Partie I - ∑ MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

Préliminaire

On rappelle qu’une fonction de dans est bornée par un réel si la fonction est majorée par :

.

1) Soit un entier supérieur ou égal à . En calculant de deux façons différen- tes le développement limité à l’ordre à l’origine de la fonction mon- trer que :

2) Prouver que si est une suite croissante de réels strictement positifs et , des entiers tels que , on a :

.

Partie I -

I.A - Soit une fonction de classe et de classe par morceaux de dans telle que et soient bornées sur respectivement par et . I.A.1) En écrivant, pour , l’inégalité de Taylor-Lagrange entre et et entre et , montrer que :

.

I.A.2) En déduire que est bornée par . I.B -

I.B.1) Montrer de même que, si est de classe et de classe par mor- ceaux de dans , telle que et soient bornées sur respectivement par et , on a :

.

I.B.2) est-elle également bornée sur ?

ϕ IR IR K>0

ϕ K

x∈IR,ϕ( )x

∀ ≤K

m 1

m (e^x–1)^m

–1

( )^m–kC_m^kk^j

k=1

∑



=  u_k

( ) k

n 1≤ ≤k n

u₁u₂…u_k

( )ⁿ≤(u₁u₂…u_n)^k

f C¹ C² IR

IR f f″ IR M₀ M₂

h>0 x x+h

x x–h

∀x∈IR, f′( )x M₀ ---h M₂h

---2

≤ +

f′ 2 M₀M₂

f C² C³

IR IR f f^{( )3} IR

M₀ M₃

∀x∈IR, f′( )x 1

2---(9 M₀²M₃)^{1 3⁄}

≤

f″ IR

Filière PC

Dans toute la suite du problème, est un entier naturel supérieur ou égal à .

Partie II -

Soit une fonction, non constante, de classe et de classe par morceaux de dans telle que et soient bornées sur respectivement par et .

II.A - En utilisant la question 1) du préliminaire ainsi que l’inégalité de Taylor- Lagrange à l’ordre appliquée à la fonction entre les valeurs et pour

, montrer que la fonction est, elle aussi, bornée sur . II.B - En déduire que toutes les dérivées sont bornées pour . On note alors

II.C -

II.C.1) Montrer que pour tout entier tel que , on a .

II.C.2) En utilisant la suite finie avec , en déduire que pour tout entier entre et , on a :

.

Est-ce la meilleure majoration possible ?

Partie III -

(respectivement ) désigne l’espace des fonctions continues par morceaux (respectivement continues) de dans telles que pour tout réel . On admettra —c’est évident— que ce sont des sous-espaces vectoriels réels de l’espace de toutes les fonctions bornées de dans que l’on munit de la norme de la convergence uniforme, notée ici et définie par

.

n 2

f C^n–1 Cⁿ

IR IR f f^{( )n} IR M₀

M_n

n f x x+h

h = 1 2, , ,… n–1 f^(n–1) IR

f^{( )k} 0≤ ≤k n

M_k sup

x∈IR f^{( )k}( )x .

=

k 0≤ ≤k n M_k>0 u_k

( )_{1≤ ≤k n} u_k 2^k–1 M_k M_k–1 ---

=

k 0 n

M_k 2

k n( –k) ---2

M₀^{1–k n⁄} M_n^{k n⁄}

≤

E F

IR IR f x( +1)+f x( ) = 0 x

IR IR

N N f( ) = sup f x( )

x∈IR

III.A - Démontrer que pour toute fonction dans , il existe unique dans telle que, en tout point où est continue, on a . On note alors

ou et l’on définit ainsi une application de dans . III.B - On considère la fonction de telle que :

.

On pose et si , , puis pour .

III.B.1) Déterminer et représenter graphiquement sur le segement les fonctions pour . Dans toute la suite , on notera . III.B.2) Montrer que pour tout et tout ,

et .

III.B.3) Montrer que, pour ,

et .

III.C -

III.C.1) Soit . Montrer que : .

III.C.2) En déduire que, pour tout , on a . III.D - Déterminer les fonctions de norme de telles que :

.

III.E - Montrer qu’il n’existe pas de fonction de norme dans telle que :

.

III.F - Soit maintenant un entier naturel non nul et une fonction de classe et de classe par morceaux de dans telle que pour tout réel .

III.F.1)

a) Montrer que si a zéros distincts sur , alors a au moins zéros distincts sur .

b) Montrer que si et ont exactement zéros distincts sur ,alors elles n’ont aucun zéro commun.

III.F.2) Pour tout réel tel que et tout réel , on définit la fonction

: .

f E g F

x f g′( )x = f x( )

g = T f( ) g = Tf T E E

ϕ₀ E

ϕ₀( )0 = 0, ϕ₀( )x = 1 si x∈] 0 1; [

T¹ = T k∈IN^* T^k=ToT^k–1 k≥1 ,ϕ_k = T^k(ϕ₀) 0 2; [ ]

ϕ_k k = 0 1 2 3 4, , , , λ_k = N(ϕ_k)

k∈IN x∈IR ϕ_k(–x) = ( )–1^k+1ϕ_k( )x ϕ_k(1–x) = ( )–1 ^kϕ_k( )x

k≥1

λ_2k = ( )–1 ^kϕ_2k(1 2⁄ ) λ_2k–1 = ( )–1 ^kϕ_2k–1( )0

f∈E

∀x∈IR 2T f x, ( ) f t( )dt

0

∫

∫

=

f ∈E 2 N Tf( )≤N f( )

f 1 E

N Tf( ) 1 2---

=

f 1 F

N Tf( ) 1 2---

=

p f

C^n–1 Cⁿ IR IR f x( +2 p) = f x( )

x

f q [0 2; p[ f′ q

0 2; p[

[

f f′ q [0 2; p[

ν 0< <ν 1 ρ

l xaϕ_n( )x –νf x( +ρ)

a) On suppose que . Montrer que s’annule au plus fois sur .

b) On suppose que . Montrer que s’annule au moins fois sur .

c) En déduire que, si et , les pour ont

exactement zéros sur l’intervalle . III.F.3) On suppose non constante.

a) Montrer que l’on peut trouver et dans tels que : .

On pose alors .

b) Ici on suppose . Vérifier que . c) En déduire que :

.

d) Montrer que cette dernière implication est encore vraie pour .

III.G - Montrer qu’il existe une fonction de classe de dans valant sur le segment et en dehors du segment (on pourra utili- ser la fonction sur le segment ).

III.H - Soit maintenant une fonction de classe et de classe par mor- ceaux de dans telle que et soient bornées sur et pour laquelle :

et .

Soit un réel de l’intervalle . Pour tout entier naturel non nul, on note la fonction de période telle que :

pour .

III.H.1) Montrer que est continue par morceaux sur et que l’on a, pour assez grand,

et .

III.H.2) En déduire que l’on a encore .

III.I - Soit une fonction de classe et de classe par morceaux de dans telle que et soient bornées sur . Montrer que, pour tout entier

compris entre et , est bornée et que l’on a : . (On pourra utiliser une fonction du type ).

N f( ^{( )n})≤1 l^(n–1) 2 p 0 2; p[

[

N f( )≤λ_n l 2 p

0 2; p[

[

N f( )≤λ_n N f( ^{( )n})≤1 l^{( )k} k = 1 2, , ,… n–1

2 p [0 2; p[

f

α β [0 2; p[

f′ α( ) = N f( ),′ ϕ′_n( )β λ_n–1 N f′( ) ---f′ α( )

=

h x( ) = ϕ_n( )x –λ_n–1f x( +α β– )⁄N f( )′ n≥3 h′ β( ) = h″ β( ) = 0

(

)

(

)

n = 2

ω Cⁿ IR [0 1; ]

1 [–1 2⁄ ;1 2⁄ ] 0 [– 11; ]

x sinⁿ( )t dt

0

∫

a [0;π]

f C^n–1 Cⁿ

IR IR f f^{( )n} IR

N f( )≤λ_n N f( ^{( )n})≤1

α [0 1[; p

f_p 2 p

f_p( ) αx = f x( )ω(x p⁄ ) x ≤p

f^{( )}_pⁿ IR

p

N f( _p)≤λ_n N f( ^{( )}_pⁿ)≤1

N f( )′ ≤λ_n–1

f C^n–1 Cⁿ IR

IR f f^{( )n} IR

k 0 n f^{( )k}

N f( ^{( )k} )≤N f( )^{1–k n⁄} N f( ^{( )n})^{k n⁄} λ_n–k⁄λ_n^{1–k n⁄} xaa f bx( )

Partie IV -

IV.A - On définit, pour entier supérieur ou égal à , la fonction de , affine sur , et et vérifiant :

.

En utilisant le III.C, montrer que, pour tout entier naturel , on a : .

IV.B - En déduire que l’inégalité du III.I ne peut être améliorée.

••• FIN •••

p 2 ψ_p F

01 ----p

; 1

----p1 1 ----p –

; 1 1

----p;1 – ψ_p( )0 =ψ_p( )1 =0 ψ_p 1

----p

( ) ψ_p1 1

----p –

( ) 1

= =

,

n N T( ⁿ(ψ_p))=λ_n

plim→+∞