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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Tondeur, F. (1977). Etude des énergies de liaison nucléaires dans le formalisme de la densité d'énergie et applications (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/214287/1/37285fc8-04ae-49de-95da-1e29bdd94c2d.txt
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Faculté des Sciences
BIBLIOTHEQUE DE MATHEMATIQUES ET DE PHYSIQUE
BM P
Tui
ETUDE DES ENERGIES DE LIAISON NUCLEAIRES DANS LE FORMALISME DE LA DENSITE
D'ENERGIE ET APPLICATIONS
THESE DE DOCTORAT PRESENTEE EN VUE DE L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES (GRADE LEGAL)
^^■^^François
977
TONDEUR
Les nombres critiques et centres peuvent être déterminés par une la méthode graphique parfois utilisée.
introduits dans le modèle à deux méthode analytique qui généralise
F. TONDEUR
1977
Reçu le
* s MAI 1977
f?êp;...
Je désire remercier tous ceux qui m'ont aidé à mener à bien
I cette thèse et la thèse annexe, et tout particulièrement Monsieur M. Demeur, M. Rayet, D. Baye , Madame M.T. Duchêne et mon épouse Jacqueline.
Je remercie également les membres du service de Physique Nucléaire Théorique qui, à de multiples occasions, m'ont aidé à mieux com.prendre l'une ou l'autre question de physique ou d'informatique.
Je n'oublierai pas enfin que c'est M. Arnould qui m'a un jour orienté vers les formules de masse. L'intérêt qu'il a toujours porté à mes travaux m'a beaucoup encouragé.
^65459
Page
Introduction 5
Chapitre 1 : Pourquoi une nouvelle formule de masse ? 10
1.1 La formule de Bethe et Weizsâcker lO
1.2 Amélioration de la goutte liquide lO
1.3 Les corrections de couches 11
1.3.1 Les formules de Cameron 11
1.3.2 Les formules de Myers et Swiatecki 12
1.3.3 Les formules de Seeger 12
1.4 Formules de haute précision 13
1.5 Extrapolations loin de la ligne de stabilité 13 1.6 Noyaux latéraux et limites de stabilité 14
1.7 Noyaux superlourds 15
1.8 Matière superdense 16
1.9 Processus r 18
1.10 Peut-on encore améliorer les formules de masse ? 20
1.11 Importance de la déformation 20
1.12 Analyse critique du modèle de la goutte liquide 21
1.12.1 Le modèle de Brueckner 21
1.12.2 Terme de surface 22
1.12.3 Terme de symétrie 22
1.12.4 Terme de symétrie de surface 23
1.12.5 Terme coulombien 24
1.12.6 Insuffisance du modèle de Brueckner 24
1.13 Critique des termes de couches 25
1.13.1 Hypothèse implicite 25
1.13.2 Extrapolation du potentiel de Saxon-Woods 26
1.13.3 Niveaux individuels 28
1.13.4 Essai d'une meilleure extrapolation 29
1.13.5 Correction de couches 31
1.14 Deux voies pour améliorer le calcul des énergies de liaison 32
Chapltre 2 : Le formalisme de la densité d'énergie et le calcul 35 des énergies de liaison nucléaires
2.1 Le modèle à particules indépendantes 35
2.2 Interaction effective 37
2.3 La densité d'énergie 3 g
2.3.1 Energie potentielle d'ian noyau saturé en spin 3 g 2.3.2 Calculs approchés de la matrice densité et 42
expressions de la densité d'énergie
2.3.3 Energie coulombienne 4 g
2.3.4 Densité d'énergie de spin-orbite 47 2.3.5 Paramétriser la densité d'énergie 4 g
2.4 L'interaction de Skyrme 50
2.5 Quelques expressions pour la densité d'énergie 53
2.6 L'approximation de Brueckner 5 g
2.7 Solution self-consistente pour les noyaux à symétrie 5 g sphérique
2.8 Discussion des différents termes de la densité d'énergie 63
2.8.1 La masse effective 63
2.8.2 Termes contenant les gradients des densités 64
2.8.3 Termes de spin-orbite 65
2.8.4 La densité d'énergie de la matière nucléaire 66 2.9 Expression de la densité d'énergie et du potentiel 69
noyau-nucléon
2.10 Calculs approchés des effets d'appariement et de l'énergie 71 du centre de masse
2.11 Traitement approché des déformations nucléaires 73 Conclusion du chapitre 2
2.12 77
Chapitre 3 : ' Calculs numériques et résultats 79
3.1 Programme de calcul pour les noyaux sphériques yg
3.2 Ajustement des paramètres 80
3.3 Matière nucléaire et gaz de neutrons 84
3.4 Résultats (symétrie sphérique) 86
3.4.1 Réduction du temps de calcul 86
3.4.2 Distributions de densité 87
3.4.3 Energies de liaison 91
3.4.4 Effets de couches 93
3.4.5 Différences de masse pairs-impairs 97 3.4.6 Potentiel moyen noyau-nucléon 98
3.5 Noyaux déformés 99
3.5.1 Programme de calcul 99
3.5.2 Energies de liaison lOO
3.5.3 Déformations et moments quadrupolaires lo2
3.6 Conclusion du chapitre 3 103
Chapitre 4 : Applications 105
4.1 Limites de stabilité 105
4.2 Superlourds 107
4.3 Matière superdense 111
4.3.1 Phase A,© . 111
4.3.2 Phase A, n,^ 114
4.3.3 Phase n, p,e. 118
4.4 Noyaux du processus r 118
Résumé et Conclusions 125
Appendices : 1 Matière superdense 130
2 Lissage et corrections de couches 133
Bibliographie 138
Tableaux 141
Figures 156
\
Les quelque mille cinq cents énergies de liaison nucléaires connues expé
rimentalement - certaines avec une grande précision - constituent un ensemble de données expérimentales que doit pouvoir reproduire tout modèle qui aspire à décrire les propriétés de l'ensemble des noyaux. Jusqu'il y a peu, seuls des modèles simples comme le modèle de la goutte liquide permettaient de faire des calculs étendus à un si grand nombre de noyaux, les modèles plus élaborés n'étant généralement confrontés qu'avec une petite partie des résultats expérimentaux.
Le calcul des énergies de liaison est donc un test important pour tous les modèles où ce calcul est possible, et est en même temps un moyen d'ajuster certains paramètres. Ces deux rôles n'expliquent pas à eux seuls l'abondance des méthodes de calcul des énergies de liaison, dont certaines sont complètement empiriques et n'ajoutent rien à la connaissance du noyau. Le principal stimulant à la production de nouvelles méthodes et à l'amélioration des méthodes existantes vient de l'astrophysique. Les conditions exceptionnelles qui régnent dans cer
tains sites astrophysiques peuvent conduire à la formation de noyaux qui sont hautement instables en laboratoire et sur lesquels on ne dispose d'aucune infor
mation expérimentale. Pour résoudre les problèmes où ces noyaux interviennent, les astrophysiciens demandent que leurs propriétés soient prédites, et en parti
culier que leurs énergies de liaison soient évaluées. Ceci a toujours été fait en extrapolant les énergies connues, sur la base d'une formule permettant de calculer celles-ci.
Face à l'importance prise par ce rôle "astrophysique " du calcul des énergies de liaison, la question s'est posée de savoir si les hypothèses et les approximations qui permettent de reproduire les énergies de liaison des noyaux stables restent valables loin de la zone de stabilité. Il faudra sans doute attendre longtemps avant que l'expérience apporte une réponse à cette question.
Actuellement, il est possible d'obtenir certains éléments de réponse
en faisant appel à des modèles moins approximatifs et plus proches des théories
microscopiques que les modèles généralement utilisés. On peut espérer obtenir
de cette façon des extrapolations meilleures pour les énergies de liaison,
dans la mesure où le nouveau modèle tient compte de plusieurs effets négligés
par les modèles précédents. Bien sûr, il n'est pas impossible que d'autres
effets négligés ou encore inconnus deviennent particulièrement importants loin
de la ligne de stabilité. Les résultats obtenus doivent donc être considérés
comme un nouveau pas vers une meilleure connaissance des noyaux situés loin de
la ligne de stabilité, et non comme des faits définitivement établis, puisque
la possibilité d'une confirmation expérimentale fait actuellement défaut.
II
Le cadre général de ce travail étant ainsi défini, voici quelques préci
sions sur la démarche suivie.
Le problème du calculj théorique des énergies de liaison nucléaires a été posé depuis longtemps, dès que l'accumulation des déterminations expérimen
tales en a permis une étude systématique. Le modèle de la goutte liquide chargée, élaboré en 1936-1938 par différents chercheurs, est basé sur cette étude et, inversément, a longtemps été la base de la plupart des calculs des énergies de liaison. Complété de façon plus ou moins sophistiquée par des corrections desti
nées à reproduire les effets de la structure en couches du noyau sur son énergie de liaison, ce modèle a été étendu avec succès à l'étude des noyaux déformés et des barrières de fission, comme dans les travaux de Myers et Swiatecki
(M S 1966) et de Seeger (Se 1967) . Ses insuffisances et son manque de fiabilité pour les extrapolations ont cependant été mises en évidence par les progrès de
l'expérience (par exemple la découverte de l'existence d'une "peau" neutronique à la surface des noyaux lourds) et de la théorie nucléaire (en particulier, la théorie de l'énergie d'asymétrie issue de la théorie de la matière nucléaire, montrant entre autres que la densité d'équilibre de celle-ci diminue quand elle
s'enrichit en neutrons). Les méthodes de calcul des corrections de ccuches sont également suspectes quand on veut les appliquer à des noyaux éloignés de la ligne de stabilité ^ . Leur hypothèse implicite, qui est que les nombres magiques sont les mêmes et gardent la même importance dans toutes les régions du plan (N,Z) , est contredite par une étude de la structure en couches que nous avons faite avec un potentiel noyau-nucléon "réaliste" du type de Saxon- Woods, et qui est exposée dans ce travail.
Pour extrapoler les énergies de liaisons nucléaires , ce qui est néces
saire pour étudier entre autres les limites de stabilité, les noyaux superlourds, la matière superdense des étoiles à neutrons ou le processus r de nucléosyn- thèse stellaire des noyaux lourds, il faut donc améliorer le modèle utilisé.
Un modèle amélioré de la goutte liquide a été proposé dès 1969 par Myers et
Swiatecki (MS 1969) , mais il ne résoud pas la question du calcul des corrections
de couches. Celle-ci est difficile à résoudre de façon satisfaisante même avec
un potentiel du type de Saxon-Woods, malgré diverses améliorations que nous
proposons dans ce travail.
Une solution globale pour le calcul des énergies de liaison peut être trouvée dans le formalisme de la densité d'énergie, qui ne sépare pas l'énergie en une partie de la goutte liquide et des corrections de couches, et qui permet une approche self-consistente, assurant ainsi des extrapolations meilleures.
Çe formalisme est apparenté à la méthode de Hartree-Fock avec laquelle il se confond dans le cas d'interactions nucléon-nucléon effectives de portée nulle du type de l'interaction de Skyrme. Il est une bonne approximation dans le cas d'interactions de courte portée, comme le sont les interactions nucléon-nucléon réalistes. Il consiste à représenter l'énergie de liaison nucléaire (énergie coulombienne exclue) comme étant l'intégrale sur le volume du noyau d'une densi
té d'énergie . Celle-ci peut être approchée par une expression paramétri- sée permettant de calculer <fb à partir des fonctions d'onde individuelles des nucléons. Nous montrons qu'une expression simple, ne contenant que six para
mètres ajustables , peut être utilisée pour le calcul des énergies de liaison, ce qui permet au modèle d'avoir moins de paramètres que la plupart des formules de masse dérivées du modèle de la goutte liquide.
Le calcul de l'énergie de liaison consiste à trouver le minimum de 1 'intégrale
calcul numérique de l'énergie de liaison d'un noyai sphérique peut être rendu suffisamment bref en moyenne pour que cette méthode puisse être utilisée pour un grand nombre de noyaux. Les calculs sont malheureusement beaucoup plus J.ongs pour les configurations déformées, pour lesquelles nous proposons une méthode approchée qui se base à la fois sur le formalisme de la densité d'énergie et sur les méthodes de calcul des corrections de couches utilisées généralement avec le modèle de la goutte liquide. Comme dans les calculs utilisant ce modèle, nous séparons l'énergie de déformation en une partie "lissée" variant lentement d'un noyau à l'autre, et une partie variant plus rapidement qui est due à la structure en couches. Toutefois, les deux parties sont calculées en tenant compte le plus possible du formalisme de la densité d'énergie et des résultats obtenus pour la symétrie sphérique. Pour un certain nombre de noyaux répartis dans le plan (N,Z) , la structure en couches est obtenue en déformant le potentiel noyau- nucléon obtenu pour la configuration sphérique, plutôt qu'en utilisant un poten
tiel de Nilsson ou de Saxon-Woods déformé. Quant à l'énergie "lissée" , elle est calculée dans le formalisme de la densité d'énergie grâce à une densité d'énergie
"lissée" d'où les effets de couches ont été. extraits.
+ énergie Coulombienne
par rapport aux variations des fonctions individuelles orthonormées iU . Le
Pour les autres noyaux, les niveaux d'énergie individuels (qui servent à calculer les corrections de couches ) et les énergies "lissées" sont calculés par interpolation des résultats obtenus.
III.
Le plan du travail est le suivant :
Dans le chapitre 1, nous rappelons brièvement comment sont calculées les énergies de liaison nucléaires dans le modèle de la goutte liquide, et nous décrivons quelques questions de physique nucléaire et d'astrophysique nucléaire qui nécessitent l'extrapolation de ces énergies. Nous analysons ensuite quelques défauts du modèle de la goutte liquide à la lumière de calculs que nous avons ef fectués dans le cadre du modèle de Brueckner (décrit au § 2.6). Nous montrons aussi les défauts des méthodes de calcul des corrections de couches généralement utilisées grâce à un calcul que nous avons fait avec le potentiel de Saxon-Woods Le chapitre se conclut en constatant la difficulté de calculer de bonnes correc
tions de couches et de progresser dans les approches qui séparent les correction de couches du reste de l'énergie de liaison.
Le chapitre 2 replace le formalisme de la densité d'énergie dans son contexte, et résume les travaux de Negele et Vautherin (N V 1972) montrant qu'il est une bonne approximation du modèle de Hartree-Fock avec une interaction effec tive à courte portée, pouvant dépendre de la densité . Après avoir rappelé les principales expressions(partielles ou complètes)utilisées pour la densité d'éner gie dans divers travaux, nous exposons les méthodes de calcul approché et de calcul self-consistent de l'énergie de liaison et d'autres propriétés nucléaires dans le cadre du formalisme de la densité d'énergie. Nous cherchons ensuite une expression simple pour la densité d'énergie qui soit adaptée au calcul des énergies de liaison Nous montrons qu'elle peut être raisonnablement réduite à une expression qui ne contient que six paramètres ajustables. Enfin, nous expo
sons la méthode utilisée pour le calcul de l'appariement, et celle que nous proposons pour le calcul de l'énergie de déformation.
Le chapitre 3 donne quelques renseignements sur les techniques de calcul numérique utilisées. Il indique comment les paramètres ajustables ont été ajustés, et analyse les principaux résultats obtenus pour les propriétés de la matière nucléaire, les distributions de densité des nucléons, les énergies de liaison et les potentiels moyens noyau-nucléon . Une attention particulière est portée sur l'analyse des effets de couches, et de leurs variations dans le plan (N,Z) . Les différents résultats sont comparés à l'expérience et aux résul
tats d'autres travaux.
^ Enfin, le chapitre 4 examine l'application des résultats obtenus à
quatre problèmes : la détermination des limites.de stabilité des noyaux vis-
à-vis de l'émission d'un ou deux nucléons, l'existence d'îlots de stabilité
superlourds, les propriétés de la matière superdense, et le processus r de
nucléosynthèse.
Chapitre 1 : Pourquoi une nouvelle formule de masse ?
1.1 La formule de Bethe et Weizsâcker
L'étude systématique des énergies de liaison nucléaires a mis en évidence, depuis quarante ans déjà, un certain nombre de faits qui ont servi de base à des méthodes de calcul approché de ces énergies de liaison.
La plus simple de ces méthodes est la formule de masse dite de Bethe et
Weizsâcker (We 1935 , BB1936) qui approche les énergies de liaison expérimentales par une expression qui contient quatre paramètres ajustables :
et N = A - Z neutrons. Cette formule est issue du modèle nucléaire de la goutte liquide , prise ici dans un état sphérique. Dans ce modèle, la densité nucléaire est supposée constante, et les noyaux sont des sphères de rayon proportionnel à
au volume nucléaire, un terme proportionnel à la surface , et un terme de répul
sion coulombienne. Le quatrième terme (terme de symétrie) est là pour rendre compte des variations d'énergie de liaison le long des lignes isobares du plan
(N,Z) .
La formule de Bethe et Weizsâcker permet de reproduire les énergies de liaison expérimentales avec un écart quadratique moyen d'environ 3 MeV, ce qui est assez remarquable étant donné le faible nombre de paramètres (4) et le grand nombre de données expérimentales, qui dépasse aujourd'hui le millier.
De nombreux auteurs ont tenté d'améliorer la formule de Bethe et Weizsàcker.
Dans le cadre du modèle de la goutte liquide, il a été proposé d'y ajouter de nombreux termes. Cameron (Ca 1957) a proposé un terme de symétrie de surface.
TCH 1970). Cameron (C 1957) a aussi modifié le terme de surface pour tenir compte d'une surface nucléaire diffuse, tandis que Myers et Swiatecki (MS 1965) ont
L'énergie de liaison sera toujours considérée avec le signe négatif.
( 1 . 1 )
où B représente l'énergie de liaison d'un noyau de A nucléons dont Z protons
1.2 Amélioration de la goutte liquide
(GH 1969, TCH 1970), des termes de symétrie en miale en N - Z ( CE 1965; MS 1966, WC 1969,
. On a aussi proposé
introduit un terme coulombien d'échange. Toutes les formules contiennent aussi un terme d'appariement pour reproduire les différences de masse entre noyaux
-
1/2 pairs et impairs. Ce terme est souvent mis sous la forme empirique + a,^ A
D'autres auteurs ont préféré abandonner le modèle de la goutte liquide et utiliser une formule complètement empiriqüe, mais ces tentatives n'ont eu que peu d'échos.
A part le terme d'appariement, aucune de ces modifications à la formule de Bethe et Weizsàcker n'a été introduite sur la base de raisons expérimentales vraiment contraignantes. La plupart n'apportent d'ailleurs que des gains de précisions peu considérables. Par contre, la précision des calculs des énergies
,.a pu être améliorée par d'autres approches pouvant être classées en deux catégories : les unes cherchent à ajouter à la formule ( 1 . 1 ) des termes qui rendent compte des effets de la structure en couches du noyau, tandis que d'autres se basant sur diverses hypothèses, arrivent à une haute précision en multipliant le nombre de paramètres ajustables.
1.3 Corrections de couches
Les effets de la structure en couches du noyau apparaissent dans la figure 1, où sont portés les écarts entre les énergies de liaison expérimentales et les valeurs calculées par la formule de Bethe et Weizsàcker. Ces écarts présentent des maxima en valeur absolue qui correspondent.aux nombres "magiques" .
Différentes méthodes ont été proposées pour calculer ces écarts et intro
duire des termes correctifs dans la formule de masse. En voici trois exemples .
1.3.1 Les formules de Cameron
L'approche la plus simple est celle de Cameron et de ses collaborateurs (Ca 1957, CE 1965, TCH 1970) : les corrections de couches sont séparées en un terme pour les neutrons et un terme pour les protons
C^(N,Z) = C^(N) + C^ (Z) (1.2)
où C^ et C^ sont déterminés empiriquement pour chaque valeur de N et Z. Stricte
ment parlant, ceci introduit environ deux cent cinquante paramètres supplémen
taires, et permet de réduire l'écart moyen entre les énergies de liaison expéri-
Bien que le symbole le plus utilisé pour les corrections de couches soit S
(comme Shell), nous utiliserons C pour éviter toute confusion avec les énergies
de séparation S^^ et Sp utilisées à plusieurs reprises.
mentales et les valeurs calculées à environ 1 MeV. Cette méthode ne permet pas de tenir compte de lâ déformation nucléaire, qui joue pourtant un rôle essentiel dans le calcul des effets de couches.
1.3.2 Les formules de Myers et Swiatecki
Les travaux de Myers et Swiatecki (MS 1966, MS 1967) sont une étape importan
te dans l'étude des énergies de liaison, parce qu'ils réunissent dans une même approche le calcul des énergies de liaison, des déformations d'équilibre , et des barrières de fission.
Dans leur première formule ( 1966 ),Myers et swiatecki calculent une correction de couches qui dépend de la déformation ;
G ^ f C^(N) + C4(Z) ) -©2
ms { p/3 j • ® (1.3)
où 6 est une variable de déformation. Le facteur gaussien de (1.3) rend compte de façon approximative de la disparition de la structure en couches due à la levée de dégénérescence des niveaux individuels quand le noyau est déform.é.
et sont calculés à partir d'un spectre de niveaux individuels simiDlifié qui est le spectre d'un gaz de Fermi dégénéré dans lequel sont créés des "gaps"
correspondant aux nombres magiques. La correction de couches obtenue dépend de deux paramètres seulement. Les nombres magiques doivent toutefois être fixés a priori. L'énergie de la goutte liquide dépend aussi de la déformation : on détermine la déformation d'équilibre en minimisant l'énergie totale par rap
port à 6 . L'écart moyen avec les énergies de liaison expérimentales est dans ce cas d'environ 1,4 MeV , avec seulement sept paramètres ajustables.
1.3.3 Les formules de Seeger
Strutinski (St 1967, St 1968) a proposé une méthode qui permet de calculer les corrections de couches à partir du modèle de Nilsson (Ni 1955) , ce qui repré
sente un progrès important par rapport à la méthode de Myers et Swiatecki. En effet, la description de la structure en couches par le modèle de Nilsson est plus réaliste que celle utilisée par Myers et Swiatecki . L'influence de la défor
mation sur les corrections de couches repose aussi sur une base plus solide.
L'hypothèse de Strutinski est que, bien que la somme des énergies individuelles des nucléons E= Ç ne puisse être assimilée à l'énergie de liaison B, leurs variations à moyenne poruée dans le plan (N,Z) (variations dues aux effets de couches) sont approximativement identiques.On peut dans ce cas calculer les
* f
corrections de couches de B en extrayant de E par lissage , une énergie moyenne
E variant lentement, la différence E - E étant assimilée aux corrections de
couches. En fait, pour obtenir de bons résultats, il est nécessaire de corriger E pour des effets d'appariement, ce qui peut être fait dans le cadre de l'approxi- mation BCS . En travaillant dans cette voie, Seeger et ses collaborateurs ont
construit plusieurs formules de masse, arrivant à un écart moyen de O, 7 MeV avec les énergies de liaison expérimentales (Se 1967, Se 1970, SH 1974, SH 1975, SH 1976). Ce résultat n'a été obtenu toutefois qu'avec un modèle de Nilsson très sophistiqué, qui contient vingt deux paramètres ajustables (pour la formule de 1975) .
Les corrections de couches de Seeger peuvent être œrites sous la forme :
G = s
C^(N,0) + Cg(N,0)
(1.4)
où et sont calculés par la prescription de Strutinski.
1.4 Formules de haute précision
Plusieurs auteurs ont mis au point des formules de masse plus précises encore.
Les travaux de Lévy (Le 1957) et du groupe de Zeldes (2GS 1967, ZGL 1965, CLVJ 1975) divisent le plan (N,Z) en régions. Les paramètres de la formule de masse sont alors ajustés par région. Ce type de méthode conduit à une très bonne précision, mais aussi à une rapide augmentation du nombre de paramètres (81 pour Lévy, 272 pour Zeldes) . En outre, ces formules ne permettent pas de prédire les énergies de liaison des noyaux éloignés de la ligne de stabilité nucléaire, car ils sont en dehors des régions du plan (N,Z) considérées.
Les formules de Garvey, Kelson et al (GK 1966, GJ 1969, Ja 1976) sont encore plus richement paramétrisées. Elles s'écrivent comme M (N,Z) = g^(N) + q^{Z) + g.(A) ou comme M (N,Z) = f (N) + f„(Z) + f (N-Z) où les valeurs de f. ou g. sont
J 12 3 1 1
déterminées d'après les masses expérimentales pour chaque valeur de leur argument.
Pour la première de ces formules, cela représente environ cinq cents paramètres ! D'une grande précision pour les noyaux voisins de la ligne de stabilité, elles peuvent être extrapolées dans une région très étendue du plan (N,Z). Il est toutefois difficile de juger de la valeur de ces formules loin de la zone des noyaux stables.
1.5 Extrapolations loin de la ligne de stabilité
A côté des quelques formules que nous avons citées, il en existe d'autres, par dizaines, qui sont analysées avec plus de détails, par exemple dans la réfé-
Nous n'avons pas rappelé ici JLe formalisme BCS. Il est décrit de au § 2.10. L'énergie E à prendre en considération est e^y “
f^çon succinte
Ah ûn
rence Be 1971. Pourtant, on ne peut pas dire que tous les utilisateurs de formules de masse trouvent sur le "marché" de quoi les satisfaire.
Certes, les énergies de liaison des noyaux proches de la ligne de stabilité peuvent être calculées avec beaucoup de précision par les méthodes de Zeldes et al. ou de Garvey et al. Mais pour les extrapolations loin de la ligne de stabilité toutes les formules existantes prêtent le flanc à la critique. La première criti
que est l'absence de concordance entre les prévisions des différentes méthodes.
Le choix d'une formule de masse a dès lors une certaine influence sur l’étude théorique de diverses questions. Parmi les problèmes dont l'étude requiert une extrapolation des énergies de liaison loin de la ligne de stabilité, nous en envisagerons de quatre types :
a) l'étude des noyaux dits latéraux (par rapport à la ligne de stabilité nucléaire dans le plan (N,Z) ) et en particulier la prévision des limi
tes de stabilité vis-à-vis de nouveaux noyaux doublement magiques et la prévision de nouvelles zones de déformation nucléaire dans le plan (N,Z) . b) le calcul des propriétés des noyaux superlourds (en particulier de leurs
barrières de fission), propriétés qui sont liées à la prévision de nou
veaux nombres magiques
] 2
c) l'étude de la matière superdense (masse volumique allant de 10 à 17 3 >
10 kg/m ) où sont présents des noyaux à grand excès de neutrons.
d) l'étude du processus r de synthèse des noyaux lourds, au cours duquel sont formés des noyaux très riches en neutrons.
Un coup d'oeil sur ces questions nous permettra de mieux situer les problèmes posés par l'extrapolation des énergies de liaison nucléaires-
1 .6 Noyaux latéraux et limites de stabilité
Une des questions relatives aux noyaux latéraux est la prévision des limites de stabilité vis-à-vis de l'émission d'un nucléon . Cette question est directe
ment liée au calcul des énergies de liaison nucléaires, puisque les limites de stabilité sont les lignes du plan (N,Z) où les énergies de séparation d'un neutron
(N,Z) = B(N,Z) - B(N-1,Z)
ou d'un proton
Sp(N,Z) = B(N,Z) - B(N,Z-l) ( 1 . 6 )
s'annulent. Quelques exemples des désaccords entre formules ^de masse peuvent
Ces définitions impliquent l'usage du signe - pour l'énergie de séparation lors
que le dernier nucléon est lié.
être trouvés dans le tableau 1. Ce tableau met en évidence des différences dues aussi bien aux effets d'appariement qu'aux effets de couches et à des tendances moins locales qui relèvent de la partie "goutte liquide" de la formule de masse (tout, au moins pour la formule de Myers et Swiatecki, car celle de Garvey et al.
n'est pas basée sur le modèle de la goutte liquide).
La prévision des énergies de iiaison aussi loin de la ligne de stabilité nucléaire dépend beaucoup des termes de symétrie de la formule de masse, dont les paramètres sont assez mal fixés. La figure 2 montre l'écart entre les éner
gies calculées par la formule de Garvey et al. (GGJ 1969) d'une part, par la formule de Seeger (Se 1970) d'autre part, pour les noyaux de la ligne N = 2Z.
V
Cet écart dépasse 30 MeV pour les noyaux les plus lourds, alors que ces deux formules reproduisent les énergies de liaison connues avec une erreur moyenne inférieure à 1 MeV.
Par contre, les fomules de masse sont en accord pour prévoir que les nombres magiques habituels restent magiques loin de la ligne de stabilité. Pour plusieurs d'entre elles, (Cameron, Myers et Swiatecki, Seeger , cf. paragraphe 1.3) il s'agit d'ailleurs d'une hypothèse a priori qui est implicite dans la méthode de calcul des corrections de couches. Un des buts de ce travail est d'examiner la validité de cette hypothèse (cf. paragraphe 1.13).
Enfin, la prévision des déformations nucléaires est intimement 'liée au calcul des corrections de couches, comme l'ont montré les travaux de Strutinski
(St 1967, St 1968). En effet, les noyaux magiques et leurs voisins sont généra
lement sphériques ou quasi-sphériques, tandis que les noyaux à déform.ation impor
tante se trouvent dans le plan (N,Z) loin des nombres magiques.
Nous montrerons au paragraphe 1.13 que la structure en couches peut être modifiée de façon sensible quand on s'éloigne de la ligne de stabilité. Or, les formules de masses qui permettent de calculer la déformation nucléaire supposent que la structure en couches n'est pas modifiée loin de la ligne de stabilité.
Les déformations qu'elles prédisent sont dès lors sujettes à caution.
1.7 Noyaux superlourds
De nombreux calculs prédisent une fermeture de couche importante à N = 184
(voir par exemple : Ni 1970, BDP 1972, Ko 1971). Ceci pourrait entraîner une
stabilité suffisante pour des noyaux comprenant environ trois cents nucléons,
qui pourraient dès lors être formés et étudiés en laboratoire.
La principale inconnue est la stabilité de ces noyaux vis-à-vis de la fission.
le nombre magique N = 184 semble incontestable,i•accord n'est fait quant à son importance. Par ailleurs, certains calculs prévoient un nombre magique à Z = 114 (Ko 1971 par exemple) ce qui assurerait une stabilité plus grande au
bilité - très controversée - d'une formation naturelle de noyaux ayant plus de protons , au voisinage de Z = 126 (GCF 1976) a suscité des calculs qui ont montré que, sous certaines hypothèses, ce nombre peut avoir un caractère magique (ALL 1976)
Parmi les formules de masse, une seule (celle de Seeger) permet de prévoir les effets de couches dans la région des superlourds. Or, cette formule ne prévoit qu'un nombre magique faible à N = 184, contrairement à la plupart des travaux sur ce sujet. Celle de Myers et Swiatecki postule l'existence de nombres magiques à N= 184 et Z = 126 (ou Z = 114 dans une version ultérieure).
Les formules de masse sont donc de peu d'utilité pour étudier les effets de couches dans les noyaux superlourds. Mais la partie "goutte liquide" a aussi une certaine importance pour le calcul des barrières de fission, qui dépendent de l'importance relative du terme coulombien et des termes de surface. Or, une certaine incertitude règne sur la valeur du terme de symétrie de surface.
Dans la région des superlourds,la hdnteur de la barrière de fission d'une goutte liquide est approximativement proportionnelle à 1 - x , où x est le demi-rapport de l'énergie coulombienne à l'énergie de surface. Pour le noyau
298 , la formule de Myers et Swiatecki (MS 1966) donne 1 - X = 0,065, alors
que celle de Seeger (SH 1974) donne 1 - x = 0,034. Un tel désaccord correspond à une différence de 2 MeV environ pour la barrière de fission, ce qui n'est pas, négligeable.
L'étude théorique de la matière comprimée à des masses volumiques allant de 12 3 , 17 3
10 kg/m à 10 kg/m a mis en évidence l'existence de trois phases .(Une telle concentration de la matière pourrait exister dans des étoiles superdenses : naines blanches et étoiles à neutrons).
La première phase (phase A, e) se manifeste lorsque la masse volumique dépasse 12 3
10 kg/m . Elle est caractérisée par l'ionisation complète des atomes. Il se forme alors un gaz électronique dégénéré dont le niveau de Fermi est élevé. Les Les taux de fission dépendent surtout de l'importance des effets de couches. Si
noyau 298 , . Récemment, la possi-
1 .8 Matière superdense
La seconde phase (phase A,n,e) apparaît entre lO et lO kg/m , lorsque les captures d'électrons forment des noyaux situés au-delà de la limite de stabilité vis-à-vis de l'émission d'un neutron. Les neutrons libérés forment à leur tour un gaz dégénéré. Un équilibre s'établit entre captures et émission de neutrons par les noyaux.
17 3
Quand la masse volumique dépasse 10 kg/m , tous les noyaux sont "dilués"
en nucléons libres, sous forme d'un gaz de neutrons en équilibre avec une faible proportion de protons et d'électrons (phase n,p,e) . D'autres particules élémen
taires apparaissent lorsque la densité dépasse la densité nucléaire.
Le but de l'étude de la matière superdense est d'en calculer l'équation d'état. Celle-ci est utilisée par les astrophysiciens pour établir des modèles de naines blanches et d'étoiles à neutrons . Dans l'approche la plus simple, cette équation d'état est déterminée en supposant qu'un équilibre nucléaire statistique est établi à température nulle. La composition de la matière ne dépend alors que des énergies des particules en présence, et en particulier de l'énergie de liaison des noyaux riches en neutrons formés par captures d'électrons. Pour la phase (A,e) et le début de la phase (A,n,e), ces énergies sont fournies par une formule de masse. Toutefois, dès que la densité du gaz de neutrons devient importante, il faut tenir compte des interactions entre les neutrons libres et les noyaux.
Notre mémoire de licence (To 1969) montrait que la composition calculée pour la phase (A,e) dépend de la formule de masse utilisée. Depuis lors, nous
avons repris cette question de façon plus systématique (To 1971). Nous ne donne
rons ici qu'un aperçu des résultats obtenus. Un résumé de la méthode suivie est donné dans l'Appendice 1.
a) La composition de la phase A,e ne dépend pas des termes de volume et de symétrie de la formule de masse. Par contre, les autres termes peuvent avoir une influence. En particulier, le terme de symétrie de surface, quand il est important, favorise la formation de noyaux plus légers dans un processus d'équi
libre. Ce terme accroît en effet la stabilité des noyaux légers proportionnelle
ment plus que celle des noyaux lourds.
Les corrections de couches ont une influence déterminante sur la composition:
il apparaît en effet que seuls des noyaux magiques ou leurs voisins immédiats subsistent à l'équilibre à température nulle. Toute modification des nombres magiques loin de la ligne de stabilité aurait donc des conséquences quant à la composition calculée pour la phase A,e.
,14 15 , , 3
b) ' L'équation d'état de la phase A,e dépend assez peu de la formule de masse.
Seuls les termes de symétrie et de symétrie de surface l'influencent, mais dans une mesure assez faible.
c) Par contre, le seuil d'apparition des neutrons libres dépend très fort de. tous les termes de la formule de masse. En effet, selon l'importance des différents termes, le calcul fait débuter la phase A,n,e à une masse volumique
14 14 3
allant de 1,4 10 à 8,3 10 kg/m . Or, ce seuil correspond à un changement dans l'allure de l'équation d'état.; l'apparition de neutrons libres entraîne une' augmentation rapide de la masse volumique sans que la pression augmente aussi rapidement. Par conséquent, l'équation d'état entre 10^^ et 10^^ kg/m^
peut dépendre très fort de la formule de masse choisie.
d) Les calculs que nous avons faits pour la phase (A,n,e) ne peuvent donner que des résultats qualitatifs, car ils négligent les interactions entre noyaux et neutrons libres et traitent le gaz de neutrons de façon assez grossière.
Ils montrent toutefois qu'on doit s'attendre à une influence importante du choix de la formule de masse, aussi bien pour la composition que pour l'équation d'état.
Pour celle-çi , il s'agit du prolongement de ce qui a été signalé à l'alinéa précédent. Au-delà de 10 kg/m“, l'influence du gaz de neutrons devient prépon
dérante, et l'équation d'état se réduit quasiment à celle d'un gaz de neutrons.
Elle ne dépend plus sensiblement des énergies de liaison nucléaires.
1.9 Processus
Le processus r est un processus de synthèse stellaire des noyaux lourds à partir d'éléments comme le Fe^^ ou d'éléments plus légers par captures rapides de neutrons. Il est invoqué pour expliquer la formation des éléments plus lourds que le Pb et des isotopes les plus riches en neutrons des autres éléments.
Au cours des explosions d'étoiles, il pourrait exister un flux de neutrons très intense qui amène la formation de noyaux très riches en neutrons : un noyau formé par capture de neutron pourrait subir une nouvelle capture de neutron avant d'avoir le temps de se désintégrer par désintégration . Les captures de neu
trons ne s'arrêtent alors que lorsque le noyau formé subit la photodésintégration
/ n ) plus rapidement que la capture (n,^ ). Il est possible toutefois que
le flux de neutrons disparaisse avant cela , comme le montrent certains calculs
astrophysiques (HT 1976).
Lorsque le flux de neutrons disparaît, les noyaux riches en neutrons se transforment en noyaux stables, essentiellement par désintégration^"*
(d'autres processus peuvent toutefois compliquer notablement l'étude de ce
"refroidissement").
La courbe des abondances dans le système solaire des éléments qui peuvent être formés par le processus r présente trois pics à ACT80, ACfl30 et A K 195.
Ces pics sont associés aux nombres magiques N = 50, N = 82 et N = 126. On peut dès lors situer dans le plan (N,Z) le chemin suivi par le processus r : les noyaux que ce processus forme transitoirement sont très riches en neutrons.
Pour étudier le processus r de façon plus complète, il faut prévoir les pro
priétés de ces noyaux. Dans le modèle le plus simple (SPC 1965) , il est néces
saire d'en connaître les énergies de séparation d'un neutron , les densités de niveaux, les taux de désintégration et les taux de fission. Les for
mules de masse peuvent fournir les énergies de séparation, les énergies de désintégration et éventuellement les barrières de fission.
A titre d'exemple, la figure 4 donne les énergies de séparation d'un neu
tron calculées grâce à deux formules de masse pour une partie des noyaux de la ligne N = 2Z - 12 (proche du chemin suivi par le processus r dans le plan
(N,Z) ), et souligne les désaccords entre ces deux formules.
Seeger (Se 1967 b) a comparé les courbes d'abondances du processus r calculées à l'aide de différentes formules de masse . Il a montré que les résultats obtenus dépendent fortement de la formule utilisée. Il est diffi
cile de préciser quelle partie de la formule de masse a le plus d'influence sur les abondances calculées. Toutefois, les corrections de couches doivent jouer un rôle déterminant, étant donné l'importance des pics d'abondance qui correspondent aux nombres magiques. Quant à la partie "goutte liquide" , elle a aussi son importance : par l'intermédiaire des énergies de séparation d'un neutron, elle a une influence sur la détermination des conditions dans lesquelles le processus r a lieu (température et intensité du flux neutronique) . Une des questions qui se pose à ce propos est de savoir si l'ensemble du processus r peut avoir lieu dans des conditions constantes, ou si la formation des pics
(îfc) d'abondance observés nécessite deux ou plusieurs groupes de conditions
(^) Les travaux récents (HT 1976) sur le processus r cherchent plutôt à voir si les conditions qui régnent lors des explosions stellaires (qui ne sont pas cons
tantes) correspondent à celles exigées par le processus r.
La question des barrières de fission a déjà été abordée pour les noyaux superlourds. Les problèmes qui se posent sont similaires pour le processus r : si le terme de symétrie de surface de la forrriule de masse est peu important, la fission est défavorisée . Dans ce cas, le processus r pourrait se poursui (*) vre et former jusqu'à des noyaux superlourds-. Par contre, si le terme de symé
trie de surface est important, le processus r est arrêté bien avant cela.
Il faut noter que le nombre magique N = 184 produirait dans le processus r un pic d'abondance vers A = 284, dans une région de noyaux très fissiles. Les produits de fission modifieraient alors la courbe d'abondance entre A = ICX)
et A = 200. Une fermeture de couches importante à N = 184 favoriserait la pro
gression du processus r jusqu'à ce nombre, mais l'empêcherait peut-être d'aller beaucoup plus loin et de former des noyaux super lourds à A 300. La prévision des effets de couches dans cette région du plan (N,Z) revêt ici aussi un grand intérêt . Or, comme nous l'avons souligné plus haut, aucune des formules de masse usuelles ne permet de prévoir de façon satisfaisante les effets de couches dans la région des noyaux superlourds.
1.10 Peut-on encore améliorer les formules de masse ?
Les formules de masse sont donc un outil dont il faut se méfier: en désac
cord lorsqu'il s'agit de calculer les énergies de liaison loin de la ligne de stabilité, elles laissent planer un doute sur une série de prcblèmes qui concer
nent les noyaux latéraux, les superlourds, la matière superdense et le processus r de nucléosynthèse.
Mais il ne suffirait sans doute pas de donner de meilleures valeurs aux paramètres pour que tous les problèmes se dissipent : les méthodes et les modèles dont s'inspirent la plupart des formules de masse sont aussi sujets à caution, comme le montrent les paragraphes suivants. Ne sont pas examinées dans ceux-ci les formules qui ne sont pas extrapolables loin de la ligne de stabilité.
1.11 Importance de la déformation
Certaines formules ne tiennent pas compte des déformations nucléaires (GGJ 1969, Ca 1957, CE 1965, TCH 1970, Ja 1976, etc...). Elles ne permettent donc pas de calculer les barrières de fission. Mais il y a plus : les travaux
(*) Le terme de symétrie de surface
2/3 “5"
2/3 , N-Z
l'énergie de surface a~ A qui est positive.
A est négatif et diminue
de Myers et Swiatecki (MS 1966, MS 1967) comme ceux de Strutinski(St 196^, St 1968) ont montré que les corrections de couches sont intimement liées à la déformation nucléaire. On peut comiîiettre une erreur de plusieurs MeV sur l'éner
gie. de liaison en extrapolant des corrections de couches calculées pour des noyaux sphériques à des noyaux déformés, ou vice-versa. Il est donc important que la formule de masse tienne compte de la déformation et soit à même de prévoir cette déformation.
1.12 Analyse critique du modèle de la goutte liquide
Les remarques qui suivent sont basées en partie sur la comparaison entre les formules de masse du type "goutte liquide" et des calculs que nous avons effectués dans le cadre du formalisme de la densité d'énergie, et plus parti
culièrement du modèle de Brueckner (To 1973).
1.12.1 Le modèle de Brueckner
Ce modèle permet entre autres de calculer les énergies de liaison et les densités nucléaires. Il a été développé par Brueckner et son équipe (BBJ 1968, BBC 1969, BCM 1971). Dans ce modèle, l'énergie de liaison nucléaire est expri
mée par 1 'intégrale
énergie coulombienne fP \
[1.7)
où la densité d'énergie dépend des densités et , de leurs gradients, et de plusieurs paramètres. La forme détaillée de est décrite au chapitre suivant (§ 2.3). B peut donc être calculée dès que ^ et
sont connus. A l'invérse, les densités ^ et sont obtenues en mini
misant B sous les conditions
( 1 . 8 )
Dans nos calculs, nous avons minimisé B en utilisant pour ^ et ^ des fonctions d'essai à symétrie sphérique dépendant chacune de quatre paramètres.
Les densités approchées obtenues ne tiennent pas compte de la structure en
couches du noyau , et il est alors possible de comparer directement les résultats du calcul au modèle de la goutte liquide. Etant donné la longueur du calcul nu
mérique, conséquence de la méthode de calcul par minimisation, nous nous sommes
limité à l'étude de douze noyaux.
1.12. 2 Terme de surface
Précisons d'abord la signification du terme de surface dans la formule de masse. Dans le formalisme de la densité d'énergie, la surface apparaît comme une région de densité d'énergie plus faible (en valeur absolue) que le coeur.
Les nucléons y sont en moyenne moins liés. Schématiquement, le noyau peut être vu comme un coeur où l'énergie moyenne par nucléon est e , et une surface
c
où cette énergie est e . Le nombre de nucléons présents à la surface est
® 2/3
approximativement proportionnel à la surface (donc à A ) et à l'épaisseur t de la zone superficielle. L'énergie totale du noyau est alors :
B = + ( A - c.t.A^'^^) . e
G c
soit ( 1 . 9 )
B = A.e + c.t.A^'^^.Ce -e ) CSC
Le facteur c est un facteur de proportionnalité. Tenant compte du fait que e et e contiennent chacun un terme de symétrie, on retrouve la formule de
C s
masse habituelle.
Sous cette forme, il apparaît clairement que le terme d'énergie de surface doit dépendre de l'épaisseur de la zone de surface. Or, cette épaisseur varie dans le plan (N,Z) , et est généralement plus importante pour les noyaux très riches en neutrons. C'est là un effet qu'il n'est pas possible d'introduire facilement dans les formules de masse : comme il n'existe pas de base expéri
mentale contraignante pour modifier le terme de surface, il faudrait introduire à priori des variations du coefficient (cf. formule 1 . 1 ) , sur une base théorique, sans que les nouveaux paramètres puissent être ajustés empiriquement.
1.12.3 Terme de symétrie
Dans la formule (1.9), le terme de symétrie provient de l'énergie de volume
; on le met en évidence en introduisant dans un terme de symétrie
e c e + e .
CO
c1
où
( 1 . 10 )
fn-f
“ f ( 1 . 11 )
dans la région centrale du noyau. Les calculs de l'énergie de la raatière nuclé- n aire indiquent en général que les termes de symétrie d'ordre supérieur (en sont peu importants. Pour le noyau, on trouve dès lors un terme de symétrie de la forme
e cl c
qui est identique au terme habituel a
N - Z
) .A
( 1 . 12 )
(1.13) lorsque
A
tableau 2 donne les valeurs de
. Or, cette égalité n'est pas toujours vraie. Le
—^ et de da que nous avons obtenues pour quelques noyaux. Pour les noyaux stables, 0»^ est voisin ou un peu plus
land (*) N - Z
faible que —- --- . L'écart entre les deux grandeurs augmente rapidement quand on s'éloigne de la ligne de stabilité nucléaire, du côté riche en neutrons Dans cette région du plan (N,Z) , la formule (1.13) donne donc probablement une énergie de symétrie trop importante. Toute tentative de modifier ou de com
pléter le terme de symétrie de la formule de masse se heurte à la difficulté déjà mentionnée : les données expérimentales ne suffisent pas pour ajuster les nouveaux paramètres qui seraient introduits.
1.12.4 Terme de symétrie de surface
En développant (1.9) grâce à (1.10) et à la relation similaire pour
e = e + e ^ ,0(‘ -2
s so cl s (1.14)
ou
(1.15)
= fn-f.
" fn^fp
dans la région de surface, on trouve un terme de symétrie de surface de la forme
c . t. .(e - e
si s cl s (1.16)
LorsqueO(- r C(f N - Z
A , cette expression se ramène au terme habituel
.2/3 (1.17)
Par contre, quand comme dans les noyaux riches en neutrons, (1.17)
• A
tend à sous-estimer l'énergie de symétrie de surface (en valeur absolue, cette énergie étant négative).
(*) cf. formule (26) de la réf. (To 1973).
1.12.5 Terme coulombien
Le terme coulombien habituel représente l'énergie d'une sphère uniformément chargée, dont le rayon croît proportionnellement à Or, le rayon de la dis
tribution des protons dans le noyau se comporte de façon différente loin de la ligne de stabilité. Le fait déjà cité que ^ pour les noyaux riches en neutrons est dû à une plus grande concentration des protons dans le coeur du noyau, alors que les neutrons s'étendent plus en surface . Ceci implique (^) une répulsion coulombienne accrue, dont le terme coulombien habituel ne tient pas compte.
1.12.6 Insuffisance du modèle de Brueckner
Cette brève analyse des différents termes de la formule de masse "goutte liquide" montre un certain nombre de défauts de ce modèle. Cela n'empêche pas les formules de masse de ce type d'atteindre une certaine précision, en particu
lier par lé jeu de l'ajustement des paramètres. Mais il est difficile de leur faire entière confiance pour l'extrapolation des énergies de liaison loin de la ligne des noyaux connus. C'est particulièrement vrai lorsqu'on veut calculer des grandeurs dérivées des énergies de liaison (énergies de séparation, barrières de fission) pour lesquelles certains termes peu précis de la formule de masse peuvent jouer un rôle décisif.
Nous n'avons pas poursuivis de calculs systématiques dans le cadre du modèle de Brueckner, pour plusieurs raisons. La première est que les paramè
tres que contient la densité d'énergie sont assez mal ajustés et condui
sent en particulier à surestimer la densité nucléaire. La seconde raison est que les fonctions d'essai prises pour les densités ^ et n'ont pas un bon comportement à la surface (pas de queue à caractère exponentiel) . La
troisième et principale raison (car les deux premières pourraient être corrigées) est que la méthode de résolution par minimisation prend un temps de calcul sur ordinateur qui est excessif pour les résultats obtenus. En fait, une approche self-consistente du formalisme de la densité d'énergie, avec calcul itératif, permet d'obtenir des résultats plus riches en un temps plus bref. Ce type de méthode sera exposé dans le chapitre suivant.
(.*■)
cf. formules (40), (41) , (43) de la référence (To 1973) .
Le modèle de Brueckner fournit donc des indications utiles pour l'analyse du modèle de la goutte liquide , mais il ne peut pas prendre sa place purement et simplement.
Avant d'examiner les autres possibilités qui s'offrent, voyons les problèmes qui se posent dans le calcul des corrections de couches.
1.13 Critique des termes de couches
1.13.1 Hypothèse implicite
A la base du calcul des corrections de couches, il y a généralement un
modèle de la structure en couches (MS 1966, Se 1970), mais parfois pas (CE 1965).
Mais dans les deux cas, le calcul des corrections de couches passe par l'éva
luation de termes distincts pour les neutrons et les protons. Ces termes sont calculés de façon à reproduire au mieux les effets de couches "expérimentaux"
(obtenus en faisant la différence entre les énergies de liaison expérimentales et la partie goutte liquide de la formule de masse, terme d'appariement inclus).
Ces corrections de couches sont-elles valables loin de la ligne de stabilité ? Ce ne peut être le cas que si la structure en couches n'est pas modifiée quand on s'éloigne de la zone de stabilité. Cette permanence des couches est supposée implicitement par la plupart des auteurs. En particulier, Seeger garde dans tout le plan (N,Z)les mêmes paramètres pour le modèle de Nilsson qu'il utilise pour calculer les corrections de couches.
Peut-on contrôler cette hypothèse ? Pas à partir du modèle de Nilsson, dont les paramètres purement empiriques sont difficilement extrapolables hors des régions du plan (N,Z) où ils ont été ajustés. Aussi avons nous effectué des calculs utilisant le potentiel de Saxon-Woods, qui est plus réaliste que le po
tentiel de Nilsson, et dont les paramètres peuvent être extrapolés de manière raisonnable.
A propos de cette extrapolation des paramètres, il faut noter que les cor
rections de couches sont déjà des corrections, c'est-à-dire qu'elles dépassent rarement 1% de l'énergie totale. Certaines hypothèses que nous avons critiquées dans les paragraphes précédents (à propos des rayons ou de la surface nucléaire) peuvent être trop approximatives pour le calcul des termes principaux de la formule de masse, mais être aussi suffisamment exactes pour le calcul des corrections de couches.
Les résultats présentés ci-après ont été obtenus pour la s^Tnétrie sphérique.
Ils ne représentent pas nécessairement la réalité (puisque les noyaux peuvent
être déformés), mais ils peuvent cependant être comparés aux prévisions d'autres
modèles pour la symétrie sphérique.
1.13.2 Extrapolation du potentiel de Saxon-Woods
Pour un noyau à symétrie sphérique, le potentiel moyen noyau-nucléon de Saxon-Woods s'écrit :
_ _ _ _ _ _ _ _ V _O_ _ _ _ _ _ _
1 +oxp(i^) ■ a
V(r) =
Il dépend de trois paramètres V^, R, a . Il faut lui adjoindre un terme de spin-orbite, qui est en général choisi de la forme
V (r) =
so
, r v° 1
1 . s 2.
___________ GOI
, 2 * r ’ drL
k |l+exp(——
* ^ r?
(1.19)
qui dépend de trois paramètres V , R , a . Ces deux derniers
GO
so so
paramètres sont parfois choisis égaux à R et a, dans un but de simplification.
Pour les protons, il faut encore ajouter un terme coulombien au potentiel.
Le plus simple , que nous avons choisi, est le potentiel que donnerait une sphère uniformément chargée de rayon R (qui peut être pris égal à R) :
V (r)
c ■ 2 -'= L ■
t)OUr r^: R ( 1 . 20 )
V (r) = ™
c r
1 pour ( 1 . 21 )
Sous sa forme la plus générale, le potentiel dépend donc de sept para
mètres. Ceux-ci peuvent être ajustés et extrapolés de différentes façons.
Le paramètre est fréquemment mis sous la forme suivante :
''o = ''1 i ’ ( 1 . 22 )
où et sont constants. Dans cette expression, le signe + vaut pour les neutrons et le signe - pour les protons, lorsque V 2 est choisi positif. Le second terme de cette formule est un terme de symétrie relié à la contribution potentielle à l'énergie de symétrie dans la formule de masse (1.1). Dans la région des noyaux à excès de neutrons, son effet est de diminuer la profondeur du potentiel et d'augmenter celle de V^. Le paramètre R varie d'un noyau à l'autre, et peut être calculé en première approximation par une expression semblable à celle du rayon nucléaire dans le modèle de la goutte liquide :
= r .A
O
R 1/3 (1.23)
où le paramètre est constant. Quant au paramètre a , qui est lié à l'épaisseur de la "surface" du potentiel, il est considéré comme constant dans 1 'approche la plus simple .
Les paramètres du potentiel de spin-orbite et sont souvent pris égaux à R et a , mais on peut aussi leur donner d'autres valeurs, R
GO
étant alors mis sous la forme :
R = r° . (1.24)
.O so so
ou r est constant. Quant a V , il peut etre considéré comme constant, ou comme proportionnel à (forme de Thomas). Enfin, le paramètre peut lui aussi être égalé à R, ou mis sous la forme
(1.25)
Nous avons choisi différents groupes de paramètres, de façon à pouvoir mettre en évidence une éventuelle dépendance des résultats par rapport aux hypothèses choisies pour l'extrapolation des paramètres. Chaque fois, les valei:rs numéri
ques des paramètres ont été ajustées de façon à reproduire au mieux les spectres de niveaux individuels du Pb , qui sont bien connus à partir des spectres 208
de niveaux à une particule des noyaux voisins, ainsi que par d'autres approches (Co 1963). Trois groupes de valeurs ont été choisis . Ils ont en commun les valeurs de = -52,3 MeV, = 34,6 MeV , = 1,26 Fm, a = 0,67 Fm et
= 1,26 Fm, mais diffèrent par les paramètres de spin-orbite. Dans le
° „o O
premxer cas (potentiel I), V = 33,5 MeV , = 1,26 Fm, = o,67 Fm.
,,on ,, 0 T>
Dans le second cas (potentiel II) , V = 0,74 V , V = 0,56 V ,
Q ' so ' on so ' op
= 1,26 Fm, = 0,67 Fm, ce qui correspond à la forme de Thomas où le potentiel de spin-orbite est proportionnel au gradient du potentiel central.
,,o
Le troisième groupe de paramètres (potentiel III) prend V =25,2 MeV , O
S U= 1,17 Fm, = 0,54 Fm, et est plus proche de la forme de Blin- Stoyle où le potentiel de spin-orbite est proportionnel au gradient de la densi
té nucléaire. Nous avons aussi effectué quelques tests avec un potentiel coulom- bien différent ( o =1,17 Fm) , mais les résultats obtenus diffèrent très peu
O
de ceux auxquels conduit la valeur choisie ci-dessus ( ^„ c =1,26 Fm).
Dans le but de contrôler les résultats obtenus , et aussi d'extrapoler les paramètres du potentiel de la façon la plus réaliste possible, nous avons aussi recherché des formules d'extrapolation sur la base du modèle de Brueckner. Dans ce modèle, on peut calculer un potentiel moyen à un nucléon qui dépend des densi
tés P n f P et qui est obtenu par
V. - . 1_ d. ?rr-D'<fn.F-o.fn. P^)]
2 dr
f.
I
