Corrigé DM2

Corrigé DM2

1. La démonstration se fait par récurrence. Considérons la propriété(P_n) :

½ u_n>0 v_n>0

¥P0 est vraie puisque

½ u0=a >0 vn=b >0

¥supposons quePn est vraie c’est à dire que

½ un>0 vn >0 Alors,u_n+1= 2u_nv_n

un+vn

>0etv_n+1= u_n+v_n

2 >0doncP_n+1est vraie aussi.

La propriété (Pn)est vraie pour n= 0. La supposant vraie à un ordren quelconque, on démontre qu’elle est encore vraie à l’ordren+ 1. Par récurrence, elle est donc vraie pour toutn positif ou nul.

2. wn+1=vn+1−un+1⇒wn+1= un+vn

2 − 2unvn

un+vn

. En réduisant au même dénominateur, w_n+1= (vn−un)²

2 (u_n+v_n).

½ u_n >0

v_n>0 ⇒w_n+1≥0et de plus,v_n²−2u_nv_n+u²_n≤v_n²+ 2u_nv_n+u²_n donc(v_n−u_n)²≤(v_n+u_n)² D’oùwn+1= (vn−un)²

2 (un+vn) ≤ (vn+un)²

2 (un+vn) doncwn+1≤ 1

2wn. On a donc bien0≤wn+1≤1 2wn

FMontrons par récurrence que : ∀n∈N,0≤wn≤ b−a 2ⁿ . Considérons la propriété(P_n) : 0≤w_n≤b−a

2ⁿ .

¥P₀ est vraie puisquew₀=b−a(positif puisqueb >0).Donc0≤w₀≤ b−a 2⁰

¥supposons quePn est vraie c’est à dire que0≤wn≤ b−a 2ⁿ . Alors0≤wn+1≤ 1

2wn⇒0≤wn+1≤1 2

b−a

2ⁿ donc0≤wn+1≤b−a 2ⁿ⁺¹ La propriété est donc vérifiée à l’ordren+ 1.

La propriété (Pn)est vraie pour n= 0. La supposant vraie à un ordren quelconque, on démontre qu’elle est encore vraie à l’ordre n+ 1. Par récurrence, elle est donc vraie pour tout n positif ou nul. On a donc bien∀n∈N,0≤w_n≤b−a

2ⁿ 3. un+1−un= 2unvn

u_n+v_n −un⇒un+1−un=(vn−un)un

u_n+v_n .⇒un+1−un = wnun

u_n+v_n Sachant que

⎧⎨

⎩

u_n>0 v_n>0 w_n≥0

il est évident queu_n+1−u_n≥0et la suite(u_n)est croissante.

De mêmevn+1−vn =un+vn

2 −vn⇒vn+1−vn= un−vn

2 ⇒vn+1−vn =−wn

2 Doncvn+1−vn≤0et la suite(vn)est décroissante.

4. Les suites(u_n)et(v_n)sont donc telles que(u_n)est croissante, (v_n)est décroissante, et leur différence tend vers 0.

En effet leur différence estw_n etw_n≤b−a

2ⁿ qui tend vers0.

Ces suites sont donc adjacentes et convergent vers une même limitel.

5. On constate queu_n+1v_n+1= 2u_nv_n un+vn

u_n+v_n

2 ⇒u_n+1v_n+1=u_nv_n. La suite(unvn)est donc une suite constante et ∀n∈N, unvn =u0v0=ab.

Or

½ (un) est une suite convergente versl

(v_n) est une suite convergente versl ⇒(unvn)est convergente versl² d’après les théorèmes généraux sur les limites de suites.

On en déduit quel=√ ab

6. D’après ce qui précède, lim

n→+∞u_n=√

15.(u_n)étant croissante, il s’agit d’une convergence monotone.

On cherche donc un rangnà pour lequelun−1≤un ≤un+1 avecun+1−un−1≤10⁻²

Il suffit de proogrammer la calculette pour constater qu’une valeur approchée deu₂ est 3.871 et une valeur approchée deu₃ est 3.873

Donc3.871≤√

15≤3.873 intervalle d’amplitude inférieure à 10⁻².