∫ ∑ ∫ ∫ Partie I - MATHÉMATIQUES I

(1)

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2000 1/4

MATHÉMATIQUES I Filière PSI

Objet du problème :

Il s’agit de calculer par plusieurs méthodes les intégrales déﬁnies dans la partie II.

Notations :

Partie I -

I.A - Soit une application de classe sur et à valeurs dans . Montrer

que : .

I.B - On note , pour .

I.B.1) Justiﬁer l’existence de . I.B.2) Calculer , , , .

I.B.3) Exprimer en fonction de et en déduire une expression de en fonction de .

I.B.4) Montrer que : , et en déduire : .

I.B.5) Déduire des résultats précédents l’égalité : . I.C -

I.C.1) Soit un réel strictement positif. Justiﬁer l’existence de l’intégrale .

I_n

C_n^p n

 p

  n!

p! n( –p)!

---

= =

f C¹ [ , ]a b IR

f t( )sinxt td

a

∫

b

x→lim+∞ = 0

J_n sinnt t ---sin dt

0 π 2---

∫

= n∈IN

J_n

J₀ J₁ J₂ J₃

J_n–J_n_–₂ n

J_n n

J_n–J_n_–₁

( )

nlim→+∞ = 0 J_n π

---2

=

n→lim+∞

π 4 ( )–1 ⁿ 2n+1 ---

n=0 +∞

∑

=

a nt sin

t --- tsin d

0

∫

a

(2)

Filière PSI

I.C.2) Soit . Prouver que l’application telle que

pour et est de classe sur .

On pourra écrire : , pour .

I.C.3) Déterminer

lorsque .

I.C.4) En déduire la valeur de

lorsque , puis , puis .

I.D - En utilisant les résultats précédents et l’intégrale , montrer que la fonction admet pour limite lorsque tend vers en .

On posera .

I.E - En utilisant , montrer que l’application

n’est pas intégrable sur .

Partie II -

II.A - Montrer que pour tout , l’application est intégrable sur . On pose :

.

a∈]0,π [ f

f x( ) 1

---x 1

x ---sin –

= x≠0 f 0( ) = 0 C^∞ [0 a, ]

f x( ) x sin –x

x² ---

x sin ---x ---

= x∈]0,a ]

nt sin ---t dt

0

∫

a ^sin---sin^nttdt

0

∫

a

 – 

 

nlim→+∞ a∈]0,π[

nt sin ---t dt

0

∫

a

n→lim+∞ a π

2---

= a π

2---

< a π

---2

>

t sin --- tt d

0 nπ

∫

F : X sint --- tt d

0

∫

X

a π

---2 x +∞

I₁ sint --- tt d

0 +∞

∫

^π---2

= =

t sin ---t td

nπ n+1 ( )π

∫

t sint ---t

a ]0 +, ∞[

n≥2 t sint

---t

 

 ⁿ

a ]0 +, ∞[

I_n sint ---t

 

 ⁿdt

0 +∞

∫

=

(3)

II.B - Montrer que : ( a été déﬁnie en I.D).

II.C - Montrer : .

II.D - Montrer que : pour . (On pourra utiliser une partition judi- cieuse de l’intervalle d’intégration).

Partie III -

Pour et , on considère les applications

: déﬁnie par

et : déﬁnie par ,

où désigne la dérivée d’ordre de .

III.A - Montrer que pour tout , est intégrable sur . III.B - Montrer que pour et , la valeur de l’expression

ne dépend pas de .

III.C - Pour , prouver que la fonction admet en une

limite ﬁnie, notée , et que, pour tout :

.

III.D - En déduire, pour : .

III.E -

III.E.1) Établir pour tout et tout les résultats suivants : (1)

(2) III.E.2) En déduire, en distinguant les cas et , une expression de du type où est une somme de nombres rationnels (on pourra faire intervenir dans les calculs).

I₁ = I₂ I₁ I_n

nlim→+∞ = 0

I_n>0 n≥1

n∈IN k∈{0, ,… n–1}

g_n ]0 +∞[, →IR g_n( )t = (sint)ⁿ h_{n k}_, ]0 +, ∞[→IR h_{n k}_, 1 tⁿ^–^k ---g_n^{( )}^k( )t

=

g_n^{( )}^k k g_n

k∈{0, ,… n–2} h_{n k}_, ]0 +, ∞[

n≥2 k∈{0, ,… n–2} n–k–1

( )! h_{n k}_, ( )tdt

0 +∞

∫

^k

n≥2 G : X h_{n k}_, ( )t td

0

∫

X

a +∞

h_{n k}_, ( )tdt

0 +∞

∫

^k^∈^{⁰^{, ,}^… ⁿ^–¹^}

h_{n n}_, _–₁( )tdt

0

∫

+∞ ⁽ⁿ^–^k^–¹^)! 0 ^h^{n k}^, ^{( )}^t^d^t

∫

+∞

=

n≥2 I_n 1 n–1

( )!

--- 1

---gt _n⁽ⁿ^–¹⁾( )tdt

0

∫

+∞

=

p∈IN∗ t∈IR 4^p(sint)^{2 p} C_{2 p}^p 2 ( )–1^k

k=1

∑

p ^C^{2 p}^p^–^k^cos⁽^2kt⁾

+

=

4^p(sint)^{2 p}⁺¹ ( )–1^k

k=0

∑

p ^C^{2 p}^p^–⁺^k¹^sin⁽^2k⁺¹^)t

=

n = 2 p n = 2 p+1 I_n q_nπ q_n

I₁

(4)

Retrouver la valeur de , puis calculer et .

Partie IV -

IV.A - Montrer, pour tout et tout réel positif l’existence de l’intégrale : .

IV.B - Montrer que l’application est de classe sur , et qu’elle vériﬁe, pour tout , l’équation différentielle :

: .

IV.C -

IV.C.1) Résoudre l’équation .

IV.C.2) En déduire une expression de à l’aide de (on considérera les valeurs de et ).

IV.C.3) Montrer que quand tend vers et retrouver ainsi la valeur de .

IV.D - Exprimer à l’aide de et en déduire une expression de . IV.E - En procédant de manière analogue à IV.C, obtenir et . IV.F - Montrer que, pour tout , peut se mettre sous la forme :

,

où et sont des fonctions polynômes vériﬁant : le degré de est égal à ;

le degré de est égal à ; a même parité que ; a même parité que .

••• FIN •••

I₂ I₃ I₄

n∈IN∗ x

A_n( )x (sintx)ⁿ tⁿ(1+t²) ---

0

∫

+∞ ^d^t

=

xaA_n( )x

[ ] C² IR⁺

n≥2 E_n

( ) y″–n²y = n n( –1)A_n_–₂( )x –n²xⁿ^–¹I_n E₂

( )

A₂ I₂

A₂( )0 A′₂( )0

A₂( )x = O x( ²) x +∞

I₂

A′₁ A″₂ A₁

A₃ I₃ n∈IN^* A_n

A_n( )x = e^–^xQ_n(e^–^x)+R_n( )x Q_n R_n

R_n n–1

Q_n n

R_n n–1

Q_n n