plus pratique ;
où
Volume de cuivre s 5, 05 10 ^ X (en cm®) (III, 2)
i en Amp.
t en sec et
RMM. 8.103 Fig. 3 Thermocouple idéal
b) Répartition de la température le long des fils du thermocouple Soit le thermocouple représenté à la figure 3 et prenons comme origine des distances la surface de contact entre les deux conducteurs que l'on identifiera par les indices 1 et 2.
Exprimons la conservation de la chaleur entre les sections M et N; il vient,
2 P dx + kA (- ^) + Ea dx9 = KA (- 4^) (III, 3)
A dx^N dx
où
0 = 9(x) est l'abaissement de la température du fil par rapport à l'ambiante au point x;
K = conductivité du fil;
P = résistivité du fil;
r = râyon du fil;
A = section du fil;
a = périmètre du fil;
E = émissivité de la surface du fil, c'est-à-dire la vitesse d'échan
ge de chaleur entre le fil et le milieu ambiant par unité de surface latérale et par degré d'écart. On suppose 9 suffisam
ment petit pour que cet échange de chaleur soit proportionnel à l'écart de température. E tient compte à la fois des échan
ges par conduction, rayonnement et convection.
Vu les faibles différences de température qui sont en jeu, on peut admettre que le coefficient de Seebeck est constant dans le domaine de température envisagé. Il en résulte alors que l'effet Thomson est nul. En réalité il est négligeable et un calcul som
maire montre que la puissance qu'il met en jeu est de l'ordre du millième de celle liée à l'effet Peltier. C'est pourquoi on n'a pas tenu compte de l'effet Thomson pour l'établissement de la relation ci-dessus.
En groupant les termes on a finalement
KA ^ - Ea» - =
dx^ A 0 (III, 4)
- 30 -
type
où on a posé
Cette équation différentielle admet une solution générale du
(111.5)
(111.6) e = C e"°^^ + C e“^ —
S® ^2 ® ■ EaA a = Ea
KA
La solution réelle devra vérifier les conditions aux limites suivantes ;
Pour X = 0
e. e.
Pour X = L
(- K^A ^) 1 dxx=0
0 = _ e.
\
P.i(III, 7) (III, 8) (III, 9) Dans ces relations est la part de la quantité de chaleur Pi transportée par le conducteur 1. En adoptant une définition ana
logue pour Xg on a
Xg - 1 (III, 10)
Compte tenu de 111,7,8 et 9 la solution III, 5 s'écrit finale- ment sous la forme
\
e
Xj Pi Shû'i(L-x) i2 Pi
1 KiA»! Ch L EaA 1 Chc^i X
Ch^i L
On constate que pour “ 0 on retrouve la solution propo
sée par Dalton et Rawlins (réf. ^) qui n'est qu'un cas particulier de (III, 11). La valeur de 92 ®st également donnée par III, 11, il suffit de remplacer tous les indices 1 par 2.
Pour déterminer X.^, on substitue dans III, 7 ©i et 9 2 P^-i’
leur valeur obtenue pour x = 0 dans 111,11. Compte tenu de 111,10 il vient finalement
X^Pi. Tho^iL ^ ThagL
KiAc, KgAû^g EaA Pi - P2 ~ .+ P2 Pi
Cha^L ChofeL ThttpL
'L Cho-iL Chttp L = 0 (111,12)
où 111,12 est la relation liant et i lorsque III, 7 est vérifiée.
c) Courant optimum
On désigne sous le nom de courant optimum, le courant iopt qui produit l'abaissement maximal de température en x = 0. On le détermine, ainsi que la valeur X^ qui lui est associée, à partir des équations (111,11) et (111,12) en utilisant la méthode des multi
plicateurs Lagrange
Tout calcul fait on trouve
Pnr . Thc^iL. Thofs L
^opt (111,13)
2[Pi(l-Secha,Dj^- ThcysL + p^y^ (1 - Secha^L) Tha^L]K
Cette relation est équivalente à celle numérotée (15) chez Dalton et Rawlins (réf. 2^) ce qui montre que contrairement à ce qu'affirment ces mêmes auteurs (réf. ^), la valeur optimale du courant est indépendante de l'échauffement des supports.
Lorsque orL est égal ou supérieur à 5, on peut admettre que
ThaL » 1 (III, 14)
et
Sechû^L «s 0 (III, 15)
Ceci revient à supposer que les fils du thermocouple sont semi-infinis. L'erreur ainsi faite sur iopt inférieure à 1,5%.
(III, 13) devient alors
iopt
Pnr3/2
[Pi
V^+
Ps71^]
(111,16)
L'ensemble des relations 111,13 à 111,16 permettent de tirer les conclusions suivantes ;
1) lorsque r est constant, et tant que «L < 5, iopt décroît lorsque L augmente. Dès que aL » 5 le courant optimal devient indé
pendant de L.
- 32 -
2) Pour une longueur L donnée, croît avec le rayon du fil.
3) Lorsque aL > 5, l'échauffement des supports n'a plus d'effet sur 9 en X = 0.
X, =■
La valeur de X^ sera donnée par 1 1
Cha^L ChûfgL
T^gL _j^
KgAttg EaA 0i -P3 - +
Cha^L Chc^s L Pi Thg^L ^ ThasL
RgAos
- (111,17)
pour aL ^ 5 en admettant III, 14 et III, 15, la relation ci-dessus se réduit à celle donnant X^ dans le cas de conducteurs semi-infinis (réf. 2^ et 24)
=
Pi
P1 P a ^/^a
(III, 18)
Connaissant Xj^ et Xg, on peut dimensionner les supports en leur donnant respectivement pour masse m^ = Xj^.m et mg = Xg. m (111,19) d) Effet de la forme réelle de la jonction
Jusqu'à présent, on a supposé que la forme de la jonction froide était idéale, c'est-à-dire que les deux fils venaient se placer bout-à-bout dans leur prolongement mutuel. La réalité est assez différente, et il serait plus correct de considérer en x = 0 une
gouttelette de métal dans laquelle viennent se fixer les deux branches du thermocouple, comme le montre la figure 4.
Spanner (réf. 2^) propose le raisonnement suivant pour te
nir compte de la forme non idéale de la jonction.
Soit S la surface extérieure de la gouttelette que l'on sup
pose être en métal parfaitement conducteur. A tout moment elle sera à la même température que la jonction, et au refroidissement son abaissement de température vaudra Par unité de temps elle absorbera de l'air ambiant une quantité de chaleur égale à
Q = ES0O (111,20)
%
fil 2 I fil 1I
jonction froide Fig. 4a Jonction idéale
RMM 7.059
Figure 4
Cette absorption de chaleur aura pour effet de réduire le refroidissement en o, et pour en tenir compte il faut, dans (111,11) soustraire Q de Pi. Compte tenu de 111,20 et en explicitant
vient
XjPi SechcTjL] - Sechcr^L (111,21)
Dans cette équation, le membre de droite est identique à celui de (111,11) pour X = 0. Après quelques arrangements on peut écrire
eO
_______ 1__________
1 + XjCr^ljThofjL (111,22)
- 34 -
où 1^ est la longueur du conducteur 1 présentant une surface laté
rale égale à S, soit
Il =-^ (III,22bis)
On voit donc que la présence de la gouttelette a pour effet de réduire le refroidissement de la jonction dans le rapport
__________1_________
1 + X-i 0?! Il Tha^ L
A partir de 111,22 on peut, par un processus analogue à celui utilisé en c ci-dessus déterminer le courant optimum et X-i- Toutefois les calculs sont nettement plus fastidieux et on ne parvient pas à expli
citer ^ et iQp-(- sous forme analytique. Malgré cela, il est aisé de montrer que la forme réelle de la jonction a pour effet de modifier la valeur de iopt- Etant donné que l'on ne possède pas de relation explicitant le courant optimum, on propose d'utiliser la méthode approchée suivante. 111,20 peut se mettre sous la forme
Q = ce„ (111,23)
ce qui, en vertu de (111,21) devient
Q = C,i-C3i2 - C3 (III, 24)
La quantité de chaleur enlevée à la jonction froide, temps, vaut en première approximation
par unité de
Qç. = r i^ - Pi + Q (111,25)
= F i2 - Pi + C^i - Csi2 - C3 (111,26) Le courant optimum est donné par
= 0 = 2 ri - P+ C,- 2C-i (111,27)
ôi 12
et . P - C,
(111,28)
