Eeole des Hautes Etudes Commerciales

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CONCOURS D'ADMISSION DE 1983

Mathématiques

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OPTION GENERALE Jeudi 12 Mai 1983, de 8 heures i midi

ATTENTION : I n prdsentation, l'dcriture et l'orthographe o n t leur part dans l a note.

On désigne par IR+ l'ensemble des nombres réels x tels que x

+

^O.Soit a un nombre réel.

1. Dans cette partie, on suppose a

>

O.

Soit (u ) la suite de nombres réels définie par la relation de récurrence : n

( 1 ) (V n E

tN)

o g a

et la condition initiale u

1 . a) Montrer que, pour tout entier naturel n, u 6 2a.

n b) Montrer que la suite (u ) est croissante.

c ) Montrer que la suite (u ) est convergente, et determiner sa limite.

2. Soit (v ) une suite de nombres réels satisfaisant B la relation : n

1 - e -n

vn+] c a +

-

^v ^.

2 "

a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, vn 4 un

.

b) Montrer que la suite (v ) est majorée.

c) A l'aide d'un contre-exemple, montrer que la suite (v ) n'est p a s ndcessairement convergente.

n

X L

3 . a) Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant B [ 0 , 1 ] , ePx 4 1

-

^x⁺

-

2

.

1 -x3 5

b) Montrer que

1

^e ^dx

< .

O

dx est convergente, et que

c) Montrer que l'intégrale e-x3 ¹

1'-

^{e-x3 dx 6}

-

2

.

O 1

4 . Soit (w ) une suite de nombres réels satisfaisant B la relation :

n

( 3 ) (V n E N) ^wⁿ⁺1 . \ < a + -

y 1;

^{e-x3 dx}

^.

Montrer que la suite (w ) est majorge.

II. Soit f une fonction continue sur@+ B valeurs réelles.

1 . Montrer que, pour tout élément x de IR+, l'ensemble des nombres réels f(t), 03 t E [O,x], admet u.ie.borne supérieure dans k. On note g(x) cette borne Supérieure.

Montrer que la fonction g ainsi définie est croissante et continue sur IR+

.

^*

^{. / .} .

^*

(2)

203 - 2 -

2 . On suppose dans cette question que f vérifie la relation :

( 4 ) (V x E IR+) f(x) 6 a + ^Xf(t) e-t dt

.

O

a) On suppose, dans cette question uniquement, que f est croissante.

Montrer que, pour tout entier naturel k et pour tout nombke d e l x tel que x

3

k , k

O

f(x) 4 a +

J

f(t) e-t d t + (e-k

-

^e-’) ^f(x)

.

En déduire que f est majorée.

b) On suppose, dans cette question uniquement, que pour tout élément x de R+

f(x) appartient P W+. Montrer que la fonction g définie dans la question 11.1 vérifie la relation ( 4 ) . c’est-3-dire que :

En deduire que f est majorse.

c ) On suppose seulement que f vgrifie la relation ( 4 ) . Montrer que f est majorge.

3 . On suppose que la fonction f vérifie la condition suivante :

( 5 ) (V x E R,)

Montrer que f est majorée.

4 . Soit h une fonction continue sur W+ 2 valeurs dans W+ telle que l’intégrale

‘+m

^h(t) ^{d t}

soit convergente, On suppose que la fonction f viirifie la relation suivante : J O

.

5. On suppose de nouveau que f vérifie la relation ( 4 ) . Soit cp la fonction definie Su? k+

par la relation :

1 - e -X

.

Q(X) = f(x)

-

^{a e}

a) Montrer que, pour tout élément x de !R+,

~ ( x ) \< rx cp(t> e-t dt

.

J O

b) Soient c un élément de iR+ et X = sup cp(x).

x E [O.cl

Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout élément x de [O,C],

c) Montrer que, pour tout élément x de !R+

,

d) $oit J, une fonction définie sur B+ P valeurs réelles telle que, pour toute fonction continu1 vérifiant la relation ( 4 ) et pour tout élément x de W+, f(x) 6 $(x).

Montrer que, pour tout élément x de W +

,

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