MATHÉMATIQUES I
Concours Centrale-Supélec 2002 1/4
MATHÉMATIQUES I Filière PC
La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue : que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues périodiques ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul- tats des parties I et III pour montrer que la fonction n’est dérivable en aucun point de .
On note et et on désigne par l’espace des fonc- tions de dans qui sont continues et périodiques.
Si on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour par , la série de Fourier (formelle) de étant .
Partie I - Définition de la fonction
I.A - On suppose l’espace muni de sa structure euclidienne canonique. On définit : par :
,
où et est la projection orthogonale de sur la droite passant par et si .
I.A.1) On suppose , et l’on pose , , ,
, , où .
Que représentent les points par rapport au triangle ? I.A.2) Montrer que si alors
, .
I.B - Pour on pose et on définit par
récurrence pour la suite par
.
I.B.1) Soit , . Montrer que, si l’on a , alors et .
x ]0, π [ → IR
2 π – x
]0, π [
IN∗ = IN \ 0 { } ZZ∗ = ZZ \ 0 { } C
2πIR C I 2 π –
f ∈ C
2πn ∈ ZZ
f ˆ ( ) n 1 2 π
--- f t ( )
π –
∫
π= e
–intdt f f ˆ ( ) n
n
∑
∈ZZe
intx IR
2T IR
3→ IR
3T x x ( , , 0 ) = ( x x , , 0 )
T x y z ( , , ) = ( x' , , y' z' ) x' = y ( y' , z' ) y , – z
( ) ( x , 0 ) ( y z , ) ( x y z , , ) ≠ ( x x , , 0 )
x ≠ y z ≠ 0 A = ( x , 0 ) B = ( y z , ) C = ( y , – z ) A ′ = ( x' , 0 ) B ′ = ( y' , – z ' ) C ′ = ( y' , z' ) ( x' , , y' z' ) = T x y z ( , , )
A ′ , B ′ , C ′ ABC
x y z , ,
( ) ≠ ( x x , , 0 ) y' – x' 2z
2( y – x )
y – x ( )
2+ z
2--- –
= z' z ( y – x )
2– z
2y – x ( )
2+ z
2---
=
t ∈ ∈ ∈ ∈ ]0, ππππ [ X
0( ) t = ( 0 1 ,,,, ,,,, cotan t )
n ∈ ∈ ∈ ∈ IN X
n( ) t = ( x
n( ) t ,,,, y
n( ) t ,,,, z
n( ) t ) X
n+1( ) t = T X (
n( ) t )
n ∈ IN t ∈ ]0, π [ z
n( ) t = 0 z
n+1( ) t = 0
y
n+1( ) t – x
n+1( ) t = 0
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Filière PC
MATHÉMATIQUES I Filière PC
Soit ; on suppose que est tel que si . a) Montrer que, pour ces valeurs de ,
.
b) On suppose de plus à présent que . Montrer que :
et que .
I.B.2) Montrer que
, , .
I.B.3) En déduire :
, , .
I.B.4) On pose pour . Montrer que la suite
converge simplement vers une fonction continue sur . En déduire que la suite converge simplement vers une fonction continue sur .
I.B.5) Montrer que la fonction se prolonge en une fonction paire (que l’on appellera encore ) de dont on déterminera la série de Fourier.
I.B.6) Calculer pour , et étudier la limite simple de cette suite de fonctions sur .
Partie II - Étude de quelques propriétés de la fonction II.A - Calculer , , ; montrer que , . II.B -
II.B.1) On pose pour , , .
N ∈ IN∗ t ∈ ]0, π [ z
n( ) t ≠ 0 0 ≤ ≤ n N – 1 n
y
n( ) t – x
n( ) t z
n( ) t
--- = tan ( 2
nt )
z
N( ) t = 0 y
N–1( ) t – x
N–1( ) t
z
N–1( ) t ---
2= 1 cos ( 2
Nt ) = 0
n ≥ 0
∀ ∀ t ∈ ]0, π [ y
n+1( ) t – x
n+1( ) t = – 2cos
2( 2
nt ) ( y
n( ) t – x
n( ) t )
n ≥ 0
∀ ∀ t ∈ ]0, π [ x
n+1( ) t – x
n( ) t ( ) – 1
nsin
2( 2
nt ) 2
nsin
2( ) t ---
=
n ≥ 0 u
n( ) t = sin
2( )x t
n( ) t ( ) u
nu ]0, π [
x
n( ) x ]0, π [
u u C
2πz
n( ) t n ≥ 0 t ∈ ]0, π [ ]0, π [
x x ( π ⁄ 4 ) x ( π ⁄ 3 ) x ( π ⁄ 2 ) x ( π – t ) = x t ( ) t ∈ [ 0 , π [
n ≥ 1 t ∈ ]0, π [ ϕ
n( ) t ( ) – 1
k2
ksin
2t
2
k---
k=1
∑
n=
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Montrer que, pour ,
, .
II.B.2) Montrer que la suite converge simplement sur vers une fonc- tion de classe .
II.C -
II.C.1) Montrer que les suites
, sont convergentes :
déterminer leurs limites puis une valeur approchée de celles-ci à près.
II.C.2) Montrer que , et qu’il existe une
suite de nombres convergeant vers telle que .
Partie III - Séries de Fourier lacunaires
Soit . On pose et .
III.A -
III.A.1) Montrer que : , , .
III.A.2) Montrer que :
et en déduire l’existence d’une constante telle que , . Dans toute la suite de la Partie III, est une suite de nombres complexes telle que .
III.B -
III.B.1) Pour , on pose .
Montrer que la série converge simplement sur vers une fonction dont on déterminera la série de Fourier.
n ≥ 1 t ∈ ]0, π [
∀ 2
nu t
2
n---
= ( ) – 1
n( u t ( ) ϕ +
n( ) t ) ϕ
n( ) ]0, π [
ϕ C
1α
n2
–2nx π 2
2n+2---
= β
n2
–(2n+1)x π 2
2n+3---
=
10
–3x π
2
2n---
n
lim
→∞= – ∞ x π 2
2n+1---
n
lim
→∞= + ∞
t
n∈ ]0,π[ 0 x t ( )
n= 0
N ∈ IN D
N( ) t e
iktk=–N
∑
N= I
N1
2 π
--- D
N( ) t
4d t
π –
∫
π=
t ∈ ] – π
∀ π \ 0 [ { } D
N( ) t
N 1 2 ---
+
t
sin t 2 ---
sin ---
=
I
N8 π ---
sin
4N 1 2 ---
+
t
t
4--- d t
π –
∫
π≥
C > 0 ∀ N ≥ 0 I
N≥ C N
3a = ( a
n)
n≥≥≥≥0a
nn
∑
≥≥≥≥0<<<< +∞ ∞ ∞ ∞
n ≥ 0 t ∈ IR v
n( ) t = 2a
ncos 2
nt v
nn
∑
≥0IR
v ∈ C
2πMATHÉMATIQUES I Filière PC
Concours Centrale-Supélec 2002 4/4
Désormais désigne cette fonction (associée à la suite ) et un réel tel que est dérivable en (on suppose l’existence d’un tel ).
Si , on définit .
III.B.2) Montrer que et que est dérivable en . Calculer et .
III.B.3) Calculer à l’aide de la suite et montrer que si .
III.C - On suppose désormais . Soit et . III.C.1) Montrer que pour tout nombre entier tel que , il existe
tel que :
et , .
III.C.2) Calculer
à l’aide de la suite .
III.D - On pose si , si ou
(noter que la fonction ne dépend pas de ).
III.D.1) Montrer que est bornée sur . Étudier sa limite en . III.D.2) Montrer qu’il existe telle que
.
III.D.3) Étudier la limite de la suite .
Partie IV -
Utiliser les résultats des parties I et III pour montrer que la fonction définie en Partie I n’est dérivable en aucun point de .
••• FIN •••
v a t
0v t
0t
0n
0∈ IN∗ H
n0
( ) t e
i2n0
– (t+t0)
v t ( + t
0) – v t ( )
0cos t – v ′ ( ) t
0sin t
[ ]
= H
n0
∈ C
2πH
n0
0 H
n0
( ) 0 H′
n0
( ) 0
H ˆ
n0
( ) 0 a H ˆ
n0
( ) k = 0 k ∈ ZZ∗ ∩ [ – 2
n0–1+ 1 2 ,
n0– 1 ]
n
0≥ 6 N = 2
n0–4g
N( ) t = I
N–1D
N( ) t
4j – 4N ≤ ≤ j 4N α
jα
0= 1 ∀ t ∈ IR g
N( ) t α
je
ijtj=–4N 4N
∑
=
H
n0
( ) t g
N( ) t d t
π –
∫
πa
K t ( ) H
n0
( ) t --- t
= t ∈ [ – π , π ] \ 0 { } K t ( ) = 0 t = 0 t > π
K n
0K IR 0
C ′ > 0 2
n0a
n0
C ′ K t
N 1 2 --- + ---
sin
4t t
3--- d t
∞ –
