∫ ∫ ∫ ∫ Partie I - MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

Partie I -

On considère l’intégrale :

où désigne un entier naturel.

I.A -

I.A.1) Déterminer une relation de récurrence entre et .

I.A.2) En déduire une expression de et à l’aide de factorielles.

I.B -

I.B.1) Montrer l’équivalence : .

I.B.2) Montrer que la suite avec est constante et en déduire l’équivalence : .

I.B.3) Application 1

Montrer, lorsque , réel, tend vers , l’équivalence : .

I.B.4) Application 2

À l’aide de la série de terme général , montrer que l’inté- grale impropre est divergente.

I.C - On pose, pour , et .

I.C.1) Montrer l’équivalence : .

I_n cosⁿxdx

0 π

2---

=

∫

n

I_{n 2+} I_n I_2n I_2n+1

I_n

∼

( )_n∈IN J_n = (n 1+ )I_nI_{n 1+} I_n π

2n---

∼

t +∞

cosx ( )^tdx

0 π ---2

∫

∼

u_n sinx^xdx

nπ n 1+

( )π

=

∫

x sin ^xdx

1

∫

n 1≥ u_n n 1 2---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞ ln n n– –ln n!

= v_n = u_{n 1+} –u_n

v_n 1 12n² ---

∼

Filière TSI

I.D - Établir l’existence d’une constante telle que : .

I.E - En utilisant la question I.B.2, en déduire l’équivalent de Stirling : .

Partie II -

On considère les séries entières :

et .

II.A - Montrer que la première série entière définit une fonction continue sur et calculer sa somme .

II.B - On considère la seconde série entière.

II.B.1) Déterminer son rayon de convergence. On note sa somme, là où elle converge.

II.B.2) Montrer que cette série entière converge pour et calculer . II.C - Déterminer la limite à gauche de en .

II.D -

II.D.1) Montrer l’existence d’une limite à gauche en de . II.D.2) On pose, pour entier strictement positif,

.

Montrer que la suite est décroissante.

II.D.3) Montrer que converge vers un réel strictement positif.

II.E - Établir que .

C 0>

n!

∼

∼

xⁿ ---n

n 1

∑

n 1

∑

1 –

[ ,1 [ f

g

x = –1 g 1(– )

g 1

l 1 g x( )+ln 1( –x) n

w_n 1 1 2--- … 1

n---–ln n

+ + +

=

w_n ( )_n∈IN

w_n

( )_n∈IN γ

l = –γ

II.F - Une expression intégrale de .

On pose .

II.F.1) Montrer l’existence de .

II.F.2) Montrer que et que l’application

: est bornée sur .

II.F.3) Montrer que pour tout , on a

. II.F.4) Montrer que pour et , on a

. II.F.5) Calculer l’intégrale

. II.F.6) En déduire .

Partie III -

On considère deux séries entières et . On fait les hypothèses suivantes :

• La suite est à termes positifs.

• La série diverge.

• a un rayon de convergence égal à .

•

On note et les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur inter- valle ouvert de convergence.

III.A -

III.A.1) Montrer que a un rayon de convergence supérieur ou égal à . γ

I 1

---t 1

ln 1 t( – ) ---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

0

∫

=

I

I 1

1–e^–x --- 1

x---

⎝ – ⎠

⎛ ⎞

0

∫

=

Φ x 1

1–e^–x --- 1

x---

a – ]0 +∞ , [

n 1≥ I 1 1

2--- … 1

n--- e^–x–e^{–(n 1+ ) x} --- xx d

0

∫

∫

–

+ + +

=

n 1≥ ε>0 e^–x–e^{–(n 1+ ) x}

--- xx d

ε

∫

--- xx d

ε (n+1)ε

=

∫

e^–x–e^{–(n 1+ ) x} --- xx d

0

∫

I = γ

a_nxⁿ

n 0

∑

∑

a_n ( )_n∈IN

a_n

n 0

∑

a_nxⁿ

n 0

∑

b_n= o a( _n)

u v

b xⁿ

∑

III.A.2) On fixe un réel strictement positif.

Montrer qu’il existe un entier naturel tel que pour tout tel que , .

III.A.3) En déduire qu’au voisinage de .

III.B - Montrer que si l’on remplace l’hypothèse par , alors au voisinage de on a l’équivalence : .

III.C - Application 1 :

III.C.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière .

III.C.2) Déterminer un équivalent simple en de sa somme.

III.D - Application 2 :

On considère les séries entières

et , où l’on a posé pour .

III.D.1) Vérifier que leur rayon de convergence est et montrer que , .

III.D.2) En déduire un équivalent au voisinage de de .

On pourra utiliser II.D.3.

III.E - Application 3 :

On pose pour ,

. ε

N x 0≤x 1<

v x( ) b_n ε 2---u x( ) +

n=0 N

∑

≤

1 v x( )= o u x( ( ))

b_n= o a( _n) a_n

∼

1 u x( )

∼

n³ln ch1 n---

⎝ ⎠

⎛ ⎞ xⁿ

n 1

∑

1

H_nxⁿ

n 1

∑

n 1

∑

H_n 1 1

2--- … 1 n---

+ + +

=

1 x

∀ ∈ ] 1– ,1 [ (1–x) H_nxⁿ

n=1 +∞

∑

1 ln n

( )xⁿ

n 1

∑

x∈ ] 1– ,1 [

J x( ) 1

1–x²cos²t --- td

0 π

2---

=

∫

III.E.1) Développer en série entière, au voisinage de , la fonction . avec et préciser son rayon de convergence.

III.E.2) Montrer pour tout la relation ,

avec les intégrales étudiées en partie I et une suite que l’on expli- citera.

III.E.3) Montrer qu’il existe une constante réelle tel qu’au voisinage de on ait l’équivalence : et préciser la valeur de .

Partie IV -

On considère deux séries entières et . On fait les hypothèses suivantes :

• La suite est à termes positifs non tous nuls.

• , où l’on a posé et

• Le rayon de convergence de la série est égal à et la série diverge.

On note et les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur inter- valle ouvert de convergence.

IV.A - Vérifier l’égalité, pour tout réel

. et en déduire que le rayon de convergence de

est égal à .

0

x 1

1 a– ²x² ---

a a 0>

x∈ ] 1– ,1 [ J x( ) a_nI_2nx²ⁿ

n=0 +∞

∑

=

I_2n (a_n)_n∈IN

K 1

J x( )

∼

a_nxⁿ

n 0

∑

∑

a_n ( )_n∈IN A_n

∼

A_n a_p

p=0 n

∑

= B_n b_p

p=0 n

∑

=

a_nxⁿ

n 0

∑

n 0

∑

u v

x

1–x

( ) A_px^p

p=0 n

∑

p=0 n

∑

=

A_nxⁿ

n 0

∑

IV.B - Établir les relations, pour tout

et .

puis en déduire qu’au voisinage de , on a : . IV.C - Application 1 :

On considère la série entière , où est un entier supérieur ou égal à . Vérifier que son rayon de convergence est et montrer qu’au voisinage de , on a l’équivalence , où est une constante réelle que l’on préci- sera.

IV.D - Application 2 :

IV.D.1) Montrer que les séries entières et

sont de rayons de convergence et que l’on a, au voisinage de ,l’équivalence : .

IV.D.2) En déduire que l’on a, au voisinage de , l’équivalence : ,

où est la suite étudiée dans la première partie.

IV.D.3) Montrer que pour , on a l’égalité : .

IV.D.4) Calculer l’intégrale ci-dessus et en déduire qu’au voisinage de , on a l’équivalence :

,

où est une constante réelle strictement positive que l’on précisera.

••• FIN •••

x∈ ] 1– ,1 [ A_nxⁿ

n=0

∞

∑

n=0

∞

∑

= B_nxⁿ

n=0

∞

∑

n=0

∞

∑

=

1 u x( )∼v x( )

x^an

n 0

∑

1 1

x^an

n=0

∞

∑ ^∼

xⁿ²

n=0

∞

∑

n=0

∞

∑

1 1

xⁿ²

n=0

∞

∑

n=0

∞

∼ ∑

1 xⁿ²

n=0

∞

∑

n=0

∞

∼ ∑

I_n ( )_n∈IN

x∈ ] 1– ,1 [ I_nxⁿ

n=0

∞

∑

0 π

2---

=

∫

1

xⁿ²

n=0

∞

∑ ∼