Score IAE Message 2012 STATS PROBAS CORRIGE

Score IAE Message 2012 STATS PROBAS CORRIGE

Q1 : C

Total : 195, moyenne = 195/5 = 39 ; écarts : 5 ;2 ;1 ;2 ;6 ; carrés des écarts : 25 ;4 ;1 ;4 ;36 variance = moyenne des carrés des écarts = (25+4+1+4+36)/5 = 70/5 = 14

Q2 : B

moyenne = 251/25 = 10 environ écarts : 5 ;3 ;0 ;1 ;4 ;7 ; carrés des écarts : 25 ;9 ;0 ;1 ;16 ;49 variance = moyenne des carrés des écarts = (1*25+3*9+15*0+4*1+1*16+1*49)/25 = 121/25 = 4,8 env.

écart type = racine carrée de la variance… non cité dans les réponses (le plus proche est 2)

Q3 : E

Sur 30 cartes restantes, il reste trois huit et sept pique, dont le huit de pique, donc en tout 9 « huit ou pique »

Q4 : E

p(union) = p(A) + p(B) – p(inter) et p(A) = 2p(B), donc : 8% = 3p(B) – 4%

ainsi, p(B) = 4% et p(A) = 8%

Q5 : D

p(union) = p(A) + p(B) – p(inter) et p(B) = 3p(A), donc : 8% = 4p(A) – 2% ; ainsi, p(A) = 2,5%

Q6 : D

Total : 100, moyenne = 100/5 = 20 ; écarts : 8 ;5 ;2 ;4 ;11 ; carrés des écarts : 64 ;25 ;4 ;16 ;121 variance = moyenne des carrés des écarts = (64+25+4+16+121)/5 = 230/5 = 46

Q7 : D

INTERDEPARTEMENTALISATION dans l’ordre donne : AAADEEEEIIILMNNN…

(pas besoin d’aller plus loin : la médiane est la 13e de la série)

Q8 : D

total : 72 naissances. L’année médiane est celle de la 36e naissance

Q9 : D

Elle dispose de 36 signes. Le nombre de codes possibles est un nombre d’arrangements (ordre : oui, répétition : non) : A(36 ; 3) = 36*35*34 = 180*7*34 = 360*7*17 = 2520*17 = 25200 + 17640 = 42840.

Q10 : D

moyenne = 1040/40 = 104/4 = 52/2 = 26

Q11 : D

proba que face apparaisse au premier coup : 1/2

proba que pile apparaisse au premier coup et face au second : 1/2*1/2

proba que pile apparaisse aux deux premiers coups et face au troisième : 1/2*1/2*1/2

La proba que le joueur empoche de l’argent au nième coup est 1/2ⁿ et le gain correspondant est 2ⁿ. L’espérance de gain du joueur est donc somme(prob*gain) = 1+1+1+… à l’infini = l’infini !

Pour que ce jeu soit équilibré, la mise initiale du joueur devrait être infinie !

Q12 : E

on a une suite arithmétique (u0 = 1000, un = 9999) dont la somme est le nombre des termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier : 9000*(1000+9999)/2.

La moyenne est cette somme divisée par le nombre de termes : 9000 moyenne = (1000+9999)/2 = 10999/2 = 5499,5

Q13 : C

total ski ou voile = ski + voile – (ski et voile) = 54% + 32% - 13% = 73%

Q14 : C

proba de ne jamais obtenir de pile = (1/2)ⁿ

Q15 : C

sur les 36 couples possibles, 1 présente deux verts, 4 présentent deux bleus et 9 présentent deux rouges. Donc 14 couples sur 36.

Q16 : C

35%*5+30%*15+20%*25+15%*35 = 16,5

astuce : calculez 35%*0+30%*10+20%*20+15%*30 = 11,50 puis ajoutez 5

Q17 : D

on tente de reconnaître les plus petits produits (il y en a 36 en tout et la médiane est le 18e dans l’ordre croissant) : 1*1=1 ; 1*2=2 ; 2*1=2 ; 1*3=3 ; 3*1=3 ; 2*2=4 ; 1*4=4 ; 4*1=4 ; 1*5=5 ; 5*1=5 ; 1*6=6 ; 6*1=6 ; 2*3=6 ; 3*2=6 ; 2*4=8 ; 4*2=8 ; 3*3=9 ; 2*5=10

Q18 : B

la moyenne est 365,25 jours. La valeur 365 (donc l’écart 0,25) est atteinte dans 75% des cas et la valeur 366 (donc l’écart 0,75) dans 25% des cas. Variance : 75%*1/16 + 25%*9/16 = 3/16

Q19 : B

Un ticket se compose de trois chiffres pris parmi 9 dans un ordre donné avec répétition possible (p- listes) ; il y a 9*9*9 = 729 tickets différents possibles. La proba de gagner 499 € est 1/729, celle de perdre 1 € est de 728/729. Espérance : (499*1 – 1*728)/729 = -229/729

Q20 : B

appelons M « marquer en 1ère mi-temps » et G « gagner le patch ». p(Mbarre et Gbarre) = p(Mbarre)*pMbarre(Gbarre) = 1/3*1/2 = 1/6

Q21 : D

Nombre de baguettes : 115 ; « poids » médian : celui de la 58ème

Q22 : D

p(D) = pA(D)*p(A) + pB(D)*p(B) = 5/60*0,6 + 3/40*0,4 = 0,05 + 0,03

Q23 : C

p(FFP) = (1/2)³ = 1/8

Q24 : A

p(A ou B ou C) = p(A) + p(B) + p(C) –p(A et B) –p(A et C) –p(B et C) + p(A et B et C), donc p(A et B et C) = 6% - 3% - 2% - 2% + 3*1% = 2%

Q25 : E

6 ! = 720 possibilités d’ordonner 6 lettres

divisé par 2 ! (2 A identiques), puis par 2 ! (2 B) et encore par 2 ! (2C), cela donne 90.

Q26 : C

Il y a 21 nombres ; la médiane est donc le 11e résultat : 11² = 121

Q27 : E

Sur 36 couples, 6 donnent une différence de 0, 10 donnent 1, 8 donnent 2, 6 donnent 3, 4 donnent 4 et 2 donnent 5.

Espérance : 70/36 = 35/18

Q28 : C

5+17+7 = 29 réussites ; 12+59+9 = 80 essais. Moyenne : 29/80 = 36,25%

Q29 : B

1 chance sur 6⁶ = 1/216²… (200+16)(200+16) = 200²+2*16*200+16² = 40000+6400+256

Q30 : B

moyenne = (156+10C)/(14+C). Il faut donc 156+10C = 11(14+C), soit 156 – 11*14 = C

Q31 : B

moyenne = 300/25 = 12. écarts : 3 ;1 ;1 ;2 ;3 ;5 ; carrés des écarts : 9 ;1 ;1 ;4 ;9 ;25

variance = moyenne des carrés des écarts = (8*9+3*1+6*1+5*4+2*9+1*25)/25 = 144/25 = 5,76.

Q32 : E

cov(x,y) = somme(xy)/5 – xbarre*ybarre xbarre = 90/5 = 18. ybarre = 70/5 = 14.

cov(x,y) = 1375/5 – 18*14 = 275 – 252 = 23

Q33 : …

moyenne = (2*850+4*950+10*1025+9*1050+5*1100)/30 = 30700/30 = 1023,33

Q34 : E

pB(C) = p(B et C) / p(B) = 0,5 / (0,5 + 0,1) = 5/6 Q35 : B

Q36 : E

p(gagner) = p(R et B) = p(R) * p(B) (indépendants) = 1/3 * 2/3

Q37 : C

gains nets : cœur sauf as : 1 € ; as sauf cœur : 4 € ; as de cœur : 6 € ; dame de pique : 11 € espérance : (7*1€ + 3*4€ +1*6€ +1*11€ +20*-1€)/32 = 16/32 = 0,5 €

Q38 : C

La moyenne des 7 notes est donc un entier. Le total des notes doit donc être un multiple de 7 ; ça ne fonctionne qu’avec la proposition C (la moyenne est alors 11 et la médiane est 9.

Q39 : C

Q40 : A

Pour n = 0, comme pour n = 1, ça se discute, car les résultats n’apparaissent pas dans l’ordre croissant.

Après un rapide test, on trouve médiane = moyenne.

A partir de n = 2, les valeurs se trouvent dans l’ordre croissant et la médiane est donc 2n+1, alors que la moyenne est (12n + 6)/6 = 2n+1.

Q41 : A

(1,64+1,85*2)/3 = 5,34/3 = 1,78

Q42 : C

cov(Z,W) = cov(2X+Y, X-2Y) = 2cov(X,X) – 4cov(X,Y) + cov(X,Y) – 2cov(Y,Y) = -3cov(X,Y) = 0 (indépendantes). (X et Y suivent la même loi, donc V(X) = V(Y), c’est-à-dire cov(X,X) = cov(Y,Y)) Q43 : B

Q44 : D

n = 5, p = 3, ordre : oui, répétition : non. arrangements(5 ;3) = 5*4*3 = 60

Q45 : C

n = 6, p = 4, ordre : oui, répétition : non. arrangements(6 ;4) = 6*5*4*3 = 360

Q46 : E

permutations de 6 lettres : 6 ! = 720 ; mais : deux E identiques, donc on divise par 2 !

Q47 : D

couples possibles : (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), (6, 12), (4, 2)

Q48 : E

D peut être placée :

avant A, puis 4 positions possibles pour E après D avant B, puis 3 positions possibles pour E après D avant C, puis 2 positions possibles pour E après D après C, puis 1 position possible pour E après D 4+3+2+1 = 10

Q49 : B

produits : 1,2,2,3,3,4,4,4,6,6,8,8,9,12,12,16. moyenne : 100/16 = 6,25

Q50 : D

moyenne = (8*0,65+12*0,90+5*6,40)/5 = 48/5 = 9,6 Q51 : C

Q52 : B

3+5+m+8+3m+20 = 60, donc m = 6

Q53 : D

les hommes sont deux fois plus près de la moyenne que les femmes : il y a deux fois plus d’hommes OU : h*35 + f*50 = (h+f)*40, donc h/f*35 + 50 = (h/f + 1)*40 d’où 10 = 5h/f

Q54 : B

Q55 : D

Q56 : C

Il y a 3 ! = 6 permutations possibles des trois chevaux gagnants

Q57 : D

pour chaque ensemble de 4 boules, il y a 4 ! = 24 permutations possibles, et une seule présente l’ordre croissant.