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Problème 1
1. Il est clair par dénition que fn est strictement croissante dans [0,+∞[. Comme de plus fn(0) = −1 et fn(1) = n−1, le théorème de la valeur intermédiaire entraîne l'existence et l'unicité dean tel quef(an) = 0. On peut précisera1= 1et an∈]0,1[
pourn >0.
2. On remarque quefn+1(x) =fn(x) +xn+1 pour tout réelx. En particulier fn+1(an) =an+1n >0
Ce qui, avec la stricte croissance def et le théorème de la valeur intermédiaire entraîne an+1< an. La suite(an)n∈N∗ est décroissante et minorée par 0. Elle converge vers un élément de[0, a2].
3. On a déja démontré en 1. quea2∈]0,1[. À cause de la décroissance, on en déduit 0< an< a2⇒0< an+1n < an+12 .
Ceci entraîne, par le théorème d'encadrement, la convergence de(an+1n )n∈N∗ vers 0.
En utilisant l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique, il vient fn(an) = 1−an+1n
1−an
−2 = 0⇒1−an+1n = 2−2an⇒an= 1
2(1 +an+1n ).
On en déduit la convergence de(an)n∈N∗ vers 12. 4. Comme
fn(x) = 1−xn+1 1−x −2 Lorsque0< x <1,(fn(x))n∈N∗ converge vers
1
1−x−2 = 2x−1 1−x
>0 six > 1 2
<0 six < 1 2 .
Considérons unεquelconque dans
0,12 tel que 1
2+ε∈ 1
2,1
et 1
2−ε∈
0,1 2
.
Comme(fn(12+ε))n∈N∗converge vers un nombre strictement positif et(fn(12−ε))n∈N∗ vers un nombre strictement négatif, il existe un entiern0tel que,
∀n > n0:fn(1
2−ε)<0< fn(1
2 +ε)⇒ ∀n > n0: 1
2 −ε < an <1 2 +ε
Ce qui est exactement la dénition de la convergence vers 12. 5. On a déjà remarqué que
2an−1 =an+1n Utilisons l'indication de l'énoncé :
(2an)n+1=e(n+1) ln(2an)
avec
(n+ 1) ln(2an)∼(n+ 1)(2an−1)∼(n+ 1)an+1n De plus,
0<(n+ 1)an+1n <(n+ 1)an+12
aveca2<1 assure que(n+ 1)an+1n →0 et donc que(2an)n+1→1. On en déduitan+1n ∼ 2n+11 et nalement, commean−12 =12an+1n :
an−1 2 ∼ 1
2n+2.
Problème 2 (facultatif) Partie I
1. a. Sig est strictement croissante,E =]a, b[.
b. Sia=−1,b= 1etg(t) = 1−t2 alorsE=]−1,0[. c. Sia= 0, b= 2πet g(t) =sin(t), alorsE=]0,π2[∪]π,2π[.
d. On calcule la dérivée :g0(x) = 2x(−2x2+1). On en déduit les variations et l'allure du graphe (gure1) de la fonction dénie parg(t) =−t4+t2. On en tire
Fig. 1: Question I.1.d.
E=
−1,− 1
√2
∪
− 1
√2, 1
√2
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2. En choisissant les points où la dérivée change de signe on choisit les extrema locaux.
Prenons par exemple la fonction dont la dérivée est t→(t−0.7)(t−1.5) dans l'intervalle[0,2](graphe en gure2).
Fig. 2: question I.2E contient un maximum local.
Pour une telle fonction,E= ]0,2[et contient le maximum local en0.7car ce n'est pas le maximum global de la fonction.
3. Une fonction strictement décroissante dans]a, b]ne l'est pas forcément dans [a, b]car la valeur de f(a) peut être quelconque. Si on suppose en plus la continuité en a, la valeur de f(a) est alors la limite à droite en a soit sup]a,b]f. La fonction f est alors décroissante dans[a, b].
Cette décroissance est stricte car, sif(a) =f(c)pour uncde]a, b], la fonctionf serait alors constante sur]a, c].
4. a. L'ensembleE est vide si et seulement si
∀x∈]a, b[,∀y∈]x, b] :g(x)≤g(y)
Ceci traduit exactement la décroissance deg dans]a, b]. Commeg est continue dans[a, b], c'est équivalent à la décroissance deg dans[a, b].
b. La fonction continueg atteint sa borne supérieureM sur le segment [a, b]en un pointxmax. Il est clair quexmax∈/ E doncxmax∈ {a, b} etM ∈ {g(a), g(b)}. Les deux cas possibles sontg(a)< g(b) =M etg(a) =g(b) =M.
Ils sont illustrés par les graphes des fonctions1+(t−0.4)2(gure3) et1−(t−0.5)2 (gure4 ) sur[0,1].
La réciproque n'est pas vraie. Une relationM =g(a)oug(b)n'empêche pas que le maximum puisse être atteint en un autre point à l'intérieur du segment. Dans ce casEne sera pas]a, b[. On peut choisir par exemple la fonctioncossur[0,4π].
Fig. 3: Cas 2.g(a)< M =g(b)
Fig. 4: Cas 1.M =g(a) =g(b)
Partie II
1. Quandxaugmente, l'intervalle[x, b]se réduit. La fonctionΨest donc décroissante.
Pour étudier la continuité deΨ, deux méthodes sont possibles.
La première consiste en une étude locale autour d'un pointxde[a, b[.
Remarquons d'abord que la fonction continueg atteint sa borne supérieure sur[x, b]. Il existe doncm∈[x, b]tel que Ψ(x) =g(m). Distinguons deux cas.
Cas 1. Ψ(x) =g(m)> g(x).
Alorsm∈]x, b]et par continuité enx, il existeα >0tel que
∀t∈[x−α, x] :g(t)< g(m)
On en déduit queΨ(y) = Ψ(x) lorsque y ∈ [x−α, m]. Ainsi, la fonction Ψest non seulement continue mais constante au voisinage dex.
Cas 2. Ψ(x) =g(m) =g(x).
Par continuité deg enx, pour toutε >0, il existe unα >0 tel que
∀t∈[x−α, x+α] : Ψ(x)−ε≤g(t)≤Ψ(x) +ε On va alors chercher à encadrerΨ(y)poury∈[x−α, x+α]. Utilisons d'abord décroissance deΨ:
∀y∈[x−α, x+α] : Ψ(x+α)≤Ψ(y)≤Ψ(x−α)
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Fig. 5: Cas oùg(a) =M =g(B)et E n'est pas]a, b[. D'un côté :
∀t∈[x−α, x] : g(t)≤Ψ(x) +ε
∀t∈[x, b] : g(t)≤Ψ(x)
ce qui entraîneΨ(x−α)≤Ψ(x) +ε. De l'autre
Ψ(x)−ε≤g(x+α)≤Ψ(x+α) ce qui entraîneΨ(x)−ε≤Ψ(x+α).
Finalement on a donc
∀y∈[x−α, x+α] : Ψ(x)−ε≤Ψ(x+α)≤Ψ(y)≤Ψ(x−α)≤Ψ(x) +ε ce qui assure la continuité deΨenx.
Une deuxième méthode possible consiste à utiliser un résultat de cours sur les fonctions monotones. Si f est une fonction monotone dénie sur un intervalle I et si f(I) est un intervalle, alors f est continue dans I. Ce résultat repose sur l'étude des limites des fonctions monotones. Il sert en particulier à prouver la continuité de la bijection réciproque d'une fonction bijective, monotone et continue sur un intervalle.
Il faudrait alors montrer que l'image parψde l'intervalle[a, b]est un intervalle.
La fonctiong est continue sur un segment donc bornée. Notons M =g(xm) = max
[a,b]
g
Il est clair queΨest à valeurs dans [M, g(b)]. On doit montrer que, pour touty dans [M, g(b)], il existe unx∈[a, b]tel queΨ(x) =y. Cette méthode ne sera pas développée davantage.
2. a. Un élémentxde]a, b[est dansE si et seulement sig(x)<Ψ(x). b. Six∈E, on sait que
Ψ(x)−g(x) 2 >0
En prenant cette quantité commeεet en écrivant la dénition des continuités de get de Ψenx, on obtient facilement l'inclusion demandée.
3. a. NotonsMx la partie deRdont s(x)est la borne inférieure : Mx={ξ∈]x, b] tqg(x)< g(ξ)}.
C'est une partie non vide (carx∈E) de]x, b], sa borne inférieures(x)est donc un élément de[x, b].
Il est impossible ques(x) =b. En eet on aurait alorsMx={b}doncg(x)< g(b). Dans ce cas, la continuité degenb entraîneraitg(x)< g(y)poury assez proche deb. Ceci serait en contradiction avecMx={b}.
On doit donc avoirs(x)∈[x, b[.
Si y ∈[x, s(x)[, par dénition d'une borne inférieure, y n'est pas un élément de Mx doncg(y)≤g(x).
b. Commeg est continue en s(x), la limite deg(y)quand y →s(x)dans [x, s(x)[
estg(s(x)). Par passage à la limite dans une inégalité : g(s(x))≤g(x)
Lorsquenest assez petit pour ques(x) +n1 < b, le nombres(x) +n1 n'est pas un minorant deMx, il existe doncξn∈Mxtel que
s(x)≤ξn< s(x) + 1 n
La suite des ξn converge vers s(x) en vériant g(x) < g(ξn). Par passage à la limite :
g(x)≤g(s(x)) et nalement
g(x) =g(s(x))
Pour touty∈[x, s(x)[,y n'est pas un élément deMx, donc g(y)≤g(x)
De plus pour tous lesξ∈Mx:
g(x)< g(ξ) On a donc prouvé l'existence d'unξtel que :
y < s(x)≤ξ≤b, g(y)≤g(x)< g(ξ).
Ce qui assure quey est un élément deE.
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