MATHÉMATIQUES I Filière TSI

(1)

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2005 1/4

MATHÉMATIQUES I Filière TSI

Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéter- minée sur le corps des nombres réels. Un polynôme pourra être indifférem- ment noté ou . On désigne par l’espace vectoriel des fonctions continues de sur , par le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à ( entier naturel), et par la partie entière d’un entier .

Partie I -

I.A - désignant la fonction cosinus hyperbolique et la fonction sinus hyper-

bolique, on rappelle que : .

I.A.1) Montrer que, .

I.A.2) En déduire, pour tout entier naturel , l’existence d’un polynôme

tel que : , .

Expliciter , , , et . I.B -

I.B.1) Démontrer que pour tout : En déduire que la suite est unique.

I.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel : , .

I.B.3) Calculer le terme de plus haut degré de . Déterminer la parité de .

I.B.4) Démontrer que, si et , alors . I.C - Dans cette question est un entier naturel non nul ﬁxé.

Démontrer que les racines de sont toutes réelles, distinctes, et qu’elles appartiennent à l’intervalle . Elles seront notées , de telle sorte que la suite des soit strictement décroissante. On déterminera la valeur de .

X IR

P P X( ) E

1 1,

[– ] IR F_n E

n n [ ]n

n

ch sh

α∈IR,∀n∈IN,eⁿ^α

∀ = (chα+shα)ⁿ

α∈IR,∀n∈IN, chnα

∀ n

⎝ ⎠2k

⎛ ⎞(chα)ⁿ^–^2k(ch²α–1)^k

k=0 n⁄2 [ ]

∑

=

n P_n

α∈IR

∀ ch(nα) = P_n(chα) P₀ P₁ P₂ P₃ P₄

n≥2 P_n( )X +P_n_–₂( )X = 2X P_n_–₁( )X

P_n ( )_n_∈_IN

n α∈IR

∀ P_n(cosα) = cos(nα)

P_n P_n

x >1 n≥1 P_n( )x >1 n

P_n

] 1 1]– , x_i 0≤ ≤i n–1 x_i

x_i

(2)

Concours Centrale-Supélec 2005 2/4

Filière TSI

MATHÉMATIQUES I Filière TSI

Partie II -

II.A -

II.A.1) Pour élément de , justiﬁer la convergence de l’intégrale : .

II.A.2) Montrer que l’application de dans déﬁnie par

déﬁnit un produit scalaire sur . On notera la norme associée à ce produit scalaire.

II.B - Pour un entier naturel , on pose :

.

Établir une relation de récurrence entre et , pour . En déduire la valeur de .

II.C -

II.C.1) Calculer, pour et entiers naturels : .

Que peut-on en déduire ? II.C.2) Démontrer que

lorsque et sont deux entiers naturels tels que .

II.D - Soit la fonction de déﬁnie par . Calculer la distance de au sous-espace , c’est-à-dire le nombre .

f E

f t( ) 1–t² ---dt

1 –

∫

1

Φ E×E IR

Φ : (f g, )a(f g) f t( )g t( ) 1–t² ---dt

1 –

∫

1

=

E .

n I_n tⁿ

1–t² ---dt

1 –

∫

1

=

I_n I_n_–₂ n≥2 I_n

m n

P_n( )t P_m( )t 1–t² ---dt

1 –

∫

1

tⁿP_m( )t 1–t² ---dt

1 –

∫

1 ⁼ ⁰

n m n<m

h E h x( ) = 1–x²

h F₄ d h F( , ₄) inf_P _F

∈ 4 h–P

=

(3)

MATHÉMATIQUES I Filière TSI

Concours Centrale-Supélec 2005 3/4

Partie III -

Dans cette partie, est un entier naturel non nul ﬁxé. L’espace est muni du produit scalaire déﬁni au II.B.

III.A -

III.A.1) Soit un polynôme de degré inférieur ou égal à , dont le poly- nôme dérivé est noté .

Calculer la dérivée de la fonction et en déduire qu’il existe un unique polynôme , que l’on exprimera en fonction de et , tel que

, (1) Montrer de plus que l’application déﬁnie dans la relation (1) par est un endomorphisme de .

III.A.2) Dans cette question seulement, on suppose . Déterminer la matrice de dans la base canonique de .

III.A.3) L’endomorphisme est-il diagonalisable ? III.B -

III.B.1) Démontrer que est un endomorphisme symétrique de . On pourra utiliser l’expression (1) de obtenue à la question III.A.1).

III.B.2) En utilisant la question II.C.2), démontrer que pour tout entier , , il existe un réel tel que . En utilisant le terme de plus haut degré de , déterminer .

III.B.3) Retrouver et préciser le résultat obtenu à la question III.A.3).

III.C - Dans cette question, .

On pose, pour tout polynôme et tout réel , .

III.C.1) Montrer que est une forme quadratique sur .

III.C.2) Discuter selon la valeur de la nature de la quadrique déﬁnie par l’équation .

Partie IV -

IV.A - On désigne par , , les racines du polynôme et par , , trois nombres réels. Pour tout élément de , on déﬁnit le nombre par :

.

n F_n

P∈F_n n

P′

x→ 1–x² P′( )x

Q∈F_n P′ P′′

x∈] 1– ,1[

∀ Q x( ) 1–x² d

dx---[ 1–x² P′( )x ]

=

ϕ ϕ( )P = Q

F_n

n≥2 M ϕ (1, ,X X²,…Xⁿ) F_n

ϕ

ϕ F_n

Q

k

0≤ ≤k n λ_k ϕ(P_k) = λ_kP_k

P_k λ_k

n = 2

P∈F₂ λ q_λ( )P = λ P ²+(ϕ( )P P)

q_λ F₂

λ q_λ( )P = 1

x₀ x₁ x₂ P₃ A₀ A₁ A₂

f E R f( )

f t( ) 1–t² ---dt

1 –

∫

1 ⁼ Â⁰^{f x}^{( )}⁰ ⁺Â¹^{f x}^{( )}¹ ⁺Â²^{f x}^{( )}² ⁺^{R f}^{( )}

(4)

MATHÉMATIQUES I Filière TSI

Concours Centrale-Supélec 2005 4/4

IV.A.1) Déterminer , , pour que pour toute fonction poly- nôme élément de .

IV.A.2) Démontrer qu’alors pour toute fonction polynôme de : on pourra utiliser une division euclidienne par le polynôme .

IV.B - Justiﬁer l’existence de l’intégrale

et déduire de IV.A) sa valeur.

IV.C - Pour ﬁxé non nul, on désigne par les racines de (déﬁ- nies dans la partie I).

IV.C.1) Soit un réel tel que .

Exprimer la somme à l’aide de et de .

IV.C.2) En déduire pour un entier naturel donné, , la valeur de .

IV.C.3) Démontrer qu’il existe un réel , que l’on déterminera, tel que, pour toute fonction polynôme de , on ait

.

••• FIN •••

A₀ A₁ A₂ R P( ) = 0

P F₂

R P( ) = 0 P F₅

P₃

I x⁵

x² – –2x ---dx

2 –

∫

0

=

n ( )x_j ₀_{≤ ≤}_j _n_–₁ P_n

x sinx≠0

2j+1

( )x

( )

cos

j=0 n–1

∑

^sin⁽^2nx⁾ ^sin^x

k k≤2n–1 S_k P_k( )x_j

j=0 n–1

∑

=

α P F₂_n_–₁ P x( )

1–x² ---dx

1 –

∫

1 ^α ^{P x}^{( )}^j j=0 n–1

∑

=