MATHÉMATIQUES II Filière MP

MATHÉMATIQUES II Filière MP

Concours Centrale-Supélec 1998

On considère comme plan affine euclidien, muni de son repère canonique orthonormal . On considérera, en II.B, comme espace affine eucli- dien, muni de son repère canonique orthonormal . On donne enfin un scalaire .

Les parties II et III sont indépendantes.

Partie I -

Dans cette partie, on désire établir, en vue de II et III des propriétés de certaines familles de droites . Les réponses aux questions de I.A ne sont pas nécessaires pour la suite du problème. La propriété essentielle, qui pourra être admise si nécessaire, est obtenue en I.B.2.

Soit un intervalle , ni vide ni réduit à un point. On donne, pour chaque , un polynôme à coefficients réels de la forme , et on considère la famille de parties de d’équation

. I.A -

I.A.1) Soit la propriété : pour tout dans , est une droite. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les polynômes pour qu’il en soit ainsi. sera supposée vérifiée pour la suite.

I.A.2) Soit la propriété : et sont non proportionnels. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les droites pour qu’il en soit ainsi.

I.A.3) Soit la propriété : , et forment une base de . Don- ner une condition nécessaire et suffisante portant sur les droites pour qu’il en soit ainsi.

I.B - On appelle, pour réel, la matrice réelle dont la i–ème ligne,

pour est

I.B.1) Trouver, pour réel, une matrice telle que où

.

En déduire en fonction de . Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur la fonction et équivalant à . Pour la suite, on supposera également satisfaite.

IR ² O I ; , J

( ) IR ³

O I ; , , J K

( )

p > 0

D _t

I

i ∈ { 1 2 3 , , } P _i ( ) t = a _i t ² + b _i t + c _i

D _t , t ∈ I

{ } IR ²

P ₁ ( )x t + P ₂ ( ) t y + P ₃ ( ) t = 0

H ₁

( ) t I D _t

P _i ( ) t H ₁

( )

H ₂

( ) P ₁ P ₂

D _t H ₃

( ) P ₁ P ₂ P ₃ IR ₂ [ ] X

D _t

t M t ( ) ( 3 3 , )

i ∈ { 1 2 3 , , }

P ₁ ^{( i – 1 )} ( ) t , P ₂ ^{( i – 1 )} ( ) t , P ₃ ^{( i – 1 )} ( ) t

( )

t M ₁ ( ) t M t ( ) = M ₁ ( ) t × M ₂

M ₂

a ₁ a ₂ a ₃ b ₁ b ₂ b ₃ c ₁ c ₂ c ₃

=

det ( M t ( ) ) det ( M ₂ )

t M t ( ) H ₃

H ₃

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Concours Centrale-Supélec 1998 I.B.2) Pour , on considère le système :

a) Montrer qu’il existe un ensemble fini tel que pour , ait une solution unique. On suppose désormais que .

b) Montrer qu’il existe trois polynômes réels , , de degré ≤ tels que pour , l’unique solution de soit

.

Montrer que l’arc : , est de classe .

c) En écrivant en particulier que, pour tout , vérifie , étudier successivement :

• la régularité de l’arc ,

• la tangente à en un point régulier , à l’aide de la droite .

d) L’arc peut-il être inclus dans une droite ? Montrer que l’arc est inclus dans la partie de d’équation

(1) e) Que peut-on conclure à partir de (1), quant à la nature de ?

Partie II -

II.A - Pour , on note .

II.A.1) Soit la droite passant par et orthogonale à la droite . Don-

ner une équation de sous la forme .

II.A.2) Déterminer l’ensemble des points par lesquels passent deux droites et distinctes. Donner une condition nécessaire et suffisante sur pour que ces deux droites soient orthogonales. Quel est l’ensemble des points par lesquels passent deux droites orthogonales de la famille ? II.A.3) Montrer que les droites sont les tangentes à une parabole dont on donnera une équation cartésienne. Que représente pour ?

II.B - Soit et la droite passant par et dirigée par

On note

t ∈ I ( ) S _t

S _t P ₁ ( )x t + P ₂ ( )y t + P ₃ ( ) t = 0 P ₁ ' ( )x t + P ₂ ' ( )y t + P ₃ ' ( ) t = 0

 



F t ∈ I – F ( ) S _t

F ∩ I = ∅

A ₁ A ₂ δ 2

t ∈ I ( ) S _t

x t ( ) A ₁ ( ) t δ ( ) t

--- y t ( ) = A ₂ ( ) t δ ( ) t --- ,

 = 

 

γ t ( x t ( ) , y t ( ) ) t ∈ I C ^∞

t ∈ I ( x t ( ) , y t ( ) ) ( ) S _t γ

γ γ ( ) t D _t

γ γ

IR ² b ₁ x + b ₂ y + b ₃

( ) ² – 4 ( a ₁ x + a ₂ y + a ₃ ) ( c ₁ x + c ₂ y + c ₃ ) = 0 γ

t ∈ IR M _t = O + t I – pJ

D _t M _t O M _t

D _t a t ( ) X + pY + b t ( ) = 0

E N ∈ IR ² D _t

0

D _t

t ₀ × t ₁

E ′

N D _t

D _t P

E ′ P α ∈ ]0, π [ D _{t , α} M _t ( t p , – , 0 ) U _{t , α} = p I + t J ( – cotan α K )

K _{t , α} M _t t p ---U _{t , α} +

=

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Concours Centrale-Supélec 1998 II.B.1) Donner un scalaire tel que, pour tout couple ,

Pour fixé, on note la courbe paramétrée , . Que repré- sente pour ?

II.B.2) Quelle est la projection orthogonale de sur le plan ? Montrer que est dans un plan contenant la droite d’équations . II.B.3) On note la projection orthogonale de sur et la droite déduite de par l’homothétie de centre et de rapport . Pour et

donnés, exprimer les distances

et

Conclure quant à la nature des courbes . Comment l’expliquer grâce à II.A ?

(On remarquera que ).

II.B.4) Quel est l’ensemble des points , pour ? Quelle est la surface engendrée par les droites ? Comment se déduit-elle de ?

Partie III -

III.A - Pour , on appelle le cercle d’équation

On appelle le centre de ; calculer les distances et . En déduire la position relative de par rapport à d’équations ( , ).

Discuter soigneusement le nombre de cercles passant par un point . III.B - Soit et deux réels distincts ; on pose et .

III.B.1) Donner une relation entre et équivalant à . III.B.2) Trouver deux scalaires et tels que vérifie si et seule- ment si

tel que ,

III.C -

III.C.1) Trouver une fonction de dans telle qu’une équation de la

droite soit, pour , de la forme .

III.C.2) Soit l’ellipse d’équation ; préciser le centre et les foyers de ; donner une équation polaire de .

β ( t , α )

∂O K _{t , α}

--- ∂t = βU _{t , α}

α ∈ ]0,π[ T _α t K _{t , α} t ∈ IR

D _{t , α} T _α

T _α Oxy

T _α Π _α ∆ ( y = – p , z = 0 )

F _α O Π _α D _α

∆ F _α 2 t ∈ IR

α ∈ ]0,π[

F _α K _{t , α}

d K ( _{t , α} , D _α )

T _α O M _t , U _{t , α}

〈 〉 = 0

F _α α ∈ ]0, π [

D _α D _α ∩ Oyz F _α

t ∈ IR C _t

X ² + Y ² – 2ptX – p t ( ² – 1 )Y = 0

Ω _t C _t d O ( , Ω _t ) d ( Ω _t , ∆ )

C _t ∆ y = – p z = 0

C _t A ∈ IR ²

t u Σ = t + u Π = t × u

( ) R Σ Π O Ω _t ⊥ O Ω _u

A B ( Σ Π , ) ( ) R

ω ( 2k + 1 )π --- 2

≠

∃ Σ = 2 2 tan ω Π A B

ω --- cos +

=

Φ IR ² IR

Ω _t Ω _u t ≠ u Σ X – 2 ( Y – p ) = Φ Π ( , p )

E 2X ² + ( Y – p ) ² = 2p ²

E E

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Concours Centrale-Supélec 1998 III.C.3) En introduisant

,

montrer que la droite est tangente à lorsque vérifie . III.C.4) Pour un tel couple, calculer la distance , où est le point et le symétrique de par rapport à la droite .

III.C.5) Quel est l’ensemble des points du plan par lesquels passent deux cercles et orthogonaux ? (On dit que deux cercles ni vides ni réduits à des points sont orthogonaux s’ils sont sécants et si les tangentes à ces cercles en un point d’intersection quelconque sont orthogonales.)

••• FIN •••

T ω

---- 2 tan

=

Ω _t Ω _u E ( Σ Π , ) ( ) R

GM G ( 0 2p , )

M O Ω _t Ω _u

M

C _t C _u