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G139. Les bons choix de Diophante Question 1 Diophante remporte le lot s’il gagne les deux premières parties, ou s’il perd la première partie et gagne les deux dernières. Notons h

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Academic year: 2022

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G139. Les bons choix de Diophante

Question 1

Diophante remporte le lot s’il gagne les deux premières parties, ou s’il perd la première partie et gagne les deux dernières.

Notons h (resp. t) la probabilité que Hippolyte (resp. Théophile) gagne une partie contre Diophante. Nous avons alors Pr (HT H) = (1−h) (1−t) (1 +h) et Pr (T HT) = (1−t) (1−h) (1 +t). Compte tenu que Hippolyte est le plus fort des trois joueurs, nous avonsh > tet il devient clair queHT Hest le meilleur choix de séquence pour Diophante.

Question 2

La probabilité pour Diophante de gagner au moins n+ 1 parties sur les 2n parties qu’il doit jouer contre Hippolyte vautP =

2n

X

k=n+1

C2nk (1−h)kh2n−k. Il s’agit donc de déterminer la ou les valeurs de n maximisant cette expression avech= 0,55. Remarquons que P = 1−

2n

X

k=n

C2nk (1−h)2n−khk. N’ayant pas vu de simplifications, j’ai utilisé un tableur pour déterminer empiriquement que n= 5 est le meilleur choix pour Diophante avecP ≈0,2615627008.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P 0,203 0,241 0,255 0,260 0,262 0,261 0,259 0,256 0,253

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