G139. Les bons choix de Diophante
1 Diophante a l'assurance de recevoir le gros lot s'il gagne aux échecs deux
parties d'affilée sur les trois parties qu'il doit jouer contre Hippolyte (H) et Théophile (T) selon l'une des deux séquences H-T-H ou T-H-T. Hippolyte est de loin le plus fort des trois joueurs. Que Diophante joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilité de gain d'une partie contre un joueur donné est toujours la même. Diophante a le choix de la séquence. Quel est son bon choix ?
2 Diophante a l'assurance de recevoir un deuxième gros lot s'il gagne au moins
n+1 parties sur les 2n parties qu'il doit jouer contre Hippolyte. Qu'il joue avec les blancs ou avec les noirs, sa probabilité de gain d'une partie est égale à 0,45. Diophante a le choix du nombre de parties. Quel est son bon choix ?
Soit p(H) = p la probabilité de gagner contre Hippolyte et p(T) = q la probabilité de gagner contre Téophile. p < q et p < 1/2.
1)
Soit HTH l’événement « Diophante gagne 2 parties d’affilée selon la séquence H-T-H ». De même on définit THT.
HTH se produit si Diophante gagne sa 2° partie contre Théophile et ne perd pas les 2 parties contre Hippolyte ; d’où :
p(HTH) = q.(1-(1-p)2) = p.q.(2-p)
De même, p(THT) = p.(1-(1-q)2) = p.q.(2-q)
Puisque 2-p > 2-q, p(HTH) > p(THT) et, contre toute attente, Diophante a intérêt à jouer 2 fois contre Hippolyte.
H-T-H est la bonne séquence
2)
p = 0.45 ; soit p(k;2n) la probabilité de gagner exactement k parties contre Hippolyte sur 2n parties jouées et p2n(n+1) la probabilité de gagner au moins n+1 parties sur 20 jouées.
p2n(n+1) = k=n+1 à 2n p(k ;2n) p(k ;2n) = C2nk
.pk.(1-p)2n-k et p2n(n+1) = k=n+1 à 2n C2nk
.pk.(1-p)2n-k
J’utilise un tableur pour calculer ces probabilités pour différentes valeurs de n, avec p = 0.45.
Il en ressort que n=5 maximise les chances de gain pour Diophante : 26.16%
k\n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P2n(n+1) = 0,2025 0,2415 0,2553 0,2604 0,2616 0,2607 0,2586 0,2559 0,2527
1
2 0,203
3 0,200
4 0,041 0,186
5 0,061 0,172
6 0,008 0,070 0,160
7 0,016 0,075 0,149
8 0,002 0,023 0,076 0,140
9 0,004 0,028 0,076 0,132
10 0,000 0,007 0,031 0,075 0,125
11 0,001 0,009 0,034 0,074
12 0,000 0,002 0,011 0,035
13 0,000 0,003 0,013
14 0,000 0,001 0,004
15 0,000 0,001
16 0,000 0,000
17 0,000
18 0,000
19
