Épreuve orale 2009 Mathématiques II - Filière MP
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Épreuve orale de Mathématiques II - Filière MP
Exemples d’exercices proposés lors de la session 2009
Énoncé 1
Pour tout entier n H 1 , on note A n la matrice suivante de M
n^ h R : A
i j 1 1
, , n
n i j 1
2= ; + -
^ h!E
61. a) Démontrer que pour tout X t x x , , … , x M , R
@n n
1 2 ! 1
= ^ h ^ h :
XA X x t dt
t
n j j
j n
1 0 1
1 2
= -
% c / = m
b) Que peut-on en déduire en ce qui concerne les valeurs propres de A n ? On note désormais b
nla plus grande valeur propre de A n .
2. En utilisant le logiciel de calcul formel, calculer une valeur approchée de b
n, pour n ! " 1 , … , 20 , . 3. a) Démontrer que n max XA X
x t
n
b = 1
= ^ h . ( . désigne la norme euclidienne canonique sur R
nidentifié à M
n, 1 ^ h R ).
b) Démontrer que pour tout polynôme P ! C 6 @ X :
P t dt i P e e d i i 0
1 1
0
i
+
i i=
r
- $
$ ^ h ^ h
c) En utilisant convenablement les questions précédentes, démontrer que b
nG r , puis démontrer que la suite ^ h b n n N
! *convergente.
4. Soit W n 1 1 , 2 , … , 1 n M , R
t
n 1
!
= ^ h ^ h .
a) Comparer, pour tout entier n H 2 , les quantités t W A W n n n et p 1 k p k
1 1
k p
p n
1 1
2 - = -
-
= e / o
/ . On constatera d’abord que
W A W
k l p 1
1 1
t
n n n
k l p p
n
2 2
= / = c + = / m - .
b) En admettant l’inégalité suivante, pour p $ 2 :
k x p x
dx p k
1
k
p p
1 1
1 1
$ -
-
=
- -
% ^ h
/
déterminer la valeur de la limite de la suite ^ h b n n N
! *. On pourra utiliser le logiciel de calcul formel pour calculer x p x
p dx
1 1
-
% - ^ h .
Énoncé 2
Pour tout n ! N , on désigne par R n la quantité suivante, dont on justifiera l’existence :
R k
1
n k n
k
1
1
=
3-
= +
+ ^ h +
/
a.1. Déterminer avec le logiciel de calcul formel, une séquence de valeurs approchées de R n pour n = 0 , … , 20 .
a.2. Étudier la monotonie de la suite ^ R n h . Il sera commode d’établir l’égalité, pour tout n ! N :
R 1 n k n k
2 1 1
2 1
n
n k 1
= - + - -
+
3
=
^ h / + c m .
b. Prouver la convergence de la série / R n de terme général R n .
Utiliser le logiciel de calcul formel pour donner une valeur approchée de la somme R n n 0
3
=
/ + à 5.10 -2 près, en justifiant l’approximation faite.
c. Soit n ! N . Justifier l’existence de l’intégrale t
e dt
e 1
n t
t 1
0 +
3
- +
+
% ^
^ h- h et démontrer l’égalité :
t e
e dt R
1 1
t n
t n
n 1
0
r
- + =
3
- - +
% +
^ ^
h
^h
h
On pourra utiliser le logiciel de calcul formel pour obtenir la valeur des intégrales
t e dt 1 n k 1 t 0
3
- + +
$ +
^ h, k ! N .
Mathématiques II - Filière MP Épreuve orale 2009
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d. Retrouver ainsi la convergence de la série / R n et donner sa somme R n n 0
3
=
/ + sous forme d’une intégrale.
En déduire avec le logiciel de calcul formel, une nouvelle valeur approchée de la somme R n n 0
3
