MATHÉMATIQUES I
Le but de ce problème est de définir et d’étudier, de différentes manières, la cons- tante d’Euler. Les quatre parties proposées sont, dans une large mesure, indé- pendantes les unes des autres.
Partie I -
Pour tout , on pose :
, , .
I.A - Montrer que : , , .
I.B - Montrer que les suites et sont adjacentes. On notera leur limite commune.
Montrer, de plus, que : .
I.C - En déduire une valeur approchée de à près.
I.D - Posons : , .
Montrer que la série de terme général est convergente et que l’on a : .
I.E - Soit un entier supérieur ou égal à . Pour tout réel non nul , on pose : .
I.E.1) Soit la fonction affine définie sur l’intervalle par :
, .
Calculer : . n≥2
Sn 1
---i
i=1 i=n
∑
= un = Sn–lnn vn = Sn–1–lnn
x∈[0 1[,
∀ x+ln(1–x)≤0 x–ln(1+x)≥0 un
( ) ( )vn γ
n≥2 v, n≤ ≤γ un
∀
γ 10–1 n≥2
∀
wn n
n–1 ---
1
n--- – ln
=
wn
up γ wn
n=p+1 n=+∞
∑
= –
k 2 t
f t( ) 1 ---t
=
g [k 1 k– , ]
g k( –1) = f k( –1) g k( ) = f k( )
g t( )dt
k–1
∫
kFilière TSI
I.E.2) Montrer qu’il existe une et une seule fonction , affine sur chaque
intervalle , telle que :
, , , .
I.E.3) Que peut-on dire de la continuité de ? I.E.4) Calculer :
. I.F - Montrer que :
. I.G - Etablir l’encadrement suivant :
. I.H - En déduire un encadrement de , pour . I.I - Donner une valeur approchée de à près.
Partie II -
II.A - Montrer l’égalité :
. II.B - En déduire que :
. II.C - Démontrer les inégalités suivantes :
h ]-∞ k 1
2--- k 1 2---,+∞[ , –
, –
h k( –1) = f k( –1) h k( ) = f k( ) h′(k–1) = f ′(k–1) h′( )k = f ′( )k h
h t( )dt
k–1
∫
kt∈[k–1 k, ],h t( )≤f t( )≤g t( )
∀
1 2 k( –1) --- 1
2k--- 1
8k2
--- 1
8 k( –1)2
--- k
k–1 ---
ln 1
2 k( –1) --- 1
2k---
≤ ≤ +
–
+ +
un–γ n≥2 γ 10–3
1
---i 1–tn
1–t ---dt
0
∫
1=
i=1 i=n
∑
1 ---i
1 1 x n---
–
n –
---x dx
0
∫
n=
i=1 i=n
∑
un 1 1 x
n---
–
n
–
dx
---x 1 x
n---
–
ndx ---x
1
∫
n–
0
∫
1=
II.C.1) , .
II.C.2) ,
.
II.C.3) ,
.
II.C.4) ,
.
N.B. : on pourra commencer par démontrer que : .
II.C.5) ,
. II.D - Montrer que l’intégrale
converge et que l’on a :
.
Partie III -
On pose : , .
III.A - Montrer que est prolongeable par continuité en et bornée sur . III.B - Montrer que l’intégrale est convergente.
III.C - On pose, pour : . x∈IR
∀ 1+x≤ex
x∈[0 n, ]
∀ 1 x
n---
–
n≤e–x x∈[0 n, ]
∀ 1 x
n---
+
n≤ex x∈[0 n, ]
∀ 1 x2
n2 ---
–
n
1 x2 ---n
≥ –
u∈[0 1, ],(1–u)n–1+nu≥0
∀
x∈[0 n, ]
∀
0 e–x 1 x n---
–
n x
n---
2
e–x
≤
≤ –
e–x ---x dx
1 +∞
∫
γ (1–e–x)dx
---x e–x
---x dx
1 +∞
∫
–
0
∫
1=
x>0
∀ ϕ( )x 1
1–e–x --- 1
---x –
=
ϕ 0 IR+
e–xϕ( )x dx
0 +∞
∫
n≥2 In( )a e–x–e–nx
---x dx
a +∞
∫
=
Montrer que existe, pour tout , et que l’on a :
, .
III.D - Montrer que l’intégrale est convergente et que l’on a : .
III.E - Montrer que :
. III.F - En déduire que :
.
Partie IV -
Soit le sous-espace de formé des polynômes de degré inférieur ou égal à . Soit l’endomorphisme de défini par :
, .
Soit la restriction de à , considérée comme endomorphisme de .
IV.A - Déterminer , , , .
IV.B - Soit . Montrer qu’il existe un et un seul polynôme de tel que :
, .
IV.C - Soit, pour , .
IV.C.1) Calculer . IV.C.2) En déduire l’égalité :
, .
IV.D - Déterminer les polynômes , pour . IV.E - Montrer que :
, .
In( )a a>0 a>0
∀ In( )a e–x
---x x n 1–e–x
---x dx
a
∫
na– ln d =
a
∫
na=
e–x–e–nx ---x dx
0
∫
+∞e–x–e–nx
---x dx= lnn
0
∫
+∞vn (e–x–e–nx)ϕ( )x dx
0 +∞
∫
=
γ e–xϕ( )x dx
0
∫
+∞=
IRn[ ]X IR X[ ]
n φ IR X[ ]
P∈IR X[ ]
∀ φ( )P ( )X = P X( +1)–P X( )
φn φ IRn[ ]X
IRn[ ]X
Ker φ Ker φn Im φn Im φ
p∈IN Pp IR X[ ]
φ(Pp)( )X =Xp Pp( )0 = 0
p≥1 Qp( )X = P′p( )X –P′p( )0 φ(Qp)
Qp( )X = p P⋅ p 1– ( )X ∀p≥1
Pp 0≤ ≤p 5 x∈[0 1, ]
∀ 1
128---
– ≤P5( )x ≤0
IV.F - Pour , , on pose : .
IV.F.1) Déterminer une relation de récurrence entre et . IV.F.2) Calculer .
IV.F.3) Donner une expression de en fonction de . IV.F.4) Etablir les inégalités suivantes :
.
IV.F.5) A l’aide de la question I.D, en déduire un encadrement de . IV.F.6) Donner les dix premières décimales de .
••• FIN •••
k p∈IN∗
Ip( )k pPp–1( )t t+k ( )p+1 ---dt
0
∫
1=
Ip( )k Ip+1( )k I1( )k
I6( )k I1( )k
1 128--- 1
k6
--- 1
1+k ( )6 ---
–
≤I6( )k ≤0 –
un–γ γ
