Partie I - ∫ MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2005 1/4

MATHÉMATIQUES I Filière PSI

Dans tout le problème on identifie les polynômes et les fonctions polynômes cor- respondantes.

Soit l’espace vectoriel des fonctions de classe de dans , le sous- espace vectoriel des fonctions polynômes et le sous-espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à .

On pose

.

On ne cherchera pas à calculer .

Partie I -

I.A - Déterminer le développement en série entière de de la fonction .

I.B - On considère l’équation différentielle :

(E) .

I.B.1) Donner la solution générale de l’équation (E).

On désigne par la solution de (E) vérifiant la condition initiale . I.B.2) Donner l’expression de . Montrer que s’annule pour une seule valeur réelle de notée .

I.B.3) On se propose de calculer une valeur approchée de par la méthode de Newton.

a) Déterminer préalablement un intervalle de longueur contenant . Rappeler le principe de la méthode de Newton et expliquer comment on peut l’appliquer à partir de l’intervalle .

b) Écrire un algorithme, mettant en œuvre la méthode de Newton, permettant de déterminer une valeur approchée de à près. On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé.

c) Déterminer par l’algorithme mis en place une valeur approchée de à près.

E C^∞ IR IR IR X[ ]

IR_n[ ]X n

I_p( )x e^–t

2⁄2t^pdt

0

∫

=

I₀

x xa(1+x²) e^x2

y′ xy– = (1+x²) e^x2⁄2

f f 0( ) = 1

f f x( )

x , α

α α₁,α₂

[ ] 0 1,

α

α₁,α₂

[ ]

α 10^–6

α 10^–6

Concours Centrale-Supélec 2005 2/4

Filière PSI

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Partie II -

II.A -

II.A.1) Calculer .

II.A.2) Trouver une relation entre et , pour . II.B -

II.B.1) Montrer que pour tout entier naturel il existe une constante et un polynôme tels que :

, . II.B.2) Déterminer et .

II.C -

II.C.1) Montrer que pour tout entier naturel il existe une constante et un polynôme tels que :

, . II.C.2) Déterminer et le degré de . II.D -

II.D.1) Si le degré de est égal à que peut-on dire du degré du polynôme : ?

II.D.2) Montrer qu’il n’existe pas de polynôme tel que soit une constante.

Partie III -

Soit l’application de dans définie par : , .

III.A -

III.A.1) Montrer que est une application linéaire sur . I₁

I_p I_p–2 p≥2

k, λ_k

A_k x∈IR

∀ I_2k+1( )x λk e ^x

– 2⁄2A_k( )x +

= λ_k A_k

k, μk

B_k x∈IR

∀ I_2k( )x μ_kI₀( )x e ^x

– 2⁄2B_k( )x +

=

μk B_k

P n ,

1+P′ X( )–xP X( )

P I₀( )x P x( ) e^–x

2⁄2

+

φ E E

x∈IR

∀ φ f( ) x( ) = f′ x( )–x f x( )

φ E

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III.A.2) Déterminer le noyau de .

III.A.3) L’application est-elle injective ? surjective ?

III.A.4) Expliciter à l’aide d’une constante et de .

III.B -

III.B.1) Quelle est l’image de par ?

III.B.2) Résoudre l’équation différentielle : .

III.C - On pose par convention et, plus généralement, on définit, pour tout entier, par :

. III.C.1) Résoudre . III.C.2) Résoudre .

Partie IV -

Soit l’application linéaire de dans lui-même définie par : , .

IV.A - est-elle injective ? surjective ? IV.B -

IV.B.1) Montrer que pour tout entier naturel, . IV.B.2) En déduire que tout polynôme impair appartient à . IV.C - Pour tout entier strictement positif, on définit le polynôme :

.

IV.C.1) Déterminer un polynôme tel que .

On désigne par le sous-espace vectoriel de engendré par la famille .

IV.C.2) Montrer que pour tout entier naturel non nul le polynôme est élément de .

On pourra remarquer que : .

φ φ

φ^–1( )g =

{

}

2⁄2g t( ) td

0

∫

f φ φo

y″ 2xy′– +(x²–1) y = 0 φ¹ = φ

n n≥2 , φⁿ φⁿ = φ^n–1oφ = φ φo ^n–1

φ²( )f = 0 φⁿ( )f = 0

φ0 IR X[ ]

P∈IR X[ ]

∀ φ₀( )P = φ P( ) φ₀

n X²ⁿ⁺¹∈φ₀(IR X[ ]) φ₀(IR X[ ])

q , Q_q

Q_q( )X = X^2q–(2q–1) X^2q–2

P Q_q = φ₀( )P

P

{

}

q , X^2q–μq

P

Q_k( )X μ_k

--- X^2k μ_k

--- X^2k–2 μ_k–1 --- –

=

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IV.C.3) Montrer que les sous-espaces vectoriels et sont en somme directe.

IV.C.4) Montrer que .

Partie V -

On considère l’équation différentielle :

et on définit la fonction par : .

V.A - Donner la solution générale de l’équation (l’expression de cette solu- tion utilise la fonction ).

V.B - Déterminer une fonction impaire, développable en série entière et solu- tion de l’équation . Quel est le rayon de convergence de son développement en série entière ?

V.C - À l’aide des questions précédentes calculer : .

••• FIN •••

Vect X X( , ³, ,… X²ⁿ⁺¹,…)

P

Im(φ₀) = Vect X X( , ³, ,… X²ⁿ⁺¹,…)⊕

P

( ) y′ xy1 – = (1+x²) e^x2 H : IR→IR H x( ) (1+t²)e^t2⁄2dt

0

∫

=

( )1 H

g , ( )1

1+t² ( )e^t2⁄2dt

0

∫