Épreuve orale de Mathématiques II - Filière PC

Épreuve orale 2009 Mathématiques II - Filière PC

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Épreuve orale de Mathématiques II - Filière PC

Exemples d’exercices proposés lors de la session 2009

Énoncé 1

Pour A de Mn^ hR , on considère l’application { définie sur Mn^ hR par M A M M A {_{^ h}= - . 1. Dans cette question on prend

A 0 4 3 5

1 3

2 4 5 5

0 0 0 2

2 3

2

= 3

- - -

-

- J

L KK KK

N P OO OO a) Donner les éléments propres de A.

On note P une matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.

b) On note ^Ei j,h^i j,h!" ,1 4, ² la base canonique de M4^ hR . i. Calculer les matrices Fi j, P E Pi j,

= ^-1 pour _{^ h}i j, de _{" ,}1 4, ². ii. Calculer les images des ^Fi j,h^i j,h!" ,1 4, ² par {.

Que peut-on en conclure ?

c) Retrouver ce résultat dans le cas général d’une matrice A de Mn^ hR diagonalisable.

2. Dans cette question on prend

A 3

1 7 4 1 2

10 4 4 5

1 2 1

2 8 2 2 4

= -

- - -

- - - J

L KK KK

N

P OO OO Est elle diagonalisable ?

Vérifier que A⁴=0.

Déterminer le plus petit des entiers naturels k tel que {^k soit l’endomorphisme nul.

Énoncé 2

Pour A de Mn^ hR et B de Rⁿ, on étudie le système linéaire A X=B, d’inconnue X dans Rⁿ.

Lorsque la diagonale de A ne contient pas de termes nuls, pour U de Rⁿ, on définit par récurrence une suite de vecteurs de Rⁿ, Y_{m m!N}

^ h avec Ym yim i n

=_^ ^{^ h}_h1_{G G} par Y0=U et, pour tout _^m i, _h de N#_{" ,}1,n ,

y a1 b a y

,

, ,

1 im

i i

i i i j jm

j j i

n

1 = -

! +

e =

^ ^

h / ho

1. Montrer que si la suite ^ hYm m!N est convergente, la limite est une solution de A X=B. 2. Calculer les vingt premiers termes d’une telle suite lorsque

A 1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

= -

- R

T SS SSS

V

X WW WWW

, B 1 2 1 2

= R

T SS SSS

V

X WW WWW

et U 1 1 2 1

= R

T SS SSS

V

X WW WWW ,

puis recommencer avec un U de votre choix et une matrice A telle que pour tout i de 1,n : a, a, 1

i i i j

j j i

2 n

!

=

" , / .

(On pourra observer que Xl=U_{^ h}X où U_^X_h=D^-1_^B-_^A-D X_{h h}, D étant la matrice diagonale diag a^ 1 1,,…,an n,h et pro- grammer une fonction J qui prend en arguments une matrice carrée A, deux vecteurs B et X (de tailles adaptées) et retourne le vecteur Xl=J A B X_^ , , _h défini par la récurrence ci-dessus - c’est-à-dire Ym+1=J A B Y^ , , mh -)

3. Quelle condition peut-on imposer sur A pour que la suite _{^ h}Y_{m m!N} converge quelle que soit U ? A

Mathématiques II - Filière PC Épreuve orale 2009

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Énoncé 3

Pour f et g fonctions continues sur ₆-1 1, _@ et à valeurs réelles, on note ,

f g f t g t dt

1

1 2= 1

$- ^{^ h ^ h}

et on admet que celà définit un produit scalaire sur C⁰_^6-1 1, ,_@R_h. On note L x0_{^ h}=1 et pour n$1,

L x dx

d x 1

n n

n

n

= 2-

^ h 6^ h@. 1 . a) Calculer L xn^ h pour n de 1 à 10.

Préciser le degré, la parité et le coefficient dominant de Ln. b) Calculer 1L Ln, m2 pour 0# #n m#5.

On admet que le résultat observé est vrai pour toute la famille ^ hLn n!N.

c) Quelle est la famille de polynômes obtenue par orthonormalisation de la base canonique de R_{6 @}X avec le procédé de Gram-Schmidt pour le produit scalaire ci-dessus ?

2. Tracer les graphes de Ln sur ₆-1 1, _@ pour n de 1 à 5.

Que dire des racines de ces polynômes ? Où sont-elles ? On admet que le résultat observé est vrai pour tout n de N*

3 . a) Soit n un entier au moins égal à 2 et ^ hxi 1G Gi n la famille des racines de Ln rangées dans l’ordre croissant.

On admet qu’il existe un n-uplet ^ ha^{i 1}G G^{i n} de Rⁿ tel que : Q Rn 1 X

6 ! - 6 @, Q t dt iQ xi i

n

1 1

1

a

=

- =

% ^{^ h} / ^{^ h}.

Expliciter ces réels dans le cas n=3.

b) Montrer le résultat admis précédemment et montrer que cette formule reste valable avec tout Q!R2n-16 @X . Énoncé 4

Le plan euclidien orienté usuel est rapporté à un repère orthonormé direct R0=_^O i j, , _h. 1. On considère la fonction { définie sur R par

cos sin

u 2 u u u

5 2 9

{_^ h= + - _^ h+ `3j et l’arc C^f paramétré par

,

cos sin

f t u du u du

t t

0 0

{ {

= $ $

^ h c 6 ^ h@ 6 ^ h@ m, pour t!R a) Donner une représentation à l’écran de C^f sur ₆-15r,15r_@.

b) À l’aide de valeurs approchées, vérifier que f_^-15r_h=f_^15r_h. c) Comparer fl_^-15r_h et fl_^15r_h, puis fm_^-15r_h et fm_^15r_h.

d) Montrer que l’arc C^f est régulier et calculer sa longueur pour t!₆-15r,15r_@. e) Exprimer la courbure c en fonction de t à l’aide des fonctions usuelles.

f) Calculer t dt

2 1

15 15

r c

r r

$- ^{^ h .}

2. Pour _{6 @}a b, 1I, on dit qu’un arc C=_^I f, ,C_h avec f de classe C² sur I et C=f I_{^ h} boucle sur _{6 @}a b, si f a_{^ h}=f b_{^ h}, f al_{^ h}=f bl_{^ h} et fm_^a_h=fm_^b_h.

a) Pour h fonction continue de la variable s sur R, écrire sous forme d’intégrales le paramétrage fh de l’unique arc paramétré Ch d’abscisse curviligne s et de courbure h tel que fh_^0_h=_^0 0, _h, fhl_^0_h=_^1 0, _h.

b) Montrer que pour h continue de période T20 on a : si C^h boucle sur ₆0,nT_@,

alors il existe un m de Z tel que h s ds \ n m 2

1 Q Z

T

0

r$ ^{^ h} = ! ^.

Épreuve orale 2009 Mathématiques II - Filière PC

3 c) On admet la réciproque.

Donner deux a de R tels que la courbe C^h pour h s_{^ h}=a+sin_^s_h ne boucle pas et donner deux a tels qu’elle boucle, par exemple sur ₆0 6r, _@ et sur ₆0 20r, _@.

On donnera pour ces exemples les tracés correspondants.

Énoncé 5

On pose pour tout entier naturel n,

cos

un 1 n n2

r

= _^ + + _h

1 . a) Déterminer un développement asymptotique à deux termes de un.

(on pourra s’intéresser à sin n n 1 n 2 1 r 2+ + -` +

` 8 j jB )

b) En déduire la nature de la série de terme général un.

c) Donner une valeur approchée décimale de la somme S un n 0

=/³₌ (on n’en demande pas la valeur exacte).

2. On construit une nouvelle série en groupant les termes de ^ hun deux par deux en posant, pour tout n de N : vn=u2n+u2n+1. a) Déterminer un équivalent de vn et en déduire la convergence de la série de terme général vn.

b) Donner une valeur approchée décimale de la somme Sl=/n³₌0vn. Que constate-t-on ? Démontrer ce résultat.

3. On construit une nouvelle série en groupant les termes de ^ hun trois par trois en posant pour tout n : wn=u2n+u4n+1+u4n+3. a) Déterminer un équivalent de wn en l’infini et en déduire la convergence de la série de terme général wn.

b) Donner une valeur approchée décimale de S = n³0wk

m / = .

Que constate-t-on ?

c) Déterminer une relation entre uk k

n 0 4 3

=

/ + et wk k n 0

/= en déduire la valeur de S-Sm.

4. On construit une dernière série en groupant les termes de ^ hun trois par trois en posant pour tout n : zn=u2n+1+u4n+u4n+2. a) Déterminer un équivalent de zn et en déduire la convergence de la série de terme général zn.

b) Donner une valeur approchée décimale de la somme S zn n 0

= ³

n / = .

Que constate-t-on ?