NOM : FEUILLE-REPONSE
Exercice 1
Dans le tableau de signes (incomplet) ci-contre, a(x) est un produit de deux expressions affines de x, b(x) est une expression affine de x, et p(x) une fonction de x telle que p(x) = a(x) b(x).
1) Compléter le tableau de signes
2) Ecrire une expressions a(x) ayant les signes donnés par ce tableau de signes.
3) Ecrire une expression p(x) admettant ce tableau de signes.
4) Ecrire une expression p(x), différente de la précédente, admettant ce tableau de signes.
Exercice 2
Sur les lignes n°1, n°2, n°3 et n°4 du tableau de signes ci-contre, on a écrit les signes de 4 expressions affines de t.
Sur la ligne n°5 se trouvent les signes d’un quotient de produits des expressions n°1, n°2, n°3 et n°4.
1) Sur le dessin ci-contre, représenter des fonctions affines de t ayant les signes des lignes n°1, n°2, n°3 et n°4.
Il ne doit y avoir aucune ambiguïté quant aux représentations proposées.
2) Ecrire une expression affine de t ayant les signes de la ligne n°4. ↓
3) Ecrire une expression de t ayant les signes de la ligne n°5 et obtenue comme quotient de produits des lignes 1 à 4.
Exercice 3
Trois fonctions affines sont représentées ci-contre. La fonction f1 a sa représentation graphique d1 qui coupe l’axe des abscisses en -2, la fonction f2 a sa représentation graphique d2 qui coupe l’axe des abscisses en 1, la fonction f3 a sa représentation graphique d3 qui coupe l’axe des abscisses en 3.
Il s’agit de résoudre dans R l’inéquation 1 2
3
f (x) f (x) f (x)
× ≤ 0. axe des abscisses
axe des ordonnées
valeurs de x -∞ +∞
signe de f1(x) signe de f2(x) 1) Compléter le tableau ci-contre.
signe de f3(x) 2) Ecrire l’ensemble des solutions de
l’inéquation sous la forme d’un intervalle ou d’une union d’intervalles.
Exercice 4
Au dos de cette feuille, présenter une étude algébrique du signe de 2
− +3x 7 – 5 7x 2
−
+ suivant les valeurs de x.
valeurs de x -∞ -3 1 2 +∞
signe de a(x) - 0 + + 0 - signe de b(x)
signe de p(x) - 0 + 0 - 0 +
valeurs de t -∞ -3 -2 1 4 +∞
n°1 + 0 – – – –
n°2 – – – 0 + +
n°3 + + 0 – – –
n°4 + + + + 0 –
n°5 – ║ + ║ – 0 + 0 –
Eléments pour un corrigé.
Exercice 1
Dans le tableau de signes (incomplet) ci-contre, a(x) est un produit de deux expressions affines de x, b(x) est une expression affine de x, et p(x) une fonction de x telle que p(x) = a(x) b(x).
1) Compléter le tableau de signes
2) Ecrire une expressions a(x) ayant les signes donnés par ce tableau de signes.
Par exemple : a(x) = (-x + 2)(x + 3) 3) Ecrire une expression p(x) admettant ce tableau de
signes. Par exemple : p(x) = (-x + 2)(x + 3)(1 – x)
4) Ecrire une expression p(x), différente de la précédente,
admettant ce tableau de signes. Par exemple : p(x) = 3(-x + 2)(x + 3)(1 – x) Exercice 2
Sur les lignes n°1, n°2, n°3 et n°4 du tableau de signes ci-contre, on a écrit les signes de 4 expressions affines de t.
Sur la ligne n°5 se trouvent les signes d’un quotient de produits des expressions n°1, n°2, n°3 et n°4.
1) Sur le dessin ci-contre, représenter des fonctions affines de t ayant les signes des lignes n°1, n°2, n°3 et n°4.
Il ne doit y avoir aucune ambiguïté quant aux représentations proposées.
2) Ecrire une expression affine de t ayant les signes de la ligne n°4. ↓
Par exemple : a(t) = 4 – t
3) Ecrire une expression de t ayant les signes de la ligne n°5, et obtenue comme quotient de produits des lignes 1 à 4.
Par exemple : q(t) = (t 1)(4 t) ( t 3)( t 2)
− −
− − − − Exercice 3
Trois fonctions affines sont représentées ci-contre. La fonction f1 a sa représentation graphique d1 qui coupe l’axe des abscisses en -2, la fonction f2 a sa représentation graphique d2 qui coupe l’axe des abscisses en 1, la fonction f3 a sa représentation graphique d3 qui coupe l’axe des abscisses en 3.
Il s’agit de résoudre dans R l’inéquation 1 2
3
f (x) f (x) f (x)
× ≤ 0. axe des abscisses
axe des ordonnées
valeurs de x -∞ -2 1 3 +∞
signe de f1(x) - 0 + + + signe de f2(x) + + 0 - - 1) Compléter le tableau ci-contre.
signe de f3(x) + + + 0 - 2) Ecrire l’ensemble des solutions de
l’inéquation sous la forme d’un intervalle ou d’une union d’intervalles.
]-∞ ; -2]∪[1 ; 3[
Exercice 4
Au dos de cette feuille, présenter une étude algébrique du signe de 2
− +3x 7 – 5 7x 2
−
+ suivant les valeurs de x.
valeurs de x -∞ -3 1 2 +∞
signe de a(x) - 0 + + 0 - signe de b(x) + + 0 - - signe de p(x) - 0 + 0 - 0 +
valeurs de t -∞ -3 -2 1 4 +∞
n°1 + 0 – – – –
n°2 – – – 0 + +
n°3 + + 0 – – –
n°4 + + + + 0 –
n°5 – ║ + ║ – 0 + 0 –
Eléments pour un corrigé.
Par exemple :
Pour tout x distinct de 7/3 et de -2/7, 2
− +3x 7 – 5 7x 2
−
+ = x 39 ( 3x 7)(7x 2)
− +
− + + (th.1 et th.2).
D’autre part (th.3 et th.4): -x + 39 ≥ 0 ⇔ 39 ≥ x (1) et -3x + 7 ≥ 0 ⇔ 7/3 ≥ x (2) et 7x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ -2/7 (3) d’où, en utilisant un tableau de signes,
Th.1 : à condition que bc ≠ 0, a ac b=bc Th.2 : à condition que b ≠ 0, a c a c
b b b
+ = +
Th.3 : a ≥ b ⇔ a + c ≥ b +c
Th.4 : à condition que c > 0, a ≥ b ⇔ ac ≥ bc
valeurs de x -∞ -2/7 7/3 39 +∞
signe de -x + 39 + + + 0 -
signe de -3x + 7 + + 0 - -
signe de 7x + 2 - 0 + + +
(th.5) signe de 2 − +3x 7 – 5 7x 2 − + - + - 0 +
d’après (1) d’après (2) d’après (3)
Th.5 : règle des signes d’un produit de facteurs.
