Partie I - Déﬁnition d’une suite MATHÉMATIQUES I

(1)

MATHÉMATIQUES I

Les parties II, III et IV sont relativement indépendantes.

Partie I - Définition d’une suite

Dans cette partie, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 4.

sont points tous distincts dans un plan. Ces points sont, dans cet ordre, les sommets d’un polygone convexe. Autrement dit, en convenant que la propriété suivante est vérifiée : pour tout côté du polygone, tous les sommets du polygone autres que et sont du même côté de la droite joignant à .

On appelle diagonale du polygone tout segment joignant deux sommets non con- sécutifs. On trace un certain nombre de ces diagonales de manière à découper le polygone en triangles. Les diagonales utilisées ne doivent avoir, deux par deux, aucun point commun à l’intérieur du polygone.

Pour fixé, on note le nombre de découpages possibles du polygone.

Pour , par exemple, il y a deux découpages possibles, l’un utilisant la diagonale et l’autre utilisant la diagonale , donc .

I.A - Ici, . Montrer que le triangle figure dans 2 découpages possibles, le triangle dans un seul découpage et le triangle dans 2 découpages possibles.

En déduire que .

I.B - Ici, . Combien y-a-t-il de découpages possibles du polygone dans les- quels figurent le triangle ? le triangle ? le triangle ? le

triangle ?

Calculer . I.C - Justifier que

et que .

I.D - Donner en la justifiant, une formule généralisant les précédentes et per- mettant, pour , de calculer connaissant .

a_n ( )_n_∈_IN n

A₁,A₂, ,… A_n n

A_n₊₁ = A₁ A_iA_i₊₁

A_i A_i₊₁ A_i A_i₊₁

n a_n

n = 4

A₁A₃ A₂A₄ a₄ = 2

n = 5 A₁A₂A

A₁A₂A 3

4 A₁A₂A

5

a₅ = 5 n = 6

A₁A₂A

3 A₁A₂A

4 A₁A₂A

A₁A₂A 5 6

a₆

a₇=a₆+a₅+a₄²+a₅+a₆ a₈=a₇ a₆ a₅a₄ a₄a

5+a

6 a₇

+ + + +

n≥7 a_n a₄, ,… a_n_–₁

(2)

Filière TSI

I.E - On convient que . Montrer que l’on a, pour tout supérieur ou égal à ,

.

I.F - Écrire une procédure ou une fonction qui, recevant à l’entrée la valeur de , renvoie un tableau contenant les valeurs . Ce programme sera écrit dans le langage du logiciel de calcul formel connu du candidat, qui sera précisé sur la copie. Il devra être accompagné de commentaires le rendant compréhensi- ble par le correcteur.

Partie II - Expression de

On se propose, dans cette partie, d’expliciter l’entier défini dans la première partie. On convient que .

II.A - Montrer que l’on a, pour tout supérieur ou égal à 3,

.

II.B - Soit une suite de réels tels que la série entière ait un rayon de convergence non nul. Pour , on pose :

.

II.B.1) Soit fixé dans . Montrer que, sur , la fonction définie par est définie et continue.

II.B.2) En déduire que admet, au voisinage de , un développement limité d’ordre . Préciser la partie polynomiale de ce développement limité.

II.B.3) Si est un entier inférieur ou égal à , quel est le coefficient de dans le développement limité d’ordre , au voisinage de , de la fonction ? ( désigne le produit du réel par lui-même).

a₂ = a₃ = 1 n

3

a_n a_ka_n₊₁_–_k

k=2 n–1

∑

=

n a₂, ,… a_n

a_n

a_n a₀ = a₁ = 0

n

a_n a_ka_n₊₁_–_k

k=2 n+1

∑

=

b_n

( )_n_∈_IN

∑

b_nxⁿ

r x∈]–r r[,

g x( ) b_nxⁿ

n=0 +∞

∑

=

m IN ] r– ,r[ h

h x( ) b_m₊_kx^k

k=1 +∞

∑

=

g 0

m

p m x^p

m 0

xag²( )x g²( )x g x( )

(3)

Quel est le coefficient de dans le développement limité d’ordre de la fonc-

tion ?

II.C - On revient à la suite . On note le rayon de convergence de la série entière et on utilise la fonction définie sur par

.

II.C.1) Que peut-on dire, si n’est pas nul, de l’existence et de la valeur de ?

II.C.2) Dire pourquoi les résultats de II.B suggèrent qu’on a peut-être, si n’est pas nul :

.

II.C.3) Trouver un réel , le plus grand possible, et une fonction (que l’on explicitera en résolvant une équation du second degré) définie et continue sur

, dérivable en avec , tels que : . II.D -

II.D.1) Le réel étant fixé, rappeler le développement en série entière de la fonction et son rayon de convergence.

II.D.2) En déduire le développement en série entière de la fonction . On essaiera d’écrire le coefficient de dans ce développement sous la forme d’une fraction dont les deux termes seraient des produits d’entiers.

II.D.3) Donner de une expression, valable pour , sous forme de série entière.

II.D.4) En utilisant II.C.3 et II.B.3, montrer que, pour tout entier naturel , le coefficient de dans le développement de en série entière est exacte- ment égal à .

II.E - Déduire de tout ce qui précède une expression simple de , valable pour tout entier supérieur ou égal à , et utilisant le coefficient binomial . On rappelle que, avec la convention , on a .

II.F - En déduire que, pour supérieur ou égal à , l’entier est divisible par l’entier .

x^p m

xag²( )x –xg x( )+x³ a_n

( )_n_∈_IN R

a_nxⁿ

∑

^f ] R + R [,

f x( ) a_nxⁿ

k=0 +∞

∑

=

R f'( )0

R

∀x∈]–R +, R[, f²( )x –xf x( )+x³=0

β h

] –∞ β, [ 0 h'( )0 = 0

∀x∈]–β, β[, h+ ²( )x –xh x( )+x³=0

α xa(1+x)^α

xa 1–x xⁿ

h x( ) x ] 1

4--- 1 4---[

,

∈ –

n

xⁿ h x( )

a_n

n 2 C_2nⁿ^–_–²₄

0! = 1 C^q_p p!

q! p( –q)!

---

=

n 2 C_2nⁿ^–_–²₄

n–1

(4)

Partie III - Équivalent de

On se propose dans cette partie de déterminer un équivalent de l’entier défini dans la première partie. Pour , on considère l’intégrale

.

III.A - Établir l’existence de pour . Calculer et . III.B -

III.B.1) Montrer que est une suite décroissante.

III.B.2) Montrer que pour .

III.B.3) En déduire que est équivalent à lorsque .

III.C - Montrer, en utilisant III.B.2, que est une constante que l’on explicitera.

En déduire un équivalent de lorsque .

III.D - Pour , calculer puis exprimer au moyen de . En déduire un équivalent de lorsque .

Partie IV - Étude d’une fonction

On se propose dans cette partie d’étudier la fonction définie par .

IV.A - Montrer que :

.

Étudier les variations et tracer le graphe de la restriction de à . IV.B - Soit , .

IV.B.1) Soit . Montrer que .

a_n

a_n n∈IN

I_n 1

1+t² ( )¹⁺ⁿ^---² --- dt

0

∫

+∞

=

I_n n∈IN I₀ I₁

I_n ( )

I_n₊₂ n+1 n+2 --- I_n

= n∈IN

I_n₊₁ I_n n→∞

n+1 ( )I_nI_n₊₁

I_n n→∞

n≥2 I_2n_–₄ a_n I_2n_–₄

a_n n→∞

ϕ ϕ( )x 1

n–1

---C_2nⁿ^–_–²₄xⁿ

n=2 +∞

∑

=

∀x∈] 1 4--- 1

4---[ , ϕ( )x ,

– x

---2(1– 1–4 x)

=

ϕ ] 1 4--- 1

4---[

, – n₀∈IN n₀≥2

x ]0 1 4---[ ,

∈ 1 n–1

---C_2nⁿ^–_–²₄ xⁿ

n=2 n₀

∑

^≤^x₂^---⁽¹^– ¹^–^{4 x}⁾

(5)

IV.B.2) En déduire que .

IV.B.3) est-elle définie pour ? est-elle définie pour ?

IV.C - Conclure quant à l’ensemble de définition de . La fonction est-elle continue sur cet ensemble ? Donner de une expression simple valable pour tout appartenant à l’ensemble de définition.

IV.D -

IV.D.1) Citer les théorèmes qui permettent de justifier la dérivabilité de la série entière définissant sur , d’écrire comme somme d’une série entière que l’on explicitera, et de donner le rayon de convergence de cette série.

IV.D.2) Montrer que est solution, sur , de l’équation différentielle linéaire du premier ordre

où est un polynôme du second degré que l’on déterminera.

IV.D.3) Vérifier que la fonction est solution de sur . IV.D.4) Résoudre sur chacun des intervalles

.

IV.D.5) Vérifier que est la seule solution de , de classe sur , avec une dérivée nulle en .

IV.E -

IV.E.1) La fonction est-elle bornée sur ? IV.E.2) La série entière égale à pour

est-elle convergente pour ? IV.E.3) On note

. Vérifier que l’on a pour tout .

En déduire la nature de la série de terme général et la nature de la suite .

1 n–1

---C_2nⁿ^–_–²₄ 1 4---

  ⁿ

n=2 n₀

∑

^≤¹₈^---

ϕ x 1

4---

= x 1

4--- –

=

ϕ ϕ

ϕ( )x x

ϕ ] 1

4--- 1 4---[

,

– ϕ'( )x

ϕ ] 1

4--- 1 4---[

,

– ( )E

x 1( –4 x)y'( )x –(1–6 x)y x( ) = p x( ) ( )E p

x x 2---

a ( )E IR

( )E ] ∞,0[ et ]0 1

4---[

, –

ϕ ( )E C¹ ] 1

4--- 1 4---[

, – 0

ϕ' ] 1

4--- 1 4---[

, – ϕ'( )x

x∈] 1 4--- 1

4---[

,

– x 1

4---

=

x_n n n–1

---C_2nⁿ^–_–²₄ 1 4---

  ⁿ^–¹

=

x_n x_n₊₁

--- 1 1

2n---

> + n≥2

x_n ( )

ln –ln(x_n₊₁) x_n

( )_n_∈_IN

(6)

IV.E.4) La série entière égale à pour

est-elle convergente pour ? est-elle dérivable en ce point ?

••• FIN •••

ϕ'( )x x∈] 1

4--- 1 4---[

,

– x 1

4--- –

= ϕ